2013届广东省高考数学模拟试题

2012年广东省高考数学模拟题
(理数)
一、选择题（本大题共8小题，每小题5分，满分40分. 在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）
1. 设,x y ∈R ，那么“0>>y x ”是“1>y
x ”的（ ）
A ．必要不充分条件
B ．充分不必要条件
C ．充分必要条件
D ．既不充分又不必要条件
2. 设m ，n 是两条不同的直线，α，β，γ是三个不同的平面．有下列四个命题：
① 若m β⊂，αβ⊥，则m α⊥； ② 若α//β，m α⊂，则m //β；
③ 若n α⊥，n β⊥，m α⊥，则m β⊥； ④ 若αγ⊥，βγ⊥，m α⊥，则m β⊥． 其中正确命题的序号是（ ）
A ．①③
B ．①②
C ．③④
D ．②③
3. 若一个三位数的十位数字比个位数字和百位数字都大，则称这个数为“伞数”．现从1,2,3,4,5,6这六个数字中任取3个数，组成无重复数字的三位数，其中“伞数”有（ ） A ．120个 B ．80个 C ．40个 D ．20个
A ．1个
B ．2个
C ．3个
D ．4个
5. 已知和式
1
123(0)p
p
p
p
P n
p n
+++++> 当n →+∞时，无限趋近于一个常数A ，则A 可用定积分表示
为（ ）
A ．dx x
⎰
1
1
B ．dx x p
⎰1
C ．dx x
p
⎰1
)1
(
D ．dx n
x
p
⎰1
)(
6. 已知定义在区间⎥⎦
⎤
⎢⎣
⎡
23,
0π上的函数)(x f y =的图像关于直线43π=x 对称，当43π≥x 时，x x f c os )(=，如果关于x 的方程a x f =)(有解，记所有解的和为S, 则S 不可能．．．
为（ ） A ．
π45
B ．
π23
C ．π4
9
D ．π3
7. △ABC 外接圆的半径为1，圆心为O ，且2O A A B A C ++=0 ， ||||O A A B =
，则C A C
B ⋅ 等于（ ）
A ．
32
B ．
C ．3
D ．
8. 已知椭圆
2
2
14
x
y +=的焦点为1F ，2F ，在长轴12A A 上任取一点M ，过M 作垂直于12A A 的直线交
椭圆于点P ，则使得120PF PF ⋅<
的点M 的概率为（ ）
A
．
3
B
．
3
C ．
3
D ．
12
二、填空题(每题5分，共30分)
9. 若复数i +3是实系数一元二次方程062=+-b x x 的一个根，则=b .
10. 用“二分法”求方程0523=--x x 在区间]3,2[内的实根，取区间中点为.520=x ，那么下一个有根的区间是 .
11. 设y x ，满足约束条件⎪⎪⎩
⎪
⎪⎨⎧
≤+≥≥,143,0,
0a y
a x y x 若11++=x y z 的最小值为41，则a 的值 .
12. 若42345
12345(1)x m x a x a x a x a x a x -=++++，其中26a =-，则实数m 的值为 ；
12345a a a a a ++++的值为 . 13. （1）18世纪的时候，欧拉通过研究，发现凸多面体的面数F 、顶点数V 和棱数E 满足一个等式关系. 请你研究你熟悉的一些几何体（如三棱锥、三棱柱、正方体……），归纳出F 、V 、E 之间的关系等式： ；
（2）运用你得出的关系式研究如下问题：一个凸多面体的各个面都是三角形，则它的面数F 可以表示为顶点数V 的函数，此函数关系式为____________.
14、15题选做一题，若两题都作答，只按第一题评分.
