光波导(光纤)传输理论

Ez1 (r, , z) e
jz
sin m A1J m (Ur / a)
ra
Ez 2 (r, , z) e jz sin m A2 Km (Wr / a)
ra
H z1 (r, , z) e jz cosm B1J m (Ur / a)
H z 2 (r, , z) e jz cosm B2 Km (Wr / a)
第四章 光波导（光纤）传输理论
内容提要
1.射线理论和波动理论基础。 2.应用波动理论分析均匀光纤中的光波电磁 场；对弱导波光纤，又用LP模方法进行了 近似分析。 3.应用射线理论分析均匀和非均匀光纤中光 波电磁场的特性。 4.导模截止条件和光纤中的单模传输条件等。 5.光纤的传输特性：衰减和色散。
可得：
即有：
B2=B/Km(W)
将上述关系代入（4.8）式中，得：
Ez1 (r, , z) Ae
Ez 2 (r, , z) Ae
jz
jz
sin m J m (Ur / a) / J m (U)
cosm J m (Ur / a) / J m (U) sin m Km (Wr / a) / Km (W)
4. 带状结构光缆 —— 把多根形成 多个短形光纤叠层，放入松套管内，可做成束 管式结构。
层绞式光缆
骨架式光缆
中心束管式光缆图
带状结构光缆
4.2光纤的导光原理
光纤属于介质圆波导，分析导光原理很复 杂，可用两种理论进行： 首先用波动理论讨论导光原理(复杂、精 确) 然后采用射线理论分析导光原理(简单、 近似)
2 2
式中
k 0 r 0 r k 0 n
2 k 0 0 0 0
则标量的亥姆霍兹方程为：
Ez k n Ez 0
2 2 0 2
2
Hz k n Hz 0
2 2 0
（4.1）
式中，Ez 为电场在z轴的分量。选用圆柱坐标 系(r、θ、z),使z轴与光纤中心轴线一致，将 （4.1）式在圆柱坐标中展开，得到电场Ez的波 动方程为：
可得光纤中导波特征方程：
n12 1 J 'm (U ) 1 K 'm (W ) 1 J 'm (U ) 1 K 'm (W ) [ 2 ][ ] n2 U J m (U ) W K m (W ) U J m (U ) W K m (W )
2 1 1 n 1 2 1 1 m ( 2 2 )( 2 2 2 ) U W n2 U W
ra
ra
(4.8)
利用光纤的边界条件可确定式中的常数。首先 根据边界条件找出A1、A2之间的关系。在r=a 处，因有Ez1=Ez2和Hz1=Hz2的边界条件，可得： A1Jm(U)=A2Km(W)=A
即有：
A1= A/Jm(U) B1Jm(U)=B2Km(W)=B
B1 =B/Jm(U)
A2= A/Km(U)
(r a) (纤芯) (r a) (包层)
(2)渐变型光纤GIF
1 r g 2 n1 1 2( ) (r a) a n( r ) n2 (r a) 式中:r为离开光纤轴心的距离， α为纤芯半 径（µ m），Δ为相对折射率差， g光纤折射 g=∞ n1 率分布指数 。 g=10
光缆中的加强件是由钢丝线、钢绞线和 芳伦纤维（非金属）材料构成。 光缆中的外护层是由聚乙烯（ PE ）、铝 箔（LPA）以及塑料或金属构成，位于光缆 的最外面，简称护层。
按光缆的缆芯结构的不同分类，可分为四种： 1. 层绞式光缆 —— 在一根松套管内放置多根光 纤，多根松套管围绕中心加强件绞合成一体。 2. 骨架式光缆 —— 由聚烯烃塑料绕中心加强件 以一定的螺旋节距挤制而成 3. 中心束管式光缆 —— 把光纤束（多根光纤） 或光纤带置于松套管中，外有皱纹钢带铠装层。
ra
ra ra
H z1 (r, , z) Be
jz
H z 2 (r, , z) Be
jz
cosm Km (Wr / a) / Km (W)
