重庆市江津区2020年新高考高二数学下学期期末联考试题

同步练习
一、选择题：本题共12小题，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．为了解某地区的中小学生视力情况，拟从该地区的中小学生中抽取部分学生进行调查，事先已了解到该地区小学、初中、高中三个学段学生的视力情况有较大差异，而男女生视力情况差异不大，在下面的抽样方法中，最合理的抽样方法是( ) A ．简单随机抽样 B ．按性别分层抽样 C ．按学段分层抽样
D ．系统抽样
2．已知定义在R 上的函数f(x)的导函数为()f x ',22(2)()x f x f x e
--=(e 为自然对数的底数),且当1x ≠时, [](1)()()0x f x f x -'->,则 ( )
A ．f(1)<f(0)
B ．f(2)>ef(0)
C ．f(3)>e 3f(0)
D ．f(4)<e 4f(0)
3．周末，某高校一学生宿舍甲乙丙丁四位同学正在做四件事情，看书、写信、听音乐、玩游戏，下面是关于他们各自所做事情的一些判断： ①甲不在看书，也不在写信； ②乙不在写信，也不在听音乐；
③如果甲不在听音乐，那么丁也不在看书； ④丙不在看书，也不写信.
已知这些判断都是正确的，依据以上判断，请问乙同学正在做的事情是（ ） A ．玩游戏 B ．写信 C ．听音乐 D ．看书
4．若函数()ln (R)f x x kx k =-∈在定义域内单调，则k 的取值范围是（ ） A ．(,0]-∞
B ．[0,)+∞
C ．(,1]-∞
D ．[1,)+∞
5．已知函数ln ,0
(),0x x f x ax x >⎧=⎨⎩
，若方程()()f x f x -=-有五个不同的实数根，则a 的取值范围是（ ）
A ．（0，+∞）
B ．（0，1）
C ．（－∞，0）
D ．（0，
1
e
） 6．设F ，B 分别为椭圆22
221(0)x y a b a b
+=>>的右焦点和上顶点，O 为坐标原点，C 是直线b y x a =与椭
圆在第一象限内的交点，若()FO FC BO BC λ+=+，则椭圆的离心率是( )
A B ．
1
7
C ．
1
3
D 1
7．设随机变量()X B n, p ～，若EX 3,DX 2==，则n=
A ．2
B ．3-
C ．2-
D ．5
9．如图，正方体1111ABCD A B C D -，则下列四个命题：
①点P 在直线1BC 上运动时，直线AP 与直线1A D 所成角的大小不变 ②点P 在直线1BC 上运动时，直线AP 与平面1ACD 所成角的大小不变 ③点P 在直线1BC 上运动时，二面角1P AD C --的大小不变 ④点P 在直线1BC 上运动时，三棱锥1A D PC -的体积不变 其中的真命题是 （ ） A ．①③
B ．③④
C ．①②④
D ．①③④
10．设()f x '是函数()f x 的导函数，()y f x ='的图象如图所示，则()y f x =的图象最有可能的是( )
A ．
B ．
C ．
D ．
11．《高中数学课程标准》(2017 版)规定了数学学科的六大核心素养.为了比较甲、乙两名高二学生的数学核心素养水平，现以六大素养为指标对二人进行了测验，根据测验结果绘制了雷达图(如图，每项指标值满分为分，分值高者为优)，则下面叙述正确的是（ ）
(注:雷达图(Radar Chart)，又可称为戴布拉图、蜘蛛网图(Spider Chart)，可用于对研究对象的多维分析)
A ．甲的数据分析素养高于乙
B ．甲的数学建模素养优于数学抽象素养
C ．乙的六大素养中逻辑推理最差
D ．乙的六大素养整体水平优于甲
12．设1F ，2F 是双曲线()22
2210,0x y a b a b
-=>>的左、右两个焦点，若双曲线右支上存在一点P ，使
()2
2
0OP OF F P +⋅=（O 为坐标原点）
，且1
23PF =，则双曲线的离心率为（ ）
A ．
21
2
B 21
C ．
31
2
D 31
二、填空题：本题共4小题
13．已知x 、y 满足约束条件1022010x y x y y -+≥⎧⎪
--≤⎨⎪+≥⎩
，若目标函数()()20z a x y a =++>的最大值为13，则实
数a =______.