14. 如图所示，过⊙O 外一点A 作一条直线与⊙O 交于C ，D 两点，AB 切⊙O 于B ，弦MN 过CD 的中点P ．已知AC =4，AB =6，则MP ·NP = ． 15. 在极坐标系中，点(2,)2
A π关于直线:cos 1l ρθ=的对称点的一个极坐标为
___ _.
三、解答题(6题，共80分，要写出必要的解题步骤、文字说明和计算过程)
16. （本题满分12分）在锐角A B C ∆中，已知内角A 、B 、C 所对的边分别为a 、b 、c ，向量
2(2sin(cos 2,2cos 12B
m A C n B ⎛⎫=+=-⎪ ⎭⎝
，且向量m ,n 共线．
（1）求角B 的大小；
B
17. （本题满分14分）“根据《中华人民共和国道路交通安全法》规定：车辆驾驶员血液酒精浓度在20—80 mg/100ml （不含80）之间，属于酒后驾车，血液酒精浓度在80mg/100ml （含80）以上时，属醉酒驾车．” 某市交警在该市一交通岗前设点对过往的车辆进行抽查，经过一晚的抽查，共查出酒后驾车者60名，图甲是用酒精测试仪对这60 名酒后驾车者血液中酒精浓度进行检测后
依所得结果画出的频率分布直方图．
（1）统计方法中，同一组数据常用该组区间的中点值作为代表，图乙的程序框图是对这60名酒后驾车者血液的酒精浓度做进一步的统计，求出图乙输出的S 值，并说明S 的统计意义；（图乙中数据i m 与i
f 分别表示图甲中各组的组中值及频率）
（2）本次行动中，吴、李两位先生都被酒精测试仪测得酒精浓度属于70－90/100mg ml 的范围，但他俩坚称没喝那么多，是测试仪不准，交警大队队长决定在被酒精测试仪测得酒精浓度属于70－90/100mg ml 范围的酒后驾车者中随机抽出2人抽血检验，ξ为吴、李两位先生被抽中的人数，求ξ的分布列，并求吴、李两位先生至少有1人被抽中的概率； （3）很多人在喝酒后通过喝茶降解体内酒精浓度，但李时珍就曾指出酒后喝茶伤肾. 为研究长期酒后喝茶与肾损伤是否有关，某科研机构采集了统计数据如下表，请你从条件概率的角度．．．．．．．．
给出判断结果，并说明理由.
18. （本题满分12分）如图所示，有公共边的两正方形ABB 1A 1与BCC 1B 1的边AB 、BC 均在平面α内，且60A B C ∠=︒，M 是BC 的中点，点N 在C 1C 上.
（1）试确定点N 的位置，使1.AB M N ⊥
（2）当1AB M N ⊥时，求二面角M —AB 1—N 的余弦值.
19. （本题满分14分）设数列{}n a 满足110,441n n a a a +==+，令n b =
（1）试判断数列{}n b 是否为等差数列？ （2）若1
1n n c a +=
，求{}n c 前n 项的和n S ；
（3）是否存在*
,(,,)m n m n N m n ∈≠使得1,,m n a a 三数成等比数列？
(单位:mg/100ml)
0.025
0.0200.0150.010
0.005
20. （本题满分14分）已知双曲线c ：
222
2
1(0,0)x y a b a
b
-
=>>的一个焦点与抛物线2
4y x =的焦点重
（1）求双曲线的方程；
（2）若有两个半径相同的圆12,c c ，它们的圆心都在x 轴上方且分别在双曲线c 的两渐近线上，过双曲线的右焦点且斜率为1-的直线l 与圆12,c c 都相切，求两圆12,c c 圆心连线斜率的范围.
21. （本题满分14分）定义函数()(1)1,2,n
n f x x x n N =+->-∈
（1）求证：()n f x nx ≥
（2）是否存在区间[a ，0]（a <0），使函数32()()()h x f x f x =-在区间[a ，0]上的值域为[ka ，0]？若存在，求出最小的k 值及相应的区间[a ，0]，若不存在，说明理由.
