(最新)六年级奥数分册第20周 面积计算

第二十周 面积计算（三）
专题简析：
对于一些比较复杂的组合图形，有时直接分解有一定的困难，这时，可以通过把其中的部分图形进行平移、翻折或旋转，化难为易。

有些图形可以根据“容斥问题“的原理来解答。

在圆的半径r 用小学知识无法求出时，可以把“r 2”整体地代入面积公式求面积。

例题1。

如图20－1所示，求图中阴影部分的面积。

【思路导航】
解法一：阴影部分的一半，可以看做是扇形中减去一个等腰直角三角形（如图20－2），等
腰直角三角形的斜边等于圆的半径，斜边上的高等于斜边的一半，圆的半径为20÷2＝10厘米
【3.14×102×14
－10×（10÷2）】×2＝107（平方厘米） 答：阴影部分的面积是107平方厘米。

解法二：以等腰三角形底的中点为中心点。

把图的右半部分向下旋转90度后，阴影部分的
面积就变为从半径为10厘米的半圆面积中，减去两直角边为10厘米的等腰直角三角形的面积所得的差。

（20÷2）2×12 －（20÷2）2×12
＝107（平方厘米） 答：阴影部分的面积是107平方厘米。

练习1
1、 如图20－4所示，求阴影部分的面积（单位：厘米）
2、 如图20－5所示，用一张斜边为29厘米的红色直角三角形纸片，一张斜边为49厘
20－1
20－2
米的蓝色直角三角形纸片，一张黄色的正方形纸片，拼成一个直角三角形。

求红蓝两张三角形纸片面积之和是多少？
例题2。

如图20－6所示，求图中阴影部分的面积（单位：厘米）。

【思路导航】
解法一：先用长方形的面积减去小扇形的面积，得空白部分（
a ）的面积，再用大扇形的面
积减去空白部分（a ）的面积。

如图
20－7所示。

3.14×62
×14 －（6×4－3.14×4
2×14
）＝16.82（平方厘米） 解法二：把阴影部分看作（1）和（2）两部分如图20－8所示。

把大、小两个扇形面积相加，
刚好多计算了空白部分和阴影（1）的面积，即长方形的面积。

3.14×42×14 +3.14×62×14
－4×6＝16.28（平方厘米） 答：阴影部分的面积是16.82平方厘米。

练习2
20－4 6 B A D 20－5 49 29 29 49 20－6 6
4 减去
20－7 20－8
加 减 B
1、 如图20－9所示，△ABC 是等腰直角三角形，求阴影部分的面积（单位：厘米）。

2、 如图20－10所示，三角形ABC 是直角三角形，AC 长4厘米，BC 长2厘米。

以AC 、
BC 为直径画半圆，两个半圆的交点在AB 边上。

求图中阴影部分的面积。

3、 如图20－11所示，图中平行四边形的一个角为600，两条边的长分别为6厘米和8厘
米，高为5.2厘米。

求图中阴影部分的面积。

例题3。

在图20－12中，正方形的边长是10厘米，求图中阴影部分的面积。

【思路导航】
解法一：先用正方形的面积减去一个整圆的面积，得空部分的一半（如图20－13所示），再
用正方形的面积减去全部空白部分。

空白部分的一半：10×10－（10÷2）2×3.14＝21.5（平方厘米） 阴影部分的面积：10×10－21.5×2＝57（平方厘米）
解法二：把图中8个扇形的面积加在一起，正好多算了一个正方形（如图20－14所示），而
8个扇形的面积又正好等于两个整圆的面积。

（10÷2）2×3.14×2－10×10＝57（平方厘米）
答：阴影部分的面积是57平方厘米。

练习3
求下面各图形中阴影部分的面积（单位：厘米）。

例题4。

在正方形ABCD 中，AC ＝6厘米。

求阴影部分的面积。

【思路导航】这道题的难点在于正方形的边长未知，这样扇形的半径也就不知道。

但我们可
以看出，AC 是等腰直角三角形ACD 的斜边。

根据等腰直角三角形的对称性
B C 20－9 20－10 20－
11 20－
12 20－13 20－
14 20－15
20－16 10 20－17
20
－18
C
可知，斜边上的高等于斜边的一半（如图20－18所示），我们可以求出等腰直
角三角形ACD 的面积，进而求出正方形ABCD 的面积，即扇形半径的平方。

这样虽然半径未求出，但可以求出半径的平方，也可以把半径的平方直接代入
圆面积公式计算。

既是正方形的面积，又是半径的平方为：6×（6÷2）×2＝18（平方厘米）
阴影部分的面积为：18－18×3.14÷4＝3.87（平方厘米）
答：阴影部分的面积是3.87平方厘米。