14． (广东深圳市高三第二次（4月）调研考试数学理试题)我国南宋时期著名的数学家秦九韶在其著作《数书九章》中独立提出了一种求三角形面积的方法---“三斜求积术”，即ABC △的面积
2
22222142a c b S a c ⎡⎤
⎛⎫+-=-⎢⎥ ⎪
⎢⎥⎝⎭⎣
⎦
，其中a b c 、、分别为ABC △内角、、A B C 的对边.若2b =，且3sin tan 13cos C B
=
-，则ABC △的面积S 的最大值为__________．
15．已知32()3f x x x a =++（a 为常数），在[33]-，
上有最小值3，那么在[33]-，上()f x 的最大值是 16．过双曲线22
2:14
x y C a -=的右焦点F 作一条垂直于x 轴的垂线交双曲线C 的两条渐近线于A 、B 两点，
企业生产的零件中各随机抽出了500件，测量这些零件的质量指标值，得结果如下表： 甲企业：
乙企业：
（1）已知甲企业的500件零件质量指标值的样本方差2142s =，该企业生产的零件质量指标值X 服从正态分布(
)2
,N μσ
，其中μ近似为质量指标值的样本平均数x （注：求x 时，同一组中的数据用该组区间的
中点值作代表），2σ近似为样本方差2s ，试根据企业的抽样数据，估计所生产的零件中，质量指标值不低于71.92的产品的概率.（精确到0.001）
（2）由以上统计数据完成下面22⨯列联表，并判断能否在犯错误的概率不超过0.005的前提下认为两个企业生产的零件的质量有差异.
附：
11.92≈， 参考公式：若()2
~,X N
μσ，则()0.6826P X μσμσ-<<+=，
(22)0.9544P X μσμσ-<<+=，3309().974P X μσμσ-<<+=；
2
2()
()()()()
n ad bc K a b c d a c b d -=++++
上年度出险次数 0 1 2 3 4 5≥
保费
0.85a
a
1.25a 1.5a 1.75a 2a
设该险种一续保人一年内出险次数与相应概率如下： 一年内出险次数 0 1 2 3 4 5≥
概率
0.30
0.15
0.20
0.20
0.10
0.05
（Ⅰ）求一续保人本年度的保费高于基本保费的概率；
（Ⅱ）若一续保人本年度的保费高于基本保费，求其保费比基本保费高出60%的概率； （Ⅲ）求续保人本年度的平均保费与基本保费的比值.
19．（6分）5G 网络是第五代移动通信网络，其峰值理论传输速度可达每8秒1GB ，比4G 网络的传输速度快数百倍．举例来说，一部1G 的电影可在8秒之内下载完成．随着5G 技术的诞生，用智能终端分享3D 电影、游戏以及超高画质（UHD ）节目的时代正向我们走来．某手机网络研发公司成立一个专业技术研发团队解决各种技术问题，其中有数学专业毕业，物理专业毕业，其它专业毕业的各类研发人员共计1200人．现在公司为提高研发水平，采用分层抽样抽取400人按分数对工作成绩进行考核，并整理得如上频率分布直方图（每组的频率视为概率）．
（1）从总体的1200名学生中随机抽取1人，估计其分数小于50的概率；
（2）研发公司决定对达到某分数以上的研发人员进行奖励，要求奖励研发人员的人数达到30%，请你估计这个分数的值；
（3）已知样本中有三分之二的数学专业毕业的研发人员分数不低于70分，样本中不低于70分的数学专业毕业的研发人员人数与物理及其它专业毕业的研发人员的人数和相等，估计总体中数学专业毕业的研发人员的人数．
20．（6分）已知数列{}n a 满足12a =，()12n n a a n N *+=∈，设()
23log 2n n b a n N *=-∈，数列{}n c 满
足n n n c a b =.
（1）求证：数列{}n b 为等差数列； （2）求数列{}n c 的前n 项和n S .
点N ，且4
5
MN FN =
（1）求抛物线C 的方程；
（2）过抛物线C 的焦点F 的直线l 交抛物线于,P Q 两点，过,P Q 分别作抛物线的切线，两切线交于点A ，求证点A 的纵坐标为定值.