2011届高三考前热身训练 参考答案
一、选择题（本大题共8小题，每小题5分，满分40分） 1. B 2. D 3. C 4. A 5. B 6. A 7. C 8. B 二、填空题(每题5分，共30分)
9. 10 10. ].52,2[ 11. 1 12. 32,1
16
13. 2=-+E F V ；42-=V F . 14. 254
15. )4π
三、解答题(6题，共80分) 16. （本题满分12分）
解：（1）由向量,m n →
→
共线有：
2
2sin()2cos
12,2B
A C
B ⎛
⎫
+-= ⎪⎝
⎭
……2分
B B B 2c o s 3c o s s i n 2=∴，……4分
即tan 2B =， ……5分
又02
B π<<，所以02B π<<，则2B =3π
，即6
B π= ……7分
（2）由余弦定理得2222cos ,b a c ac B =+-……8分
则221(2a c ac =+-
≥-
，……10分
所以2ac ≤+当且仅当a c =时等号成立 ……12分
所以11sin (22
4
A B C S ac B ∆=
≤
+． ……14分
17. （本题满分14分） 解：（1）由图乙知输出的1122770S m f m f m f =++++
＝250.25350.15450.2550.15650.1750.1850.05⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯ ……2分 ＝47（mg/100ml ） ……3分 S 的统计意义为60名酒后驾车者血液的酒精浓度的平均值. ……4分 （2）酒精浓度属于70－90/100mg ml 的范围的人数为0.15609⨯= ……5分
ξ取值为0，1，2
12
7)0(2
9
27=
=
=C C P ξ，18
7)1(2
9
1
217=
=
=C C C P ξ，36
1)2(2
9
22=
=
=C C P ξ ……8分
……9分
吴、李两位先生至少有1人被抽中的概率=P 12
5)2()1(==+=ξξP P ． ……10分
（3）判断结果：长期酒后喝茶与肾损伤有关. ……11分 在长期酒后喝茶的条件下有肾损伤的概率为2148
49
49209949
1=
+=
P ……12分
在酒后不喝茶的条件下有肾损伤的概率为7817
42
427775422=+=P ……13分
若“酒后喝茶与肾损伤”无关，则11P P ≈，但2148
49与
7817
42相差较多，所以应该有关.……14分
18. （本题满分12分） 解：（1）依题意得BC BB AB BB ⊥⊥11,，而BC AB ,均在α内且相交，α平面⊥∴1BB . ……2分 分别以1,BB BC 为z y ,轴，如图建立空间直角坐标系 令长方形边长为2，又︒=∠60ABC ，故得
),2,0(),0,1,0(),2,0,0),0,1,3(1λN M B A ……3分
则),1,0(),2,1,3(1λ=--=MN AB ……4分
1.AB M N ⊥得021),1,0(),2,1,3(1=+-=⋅--=⋅λλMN AB (5)
分
14121CC ==
∴λ，
即点N 的位置在线段C 1C 的四等分点靠近C 处.……6分 （2）由（1）得)21
,2,0(N ，)2,1,0(1-=M B ，)23,2,0(1-
=N B
设),,(),,,(22221111z y x n z y x n ==分别为平面N AB MAB 11,的一个法向量.
由⎪⎩⎪⎨⎧=⋅=⋅001111M B n AB n 即⎩⎨⎧=-=+--020*******z y z y x 得)1,2,0(1=n ……8分 由⎪⎩⎪⎨⎧=⋅=⋅001212N B n AB n 即⎪⎩⎪⎨⎧=-=+--0
23202322222z y z y x 得)34,33,5(2=n ……10分
5
15100
53436,cos 21=
⋅+=
⋅>=
<n n n n
∴二面角M —AB 1—N 的余弦值为5
15. ……12分
19. （本题满分14分）
解：⑴
由已知得141411n n a a ++=++, 所以22
121n n n b b b +=++, ……2分
即2
21)1(+=+n n b b ，又0>n b ，∴11n n b b +=+, ……3分
所以数列{}n b 为等差数列. ……4分 ⑵由⑴得：11n n b b +=+且11b =，n b n ∴=，
2
14n n n a -=⇒=， ……5分 2
44
112(
)(1)1
(2)
2
n c n n n n
n ∴=
=
=-
+-++， ……7分
则121
1111
2(1)2(
)2(
)
3
24
2n n S c c c n n =+++=-+-++-
+ ……8分
1
112(23)