练习4
1、 如图20－19、20－20所示，图形中正方形的面积都是50平方厘米，分别求出每个图
形中阴影部分的面积。

2、 如图20－21所示，正方形中对角线长10厘米，过正方形两个相对的顶点以其边长为
半径分别做弧。

求图形中阴影部分的面积（试一试，你能想出几种办法）。

例题5。

在图20－22的扇形中，正方形的面积是30平方厘米。

求阴影部分的面积。

【思路导航】阴影部分的面积等于扇形的面积减去正方形的面积。

可是扇形的半径未知，又
无法求出，所以我们寻求正方形的面积与扇形面积的半径之间的关系。

我们以
扇形的半径为边长做一个新的正方形（如图20－23所示），从图中可以看出，
新正方形的面积是30×2＝60平方厘米，即扇形半径的平方等于60。

这样虽
然半径未求出，但能求出半径的平方，再把半径的平等直接代入公式计算。

3.14×（30×2）×14
－30＝17.1（平方厘米） 答：阴影部分的面积是17.1平方厘米。

练习5
1、 如图20－24所示，平行四边形的面积是100平方厘米，求阴影部分的面积。

2、 如图20－25所示，O 是小圆的圆心，CO 垂直于AB,三角形ABC 的面积是45平方厘
米，求阴影部分的面积。

3、 如图20－26所示，半圆的面积是62.8平方厘米，求阴影部分的面积。

20－
19 20－
20 20－
21 20－
22
答案： 练1
1、 如图答20－1所示，因三角形BCD 中BC 边上高等于BC 的一半，所以阴影部分的面
积是：62×3.14×45360 －6×（6÷2）×12
＝5.13平方厘米 2、 如图答20－2所示，将红色直角三角形纸片旋转900，红色和蓝色的两个直角三角形
就拼成了一个直角边分别是49厘米和29厘米的直角三角形，因此，所求的面积为：
49×29×12
＝710.5平方厘米 练2
1、 如图答20－3所示，可以看做两个半圆重叠在一起，从中减去一个三角形的面积就得
到阴影部分的面积。

（2÷2）2×3.14×12 ×2－2×2×12
＝1.14平方厘米 2、 思路与第一题相同
（4÷2）2×3.14×12 +（2÷2）2×3.14×12 －4×2×12
＝3.85平方厘米 3、 如图答20－4所示，用大小两个扇形面积和减去一个平行四边形的面积，即得到阴影
部分的一半，因此阴影部分的面积是：
【（82+62）×3.14×60360 －8×5.2】×2＝21715
平方厘米 练3
1、 如图答20－5所示，阴影部分的面积等于四个半圆的面积减去一个正方形的面积，即：
（10÷2）2×3.14×12
×4－10×10＝57平方厘米 2、 如图答20－6所示，阴影部分的面积等于半圆与扇形面积的和，减去一个三角形的面
积，即：102×3.14×45360 +（10÷2）2×3.14×12 －10×10× 12
＝28.5平方厘米 3、 如图答20－7所示，整个图形的面积等于两个半圆的面积加上一个三角形的面积，用
整个图形的面积减去一个最大半圆的面积就等于阴影部分的面积，即：
（4÷2）2×3.14×12 +（3÷2）2×3.14×12 +4×3×12 －（5÷2）2×3.14×12
＝6平方厘米 练4
1、 （1）因为圆的半径的平方等于正方形面积的14
，所以阴影部分的面积是 （50÷4）×3.14＝39.25平方厘米
（2）因为扇形半径的平方等于正方形的面积，所以，阴影部分的面积是
50－50×3.14×14
＝1075平方厘米 2、 提示：仔细阅读例4，仿照例4先求扇形半径的平方，然后设法求出阴影部分的面积。

10×（10÷2）×3.14×14
×2－10×（10÷2）＝28.5平方厘米 练5
20－24
20－25 20－26
1、 如图答20－8所示，连结AC 可以看出平行四边形面积的一半等于圆半径的平方，所
以，阴影部分的面积是100÷2×3.14×14 －100×14
＝14.25平方厘米 2、 如图答20－9所示，
（1）因为三角形ABC 的面积等于小圆半径的平方，所以小圆的面积的一半是45×3.14×12
＝70.65平方厘米 （2）因为大圆半径的平方等于三角形ABC 面积的2倍，所以大圆的面积的14
是45×2×3.14×14
＝70.65平方厘米 （3）弓形AB 的面积是70.65－45＝25.65平方厘米
（4）阴影部分的面积是70.65－25.65＝45平方厘米
3、 如图答20－10所示，
（1）半圆半径的平方是62.8×2+3.14＝40平方厘米
（2）三角形AOB 的面积是40÷2＝20平方厘米
（3）阴影部分所在圆的半径的平方是40×2＝80平方厘米
（4）阴影部分的面积是80×3.14×45360 －20＝11.4平方厘米。