22．（8分）在直角坐标系xOy 中，曲线C 的参数方程为4cos 2sin x y θ
θ
=⎧⎨=⎩（θ为参数）．
（Ⅰ）求曲线C 的普通方程；
（Ⅱ）经过点(2,1)M 作直线l ，与曲线C 交于,A B 两点.如果点M 恰好为线段,A B 的中点，求直线l 的方程．
参考答案
一、选择题：本题共12小题，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．C 【解析】
试题分析：符合分层抽样法的定义，故选C. 考点：分层抽样． 2．C 【解析】 【分析】
构造新函数()()
x
F x f x e -=，求导后结合题意()()()1'0x f x f x ⎡⎤-->⎣⎦判断其单调性，然后比较大小
【详解】
令()()
x
F x f x e -=，()()()''x
F x e
f x f x -⎡⎤∴=-⎣⎦
()()()1'0x f x f x ⎡⎤-->⎣⎦，
1x ∴<时，10x -<，则()()'?0f x f x -< ()'0F x ∴<，()F x 在()1，-∞上单调递减 ()()()210F F F ∴->->
()()222x f x f x e --=，
()()642f f e ∴=-，()()431f f e =- ()()440f f e ∴>，()()330f f e >，
故选C 【点睛】
本题主要考查了利用导数研究函数的单调性以及导数的运算，构造新函数有一定难度，然后运用导数判断其单调性，接着进行赋值来求函数值的大小，有一定难度 3．D
【解析】由①知甲在听音乐或玩游戏，由②知乙在看书或玩游戏，由④知丙在听音乐或玩游戏，由③知，丁在看书，则甲在听音乐，丙在玩游戏，乙在看书，故选D. 4．A 【解析】 【分析】
采用等价转化的思想，可得'()0f x ≥在()0,∞+恒成立，然后分离参数，对新函数的值域与k 比较，可得结果. 【详解】
1
'()f x k x
=
-， 依题意可得：函数()f x 在定义域内只能单调递增，
10k x ∴-≥恒成立，即1
k x
≤恒成立， 0x ，
0k ∴≤，
故选：A 【点睛】
本题考查根据函数单调性求参数范围，熟练使用等价转化以及分离参数的方法，属基础题. 5．D 【解析】 【分析】
由方程的解与函数图象的交点关系得：方程()()f x f x -=-有五个不同的实数根等价于()y f x =的图象
即可。

利用导数求过某点的切线方程得：过原点的直线与
y lnx =相切的直线方程为1
y x e
=，即所求a 的取值范围为1
0a e
<<，得解． 【详解】
设()()g x f x =--，则()y g x =的图象与()y f x =的图象关于原点对称，
方程()()f x f x -=-有五个不同的实数根等价于函数()y f x =的图象与()y g x =的图象有5个交点，由图可知，只需y ax =与曲线y lnx =在第一象限有两个交点即可， 设过原点的直线与y lnx =切于点0(P x ，0)y ，由1()f x x
'=， 则过原点的直线与y lnx =相切，000
1
()y lnx x x x -=-， 又此直线过点(0,0)，所以01lnx =， 所以0x e =，即f '（e ）1e
=
， 即过原点的直线与y lnx =相切的直线方程为1
y x e
=， 即所求a 的取值范围为1
0a e
<<，故选B ． 【点睛】
本题主要考查了方程的解与函数图象的交点个数问题的关系应用及利用导数求切线方程。

6．A 【解析】 【分析】
根据向量的加法法则及共线向量的性质由已知()FO FC BO BC λ+=+，得BF 与OC 交点为OC 的中点，从而有BFO BFC S S ∆∆=，然后把四边形BOFC 的面积用两种不同方法表示后可得,a c 的关系式，从而
根据()FO FC BO BC λ+=
+，由平面向量加法法则，则BF 与OC 交点为OC 的中点，故
BFO
BFC S S ∆∆= ，由22
22
1x y a b b y x a ⎧+=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩
得,22C ⎪⎝⎭ ，
BFO BFC S S ∆∆=，则 2BOFC BOF S S bc ∆== 112222
BOFC BOC OFC S S S b c bc ∆∆=+=
⋅+⋅= 可得(221)a c =-
221
221c e a +∴=
==
- 故选A ．
【点睛】
本题考查椭圆的几何性质，解题关键有两个，一个是由向量的加法法则和共线定理得出BF 与OC 交点为
OC 的中点，一个是把四边形BOFC 的面积用两种不同方法表示得出,a c 的关系．
7．D 【解析】 【分析】
根据随机变量()X B n, p ～，EX 3,DX 2==得到方程组，解得答案. 【详解】
随机变量()X B n, p ～，EX 3,DX (1)2np np p ===-= 解得1
,93
p n =
= 故答案选D 【点睛】
本题考查了二项分布的期望和方差，属于常考基础题型. 8．A
先求出,AB BC 的坐标，再利用共线向量的坐标关系式可求x 的值. 【详解】
()()2,4,1,2AB BC x ==-，因AB BC ，
故()4122x -=⨯，故2x =.故选A. 【点睛】
如果()()1122,,,a x y b x y ==，那么：（1）若//a b ，则1221x y x y =；（2）若a b ⊥，则12120x x y y +=； 9．D 【解析】 【分析】
①由1A D 与平面11ABC D 的位置关系判断直线AP 与直线1A D 所成角的大小变化情况；
②考虑1,AB AC 与平面1ACD 所成角的大小，然后判断直线AP 与平面1ACD 所成角的大小是否不变； ③根据11//BC AD 以及二面角的定义判断二面角1P AD C --的大小是否不变；
④根据线面平行的性质以及三棱锥的体积计算公式判断三棱锥1A D PC -的体积是否不变. 【详解】
①如下图，连接11,A D BC ，
因为111111111,,A D AD A D D C AD D C D ⊥⊥=，所以1A D ⊥平面11ABC D ，
所以1A D AP ⊥，所以直线AP 与直线1A D 所成角的大小不变； ②如下图，连接1BC ，记1,B C 到平面的距离为12,h h ，
设正方体棱长为1，所以2AC =1
2
332
ACD S
=
=
， 又因为111111326
D ABC V -⨯=
⋅⋅=，所以1136
313h ==⨯， 所以AB 与平面1ACD 所成角的正弦值为：13
33sin 13
θ==
，
又因为1111111326
A D C C
V -⨯=⋅⋅=，所以2136
313h ==⨯， 所以所以1AC 与平面1ACD 所成角的正弦值为：
23
13sin 3
3θ==
， 显然12θθ≠，所以直线AP 与平面1ACD 所成角的大小在变化；
③因为11//BC AD ，所以11,,,A B C D 四点共面，又P 在直线1AD 上，所以二面角1P AD C --的大小不变；
④因为11//BC AD ，1BC ⊂平面1ACD ，1AD ⊂平面1ACD ，所以1//BC 平面1ACD ， 所以当P 在1BC 上运动时，点P 到平面1ACD 的距离不变，所以三棱锥1A D PC -的体积不变. 所以真命题有：①③④. 故选：D. 【点睛】
本题考查空间中点、线、面的位置关系的判断，难度一般.(1)已知直线平行平面，则该直线上任意一点到平面的距离都相等；(2)线面角的计算方法：<1>作出线段的射影，计算出射影长度，利用比值关系即可求解线面角的大小；<2>计算线段在平面外的一个端点到平面的距离，该距离比上线段长度即为线面角的正弦.