2(1)3212(1)(2)
n n n n n +=+
--=-
++++； ……9分 ⑶设存在,m n 满足条件，则有2
2
2
2
1111(
)4
4
n m
n m a a --⋅=⇒⋅
=，……10分
即2
2
2
4(1)(1)n m -=-，所以，2
1m -必为偶数，设为2t ， ……11分
则222211()()1n t n t n t n t -=⇒-=⇒-+=，
∴有11n t n t +=⎧⎨
-=⎩
或1
1n t n t +=-⎧⎨-=-⎩，即1,0n t ==， ……12分 2
1201m t m ∴-==⇒=与已知矛盾． ……13分 ∴不存在*
,(,,)m n m n N m n ∈≠使得1,,m n a a 三数成等比数列． ……14分
20. （本题满分14分）
解：（1）因为抛物线24y x =的焦点为(1,0)，由已知得1c =， ……1分
由c e
a =
=
a b =
=
，……2分
所以双曲线的方程为22
5
514x y -
=. ……3分
（2）直线l 的方程为10x y +-=，
双曲线的渐近线方程为2,2y x y x ==-，……4分
由已知可设圆2221:()(2)c x t y t r -+-=，圆22
2
2:()(2)c x n y n r
-++=，其中0,0t n ><，……5分
因为直线l 与圆12,c c =
6分
得2121t t n n +-=--或2121t t n n +-=-++，即3n t =-，或32n t =-， ……7分
设两圆12,c c 圆心连线斜率为k ，则22t n
k t n
+=-，……8分
当3n t =-时，2614t t
k t
-=
=-， ……9分 当32n t =-时，22t n k t n +=-=42
1
t t --+，……10分
因为0,0t n ><，所以2
03
t <<，……11分 故可得22k -<<，……13分
综上：两圆12,c c 圆心连线斜率的范围为(2,2)-. ……14分
21. （本题满分14分）
解：（1）()(1)1n
n f x nx x nx -=+-- ……1分
令()(1)1n
g x x nx =+--，则()()111n g x n x -⎡⎤'=+-⎣⎦
. ……2分
当()2,0x ∈-时，()0g x '<，当()0,x ∈∞，()0g x '> ……3分
∴()g x 在x ＝0处取得极小值(0)0g =，同时()g x 是单峰函数，则(0)g 也是最小值. ……4分
∴()0g x ≥，即()n f x nx ≥（当且仅当x ＝0时取等号）……5分
（2）()2
32()()()1h x f x f x x x =-=+，
()()()()()
2
121113h x x x x x x '=+++=++
令()0h x '=，得1x =-，1
3x =-
∴当()2,1x ∈--时，()0h x '>；当11,3x ⎛
⎫∈-- ⎪⎝
⎭时，()0h x '<；当
1,x ⎛⎫
∈-+∞ ⎪时，()0h x '>，故()h x 的草图如图所示. ……7分
方法1：①在103
a -≤<时，()h x 最小值()h a ka =∴()2
4
19k a =+≥ ……9分
②在413
3
a -
≤≤-时 ()h x 最小值14
327
h ka ⎛
⎫=-
=-= ⎪
⎝
⎭，k 427y a =-，1499k ≤≤ ……11分 ③在43
a ≤-
时 ()h x 最小值＝()2
(1)h a a a ka =+=
∴()2
119
k a =+≥
，43a =-
时取等号. ……13分 综上讨论可知a 的最小值为
19
，此时[]4
,0,03a ⎡⎤
=-
⎢
⎥
⎣⎦
……14分 方法2：下面考察直线()0y kx k =>与曲线()y h x =的相交情况
①若1
03a -
≤<时，∵()h x 在1,03⎡⎫
-⎪⎢⎣⎭
上增，令()21ka a a =+
∴0a =（舍），1a =（舍），1a =，又 1103-≤< 得4
19
k ≤<
此时存在区间[],01,0a ⎤=⎦
，m in 49
k =，[]1
,0,03a ⎡⎤
=-
⎢⎥⎣
⎦
……10分 ②若13
a <-
时，图象极小值点为14,3
27A ⎛⎫
-
-
⎪
⎝
⎭
，过A 作直线427y =-与()h x 图象交于另一点B . 如果存在满足条件的区间[],0a ，则须()13h a h ⎛
⎫
≤-
⎪
⎝
⎭
，解得43a ≤-.
令()2
1ka a a =+，解得1a =，由3
41-≤--k ，得19k ≥
∴m in 19
k =
，此时[]4
,0,03a ⎡⎤
=-
⎢⎥⎣⎦
……13分 综上：存在k 的最小值19
，相应区间[]4
,0,03a ⎡⎤
=-
⎢⎥
⎣⎦
……14分。