《幂函数》课件

2
y=x-1
4 6
-1
(-1,-1)
-2
-3
-4
(-2,4)
4
y=x3
(2,4) y=x2 y=x (4,2)
1
3
y=x 2
2
1
(-1,1)
-6 -4 -2
(1,1)
2
y=x-1
4
y=x0
6
-1
(-1,-1)
-2
-3
-4
(-2,4) 在第一象限内 , 函数图象的变化 趋势与指数有什 么关系? (-1,1)
2
不合题意,舍去.所以m=2
例2. 利用单调性判断下列各值的大小。 （1）5.20.8 与 5.30.8 （2）0.20.3 与 0.30.3 解:(1)y= x0.8在(0,+∞)内是增函数,
(3)
-2 -2 2.5 5 与 2.7 5
∵5.2<5.3 ∴ 5.20.8 < 5.30.8 (2)y=x0.3在(0,+∞)内是增函数
y=x 定义域 值域 奇偶性 R R y=x2 R y=x3 y=x
1 2
y=x-1
R ［0,+∞） R ［0,+∞）
{x|x≠0}
{y|y≠0}
［0,+∞）
奇
偶
奇
非奇 非偶
奇
在R 在（-∞，0]上减, 在R上 单调性 上增 在［0，+∞）上增， 增
在［0， 在（-∞，0)上减， +∞）上增， 在(0，+∞)上减
yx 以上问题中的函数具有什么共同特征 ?
a
一般地，函数
yx
a
叫做幂函数(power function) ，
其中x为自变量， 为常数。 a
其特征可归纳为“系数为１，只有１项”． 你能说出幂函数与指数函数的区别吗?
指数函数：解析式 y a ，底数为常数a，(a>0， a≠1)，指数为自变量x； a 幂函数：解析式 y x ，底数为自变量x， 指数为常数α，( α∈R)；
（非奇非偶函数）
课堂小结：
本节知识结构 : 幂函数
定义
五个特殊幂函数
图象 基本性质
3
2
1
(-1,1)
-6 -4 -2
(1,1)
2 4 6
-1
(-1,-1)
-2
x
1 2
0
1
2
4
-3
yx 0
1
2
2
-4
(-2,4)
4
y=x3
(2,4) y=x2 y=x (4,2)
3
2
1
(-1,1)
-6 -4 -2
(1,1)
2 4 6
-1
(-1,-1)
-2
-3
-4
(-2,4)
4
y=x3
(2,4) y=x2 y=x (4,2)
(1,1)
2 4 6
-1
(-1,-1)
-2
-3
-4
(-2,4)
4
(2,4) y=x2 y=x
3
2
1
(-1,1)
-6 -4 -2
(1,1)
2 4 6
-1
(-1,-1)
-2
-3
x -3 -2 -1 0 1 2 3 y=x3 -27 -8 -1 0 1 8 27
-4
(-2,4)
4
y=x3
(2,4) y=x2 y=x
幂函数
昆 山 开 发 区 高 级 中 学
(1)如果张红购买了每千克1元的蔬菜w千克,那么她 y=x w元 需要支付P = ______ P 是____ w 的函数 ____ a² (2)如果正方形的边长为 a,那么正方形的面积S = ____ 2 y=x S 是____ a 的函数 ____ (3)如果立方体的边长为a,那么立方体的体积V = ____ a³ y=x3 V是a的函数 (4)如果一个正方形场地的面积为 S, 那么正方形的边 1 1 a S 2 长_________ a是S的函数 y=x 2 (5)如果某人 t s内骑车行进1 km,那么他骑车的平均 -1 速度v=__________ t⁻ ¹ km/s y=x v是t 的函数
-6 -4 -2
4
y=x3
(2,4) y=x2 y=x (4,2)
1
3
y=x 2
2
1
(1,1)
2
y=x-1
4
y=x0
6
-1
(-1,-1)
-2
在第一象限内， 当a>0时，图象随x增大而上升。 当a<0时，图象随x增大而下降
-3
-4
ห้องสมุดไป่ตู้ 不管指数是多少 (-2,4) ,图象都经过哪 个定点?
(-1,1)
-6 -4 -2
x
练习1、下列函数中，哪几个
x0
函数是幂函数？ 答案:(1)(4) 1 （ 1） y = （2）y=2x2 （3）y=2x
x
2
(4) y
x ( x 0)
0
(5) y=x2 +2
(6) y=-x3
问题2．幂函数的图象是怎样的？
常见的幂函数有：
y x, yx
2
y x3 yx yx
1
3
y=x 2
2
1
(-1,1)
-6 -4 -2
(1,1)
2 4 6
-1
(-1,-1)
-2
-3 -2 -1 1 2 3 y x1 -1/3 -1/2 -1 1 1/2 1/3
x
-3
-4
(-2,4)
4
y=x3
(2,4) y=x2 y=x (4,2)
1
3
y=x 2
2
1
(-1,1)
-6 -4 -2
(1,1)
4
y=x3
(2,4) y=x2 y=x (4,2)
1
3
y=x 2
2
1
(1,1)
2
y=x-1
4
y=x0
6
-1
(-1,-1)
-2
在第一象限内， 当a>0时，图象随x增大而上升。 当a<0时，图象随x增大而下降。
-3
图象都经过点（1，1） a>0时,图象还都过点(0,0)点
-4
观察幂函数图象，将你发现的结论写在下表:

3 4
.
[分析]：把分数指数幂化为根 式：
1 y x
2 y x
1 4
5 x3 定义域为R ;
（奇函数）
4 x定义域为 [0， ） ;
定义域为（ ， ） ;
1
4
（非奇非偶函数）
（偶函数）
3 y x
(4) y x

2 3
3 4
x
3
定义域为（ 0， ）
公共点
(1,1)
例1
如果函数
f ( x) (m m 1)x
2
m2 2m3
是幂函
数，且在区间（ 0 ， +∞ ）内是减函数，求满足条
件的实数m的集合。
解:依题意,得 m m 1 1 解方程,得 m=2或m=-1 3 检验:当 m=2时,函数为 f ( x) x 0 符合题意.当m=-1时,函数为 f ( x) x 1
1 2 1
4
3
2
1
(1,1)
2 4 6
-6
-4
-2
-1
(-1,-1)
-2
-3
-4
x -3 -2 -1 0 1 2 3 y=x2 9 4 1 0 1 4 9
4
3
y=x
2
1
(1,1)
2 4 6
-6
-4
-2
-1
(-1,-1)
-2
-3
-4
(-2,4)
4
(2,4) y=x
3
2
1
(-1,1)
-6 -4 -2
∵0.2<0.3∴ 0.20.3 <0.30.3 (3)y=x-2/5在(0,+∞)内是减函数 ∵2.5<2.7∴ 2.5-2/5>2.7-2/5
例3 写出下列函数的定义域 , 并指出它们的奇偶性 :
1 y x
3 5
;
2 y x
3 5
1 4
;
3 y x
2 3
; (4) y x