10．C 【解析】 【分析】
根据导函数图象，确定出函数的单调区间和极值，从而可得结论. 【详解】
根据()y f x ='的图象可知， 当0x <或2x >时，()0f x '>，
所以函数()y f x =在区间(),0-∞和()2,+∞上单调递增； 当02x <<时，()0f x '<，
所以函数()y f x =在区间()0,2上单调递减， 由此可知函数()y f x =在0x =和2x =处取得极值， 并且在0x =处取得极大值，在2x =处取得极小值， 所以()y f x =的图象最有可能的是C. 故选：C. 【点睛】
本题考查导数与函数单调性、极值的关系，考查数形结合思想和分析能力.解决此类问题，要根据导函数的图象确定原函数的单调区间和极值，一定要注意极值点两侧导数的符号相反. 11．D 【解析】 【分析】
根据雷达图，依次判断每个选项的正误得到答案. 【详解】
根据雷达图得甲的数据分析素养低于乙，所以A 错误
根据雷达图得甲的数学建模素养等于数学抽象素养，所以B 错误 根据雷达图得乙的六大素养中数学建模和数学抽象最差，所以C 错误
根据雷达图得乙整体为27分，甲整体为22分，乙的六大素养整体水平优于甲，所以D 正确 故答案选D 【点睛】
本题考查了雷达图，意在考查学生解决问题的能力. 12．D 【解析】
【分析】
取2PF 的中点A ，利用22OP OF OA +=，可得2OA F P ⊥，从而可得12PF PF ⊥，利用双曲线的定义及勾股定理，可得结论． 【详解】
取2PF 的中点A ，则22OP OF OA +=，
()2
2
0OP OF F P +⋅=，2
20OA F P ∴⋅=.
2OA F P ∴⊥，O 是12F F 的中点，1OA PF ∴，12PF PF ∴⊥，
123PF PF =，(
)
122321a PF PF PF ∴=-=
-， 2
2
2
12
4PF PF c +=，2c PF ∴=，3131
c e a ∴=
==+-. 故选：D ．
【点睛】
本题考查了双曲线的离心率，确定12PF PF ⊥是解题的关键，意在考查学生的计算能力和转化能力。

二、填空题：本题共4小题 13．1 【解析】 【分析】
在平面直角坐标系内,画出不等式组所表示的平面区域.平移直线()=2y a x z -++,找到使直线
()=2y a x z -++在纵轴上的截距最大时,所经过的点坐标,把这个点的坐标代入目标函数解析式中，可以
求出a 的值. 【详解】
在平面直角坐标系内，画出不等式组所表示的平面区域如下图所示：
平移直线()=2y a x z -++,∵0a >，所以当直线经过点A 时, 直线()=2y a x z -++在纵轴上的截距最
大,解方程组：03
(3,4)2204x y x A x y y -+==⎧⎧⇒∴⎨
⎨--==⎩⎩
,把点()3,4A 的坐标,代入目标函数中，()13234a =+⋅+,解得1a =.
故答案为：1 【点睛】
本题考查了已知目标函数的最值求参数问题,正确画出不等式组所表示的平面区域是解题的关键. 14．3 【解析】 由题设可知
()sin 3sin sin 3sin cos cos sin cos 13cos C B C B C B C C B
=⇒=+-，即sin 3sin C A =，由正弦定理可得3c a =，所以2
24
421441384222a S a a a ⎛⎫-=-=-+- ⎪
⎝⎭
，当242a a =⇒=时， 4max 1
284432
S =
-+⨯-=，故填3. 15．57 【解析】
试题分析：()()3
2
2
()33632f x x x a f x x x x x =++∴=+=+'单调增区间为[][]
3,2,0,3--减区间为
[]
2,0-，最大值为()32727357f =++=
考点：函数导数与最值 16．1 【解析】
【分析】
求得双曲线的b ，c ，求得双曲线的渐近线方程，将x ＝c 代入双曲线的渐近线方程，可得A ，B 的坐标，求得△OAB 的面积，运用基本不等式可得最小值． 【详解】
解：双曲线C ：22
24x y a -=1的b ＝2，c 2＝a 2+4，
（a ＞0）， 设F （c ，0），双曲线的渐近线方程为y ＝±
2
a x ， 由x ＝c 代入可得交点A （c ，2c
a
），B （c ，2c a -），
即有△OAB 的面积为S 12=c •4c
a
＝2•24
a a
+=2（a 4a +）≥=1，
当且仅当a ＝2时，△OAB 的面积取得最小值1． 故答案为：1． 【点睛】
本题考查双曲线的方程和性质，主要是渐近线方程的运用，考查三角形的面积的最值求法，注意运用基本不等式，考查运算能力，属于中档题．
三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

17．（1）0.159；（2）列联表见解析，能在犯错误的概率不超过0.005的前提下认为两个企业生产的产品的质量有差异． 【解析】 【分析】
（1）计算甲企业的平均值，得出甲企业产品的质量指标值~(60,142)X N ，计算所求的概率值； （2）根据统计数据填写22⨯列联表，计算2K ，对照临界值表得出结论． 【详解】
（1）依据上述数据，甲厂产品质量指标值的平均值为：
1
(301040405011560165701208045905)500
x =
⨯⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯ 60=，
所以60μ=，2142σ=，
即甲企业生产的零件质量指标值X 服从正态分布(60,142)N ，
又11.92σ=，则，
(6011.926011.92)(48.0871.92)0.6826P X P X -<<+=<<=，
1(48.0871.92)10.6826
(71.92)0.15870.15922
P X P X -<<-=
==≈≥，
所以，甲企业零件质量指标值不低于71.92的产品的概率为0.159． （2）22⨯列联表：
计算2
2
1000(400140360100)8.7727.879760240500500
K ⨯⨯-⨯=
≈>⨯⨯⨯ ∴能在犯错误的概率不超过0.005的前提下认为两个企业生产的产品的质量有差异． 【点睛】
本题主要考查了独立性检验与正态分布的特点及概率求解问题，是基础题． 18．（Ⅰ）0.55；（Ⅱ）3
11
；（Ⅲ）1.1． 【解析】 试题分析：
试题解析：（Ⅰ）设A 表示事件：“一续保人本年度的保费高于基本保费”，则事件A 发生当且仅当一年内出险次数大于1，故()0.20.20.10.050.55.P A =+++=
（Ⅱ）设B 表示事件：“一续保人本年度的保费比基本保费高出60%”，则事件B 发生当且仅当一年内出险次数大于3，故()0.10.050.15.P B =+= 又()()P AB P B =，故()()0.153
(|).()()0.5511
P AB P B P B A P A P A =
===
因此所求概率为
3
.11
（Ⅲ）记续保人本年度的保费为X ，则X 的分布列为
0.850.300.15 1.250.20 1.50.20 1.750.1020.05
1.23.
EX a a a a a a a =⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=
因此续保人本年度的平均保费与基本保费的比值为1.23
【考点】条件概率，随机变量的分布列、期望 【名师点睛】条件概率的求法：
（1）定义法：先求P （A ）和P （AB ），再由P （B|A ）＝
()
()
P AB P A ，求出P （B|A ）； （2）基本事件法：当基本事件适合有限性和等可能性时，可借助古典概型概率公式，先求事件A 包含的基本事件数n （A ），再在事件A 发生的条件下求事件B 包含的基本事件数n （AB ），得P （B|A ）＝
()
()
n AB n A . 求离散型随机变量均值的步骤：（1）理解随机变量X 的意义，写出X 可能取得的全部值；（2）求X 取每个值时的概率；（3）写出X 的分布列；（4）由均值定义求出EX ． 19．（1）0.1；（2）77.5；（3）540人. 【解析】 【分析】
（1）由题意可知,样本中随机抽取一人,分数小于50的概率是0.1,由此能估计总体中分数小于50的概率； （2）根据频率分布直方图,第六组的频率为0.4,第七组频率为0.2,由此能求出这个分数；
（3）样本中不低于70分的研发人员人数为240人,从而样本中不低于70分的数学专业毕业的研发人员为120人,样本中有三分之二的数学专业毕业的研发人员分数不低于70分,从而样本中的是数学专业毕业的研发人员的人数为180人,由此能估计总体中数学专业毕业的研发人员的人数 【详解】
解：（1）由题意可知,样本中随机抽取一人,
分数小于50的概率是()10.010.0220.04100.1-+⨯+⨯=, 所以估计总体中分数小于50的概率0.1 （2）根据频率分布直方图，
第六组的频率为0.04×10=0.4,第七组频率为0.02×10=0.2, 此分数为()800.30.20.0477.5--÷=
（3）因为样本中不低于70分的研发人员人数为400×（0.4+0.2）=240人, 所以样本中不低于70分的数学专业毕业的研发人员为120人, 又因为样本中有三分之二的数学专业毕业的研发人员分数不低于70分,
所以样本中的是数学专业毕业的研发人员的人数120÷2
3
=180人, 故估计总体中数学专业毕业的研发人员的人数为：1200×180
400
=540人 【点睛】
本题考查概率、频数的求法,考查频率分布直方图的性质,考查运算求解能力,是基础题．
20．（1）详见解析（2）1
10(53)2n n S n +=--⋅
试题分析：（1）由12n n a a +=可得
1
2n n
a a +=,则数列{}n a 为等比数列且公比为2.可得数列{}n a 的通项公式.并将n a 代入23log 2n n
b a =-用对数的运算法则将其化简.再证1n n b b +-为常数.（2）数列是一个
等差数列乘以一个等比数列，用错位相减法求数列{}n c 的前n 项和.
试题解析：（1）由已知可得，112n n
n a a q -==， 2分
23log 22n n b =-3分
4分
为等差数列，其中11,3b d ==． 6分
（2）(32)2n n n n c a b n ==-⋅
23124272......(32)2n n S n =⋅+⋅+⋅++-⋅① 7分
23412124272......(35)2(32)2n n n S n n +=⋅+⋅+⋅++-⋅+-⋅② 8分
①- ② 得
234123[222......2](32)2n n n S n +-=+++++--⋅
114(12)
23(32)212n n n -+-=+⋅--⋅-
110(53)2n n +=-+-⋅
∴1
10(53)2n n S n +=--⋅12分
考点：1等比数列的定义和通项公式;2等差数列的定义和通项公式;3错位想减法求数列的和.
【方法点睛】本题涉及等差数列，等比数列，以及求和的方法，属于基础题型，数列求和的方法主要包括：（1）分组求和法，把一个数列分成几个可以直接求和的数列和的形式；（2）裂项相消法：将数列写成
的形式，包括
，
，
等形式；（3）错位相减法：一个等差数列乘以一个等比数列的数列，采用错位相减
法求和；（4）倒序相加法求和：如果一个数列与首末两项等距离的两项之和等于首末两项之和时，可采用倒序相加法；（5）其他法，形如型数列，可发现规律求和,或有些数列具有周期性，可利
用函数的周期性求和.
21． (1) 22x y =；(2)证明见解析
（1）根据抛物线定义得1
MN a
=
，再根据点N 坐标列方程，解得结果，（2）利用导数求切线斜率，再根据切线方程解得A 点纵坐标，最后利用直线与方程联立方程组，借助韦达定理化简A 的纵坐标. 【详解】
解：（1）由已知抛物线2
1:(0)C x y a a =>的焦点10,4F a ⎛⎫
⎪⎝⎭
， 由45MN FN =
，得5144FN MN MN a ==+，即1
MN a
= 因为点(2,4)N a ， 所以
1
1402
a a a a
=>∴=
， 所以抛物线方程：2
2x y =
（2）抛物线2
2x y =的焦点为10,2F ⎛⎫ ⎪⎝⎭ ∴设过抛物线22x y =的焦点的直线为12
y kx =+
． 设直线与抛物线的交点分别为()()1122,,,P x y Q x y ，
由22,12x y y kx ⎧=⎪⎨=+
⎪⎩
消去y 得：2210x kx --=,根据韦达定理得121x x =- 抛物线2
2x y =,即二次函数2
12
y x =
，对函数求导数，得y x '=， 所以抛物线在点P 处的切线斜率为11k x =
可得切线方程为()111y y x x x -=-，化简得2
1112y x x x =- ，
同理，得到抛物线在点Q 处切线方程为2
2212
y x x x =-，
两方程消去x ，得两切线交点A 纵坐标满足12
2
A x x y =
, 121x x =-，
1
2A y ∴=-，即点A 的纵坐标是定值12
-．
【点睛】
本题考查抛物线方程、抛物线切线方程以后利用韦达定理求值，考查综合分析求解能力，属中档题.
22．（Ⅰ） 22
1164
x y +=；
（Ⅱ）240x y +-=.
（Ⅰ）利用22cos sin 1θθ+=求曲线C 的普通方程；（Ⅱ）经过点(2,1)M 的直线l 的参数方程为
2cos 1sin x t y t αα=+⎧⎨
=+⎩
（t 为参数），代入曲线22:1164x y
C +=中，可得()()2
23sin
14cos 2sin 80t t ααα+++-=，利用韦达定理求出12t t +，结合参数的几何意义得
12
02
t t +=，计算整理即可得到直线的斜率，进而通过点斜式求出直线方程。

【详解】
（Ⅰ）由cos ,4
sin 2x y θθ⎧
=⎪⎪⎨⎪=
⎪⎩
，且22cos sin 1θθ+=，所以C 的普通方程为221164x y +=.
（Ⅱ）设直线的倾斜角为α，则经过点(2,1)M 的直线l 的参数方程为2cos 1sin x t y t α
α=+⎧⎨=+⎩
（t 为参数），代入
曲线22:1164
x y C +=中，可得()
()22
3sin 14cos 2sin 80t t ααα+++-=.
由t 的几何意义知12,MA t MB t ==. 因为点M 在椭圆内，这个方程必有两个实根， 所以()122
4cos 2sin 3sin 1
t t ααα++=-
+.
由M 是中点，所以1202
t t +=，即cos 2sin 0αα+=，解得1
tan 2α=-
所以直线l 的斜率为1tan 2k α==-，所直线l 的方程是()1
122
y x -=--，即240x y +-=.
【点睛】
本题考查参数方程与普通方程的互化，直线的参数方程，解题的一般思路是求出直线的参数方程代入圆锥曲线的普通方程，结合题意通过韦达定理解答。

同步测试
一、选择题：本题共12小题，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．已知集合M 满足{}1,2M ⊆{}1,2,3,4，则集合M 的个数是（ ）
A ．4
B ．3
C ．2
D ．1
2．已知1a =，2b =，且()a a b ⊥-，则向量a 在b 方向上的正射影的数量为 A ．1
B ．2
C ．
12
D ．
22
3．设是函数cos ()x x
f x e
=
的导函数，则(0)f '的值为（ ） A ．1
B ．0
C ．1-
D ．
1e
4．已知双曲线22
22:1(0,0)x y C a b a b
-=>>的一条渐近线与直线210x y ++=垂直，则双曲线的离心率为
( ) A 3B 5
C 5
D 2
5．已知函数()f x 在区间[,]a b 上的图像是连续不断的一条曲线，命题p ：总存在(,)c a b ∈，有()0f c =；命题q ：若函数()f x 在区间(,)a b 上有()(0)f a f b <，则p 是q 的（ ） A ．充要条件
B ．充分不必要条件
C ．必要不充分条件
D ．既不充分也不必要
65π,则该圆锥的体积为 A ．13
π
B ．
23
π C ．2π
D ．
163
π 7．若函数()322,0
20
x x a x f x x x a x ⎧-->=⎨+-≤⎩，恰有2个零点，则a 的取值范围为（ ）
A ．4027⎛⎫
-
⎪⎝⎭
， B ．(()4
1,]0+27
--
⋃∞， C ．4127⎛⎫-- ⎪⎝
⎭
，
D ．()410+27⎛⎫
--⋃∞ ⎪⎝
⎭
，
，
8．当σ取三个不同值123,,σσσ时，正态曲线(
)2
0,N σ
的图象如图所示，则下列选项中正确的是（ ）
A ．123σσσ<<
B ．132σσσ<<
C ．213σσσ<<
D ．321σσσ<<
9．已知函数()2
x e
e
f x e x -=+-(e 为自然对数的底数)，()ln 4
g x x ax ea =--+.若存在实数12,x x ，使
得12()()12
e
f x
g x -==，且211||x e x ≤≤，则实数a 的最大值为（ ）
A ．
5
2e B ．
25
e e
+ C ．
2e
D ．1
10．函数()sin 23f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝
⎭向右平移()0ϕϕπ≤≤个单位后得到函数()g x ，若()g x 在,66ππ⎛⎫
- ⎪⎝⎭上单
调递增，则ϕ的取值范围是（） A ．0,
4⎡⎤
⎢⎥⎣⎦
π B ．20,
3π⎡⎤
⎢⎥⎣⎦
C ．2,
43ππ⎡⎤
⎢⎥⎣⎦
D ．,124ππ⎡⎤
⎢
⎥⎣
⎦ 11．已知非空集合,A B ，全集U A B =⋃，集合M A B =⋂, 集合(
)()U
U N B A =⋃则（ ）
A ．M
N M = B ．M N ⋂=∅ C ．M N
D ．M N ⊆
12．从分别标有1，2，…，9的9张卡片中有放回地随机抽取5次，每次抽取1张．则恰好有2次抽到奇数的概率是（ ）
A ．23
5499⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
B ．23
25
5499C ⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
C ．2
3
4599⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
D ．32
35
5499C ⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
二、填空题：本题共4小题
13．双曲线C :22
221(0,0)x y a b a b
-=>>的左右焦点分别为12(,0),(,0)F c F c -，过1F 斜率为3的直线与双
曲线的左右两支分别交于点P 、Q ，若2QP QF =，则该双曲线的离心率是_________．
14．若命题“[]0,3x ∃∈，使得230x ax -+<成立”是假命题，则实数a 的取值范围是_______． 15．若一个圆锥的侧面展开图是面积为
的半圆面，则该圆锥的体积为 .
16．已知()21f =，()22f '=，设()()
()1
f x
g x f x =
+，则()2g '=_______.
三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

17．已知函数()()2
ln f x ax x x ax =--，()0,a a R ≠∈.
（1）当1a =时，求函数()f x 的单调区间； （2）讨论函数()f x 的零点个数.
18．已知函数()2
2f x x =+，()1g x x a x =---，a R ∈.
（1）若4a =，求不等式()()f x g x >的解集；
（2）若对任意12x x R ∈、，不等式()()12f x g x ≥恒成立，求实数a 的取值范围. 19．（6分）在极坐标系中，曲线1C 的极坐标方程是24
4cos 3sin ρθθ
=
+，以极点为原点O ，极轴为x 轴
正半轴（两坐标系取相同的单位长度）的直角坐标系xOy 中，曲线2C 的参数方程为： {
x cos y sin θ
θ
==（θ为参数）.
（1）求曲线1C 的直角坐标方程与曲线2C 的普通方程； （2）将曲线2C 经过伸缩变换'22{ '2x x y y
==后得到曲线3C ，若M ， N 分别是曲线1C 和曲线3C 上的动点，
求MN 的最小值.
20．（6分）如图，在四棱锥P ABCD -中，四边形ABCD 为正方形，PA ⊥面ABCD ，且2PA AB ==，
E 为PD 中点．
（1）证明：PB //平面AEC ； （2）证明：平面PCD ⊥平面PAD ； （3）求二面角E AC D --的余弦值．
21．（6分）某学校为了丰富学生的课余生活，以班级为单位组织学生开展古诗词背诵比赛，随机抽取一首，背诵正确加10分，背诵错误减10分，且背诵结果只有“正确”和“错误”两种．其中某班级学生背诵正确的概率2
3
p =
，记该班级完成n 首背诵后的总得分为n S . (1)求620S =且()01,2,3i S i ≥=的概率；
(2)记5S ξ=，求ξ的分布列及数学期望． 22．（8分）选修4—4：坐标系与参数方程
在直角坐标系xOy 中，直线l 的参数方程为1cos sin x t y t α
α
=+⎧⎨=⎩（t 为参数）.以原点O 为极点，x 轴的正半轴
为极轴建立极坐标系，曲线C 的极坐标方程为2
4cos 1cos θ
ρθ
=
-.点E 的直角坐标为(2,，直线l 与曲线C 交于A B 、两点.
（Ⅰ）写出点E 的极坐标和曲线C 的普通方程；
（Ⅱ）当tan α=E 到两点A B 、的距离之积.
参考答案
一、选择题：本题共12小题，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．B 【解析】 【分析】
利用列举法，求得集合M 的所有可能，由此确定正确选项. 【详解】
由于集合M 满足{}1,2M ⊆{}1,2,3,4，所以集合M 的可能取值为{}{}{}1,2,1,2,3,1,2,4，共3种可
能. 故选：B 【点睛】
本小题主要考查子集和真子集的概念，属于基础题. 2．D 【解析】 【分析】
由()a a b ⊥-与1a =、2b =可得出a b ⋅，向量a 在b 方向上的正射影的数量=
a b b
⋅
【详解】
()a a b ⊥-
2
()=0a a b a a b ∴⋅--⋅= 2
=1a b a ∴⋅=
向量a 在
b 方向上的正射影的数量==
=2a b b
⋅ 【点睛】
本题考查两向量垂直，其数量积等于0. 向量a 在b 方向上的正射影的数量=a b b
⋅.
3．C 【解析】
分析：求导，代值即可. 详解：()()
2
sin cos sin cos x x
x
x x e x e x x
f x e e -⋅-⋅--='=
， 则()0
sin 0cos0
01f e
--'==-. 故选：C.
点睛：对于函数求导，一般要遵循先化简再求导的基本原则．求导时，不但要重视求导法则的应用，而且要特别注意求导法则对求导的制约作用，在实施化简时，首先必须注意变换的等价性，避免不必要的运算失误． 4．C 【解析】 【分析】
求出双曲线的渐近线方程，再由两直线垂直的条件，可得，b=2a ，再由a ，b ，c 的关系和离心率公式，即可得到所求． 【详解】
双曲线的渐近线方程为b y x a =±
，直线210x y ++=的斜率为12
-， 由题意有112b a ⎛⎫
⨯-=- ⎪
⎝⎭
，所以2b a =，
c ==，
故离心率c
e a
==故选：C ． 【点睛】
本题考查双曲线的方程和性质，考查渐近线方程和离心率的求法，考查运算能力，属于基础题． 5．C 【解析】。