ra
(4.9)
由麦氏方程，将（4.9）式各项代入横向场分量与纵向场分 量的关系式（3.59）式，就可分别求得在纤芯区0≤r≤a， r≥a处， Er、Eθ、Hr、Hθ、Hz场的表达式为：
4.2.1.2 推导思路
由于光纤是圆柱形的，分析问题时将同时采用 直角坐标系和圆柱坐标系，如图所示。并让坐 标系的 z 轴和光纤的轴线重叠以简化运算。令 导波向 +z 方向传输，所以求得场方程中含有 ejβz传播因子。
鉴于Er、Eθ、Ez、 Hr 、 Hθ 、 Hz 这 六个分量的相互 关 系 ， 先 求 Ez 和 Hz。
(4.15)
1 J 'm (U ) 1 K 'm (W ) 1 1 m( 2 2 ) U J m (U ) W K m (W ) U W
对于弱导波光纤n2≈n1 ，则特征方程可简化为：
光波
？是高频率的电磁波，其频率 为1014HZ量级，波长为微米量级。 光纤 ？是工作在光频的一种介质波 导，它引导光沿着与轴线平行的方 向传输。 电磁波的频谱图
图4.1 电磁波谱图
4.1 光纤的构成和分类
4.1.1光纤的结构
纤芯 包层
涂覆层
阶跃型
梯度型
图4-2 光纤结构
纤芯——用来导光. 包层——提供在纤芯内发生光全反射的条件. 涂覆层——保护裸光纤不受外界微变应力的 作用、防水、染成各种颜色加以区分等作用。 4.1.2光纤的分类 1.按折射率分布来分 (1)阶跃型光纤SIF n1 n( r ) n2
Ez1 Ae
jz
sin m J m (Ur / a) / J m (U)
(4.10)
这里只列出E在纤芯区0≤r≤a的分量，其余的 H及纤芯外的分量见书。
4.2.1.4 导波的特征方程
下面根据边界条件来导出特征方程。由电磁场理 论可知，在纤芯与包层的分界面上，电场和磁场 的切向分量连续。即 r=a 时， Ez 、 Hz 、 Eθ 和 Hθ 应连续，即有Ez1= Ez2 和Hz1= Hz2 ，Hθ1=Hθ2和 Eθ1= Eθ2。
2 2 1/ 2 2 1 2 1/ 2 2 0
W的物理意义? 在包层中导波在径向衰减快慢的参数. ①当W→ 0时,导波场在包层中不衰减,那么 导波转化为辐射波即导波截止.
②当W→∞时,导波场在包层中衰减最大,光 纤对导波的约束力最强,称为导波远离截止. V光纤归一化频率，其意义?
① V是一个没有量纲的反映光频率大小的物 理量，与光纤结构参数和工作波长有关。
贝塞尔函数曲线
第二类修正贝塞尔函数曲线
2. U、W、V和β作用
（在光纤中引入的几个重要参数） U叫导波径向（r向）归一化相位常数，它描述 了导波电场和磁场在纤芯横截面上的分布； W叫导波径向（r向）归一化衰减常数，它描述 了导波电场和磁场在包层横截面上的分布； V叫归一化频率，它是表示光波频率大小的无 量纲的量； β为导波沿光纤轴向传输时的相位常数。
光纤坐标
4.2.1.3 推导纤芯和包层中的场方程式
先设法解出光波导中场的纵向分量Ez、Hz，然后， 利用第三章得到的场的纵向与横向分量之间的关 系，再解出各个横向场分量Er、Eθ、Hr、Hθ。 在均匀介质中，光纤中光波电磁场纵（轴）向分 量EZ和HZ满足标量（波动方程）亥姆霍兹方程：
Ez k Ez 0 2 2 Hz k Hz 0
E z 1 E z 1 E z E z 2 2 2 2 k0 n Ez 0 2 2 r r r r Z (4.2)
2 2 2
1．利用分离变量法对标量波动方程求解
将(4.2)式的解写成三部分构成形式，即设 试探函数为：
Ez (r, , z) AR(r )( )Z ( z)
(1)G.651(MMF) (3)G.653(SMF) (5)G.655(SMF) （2）G.652(SMF) （4）G.654(SMF)
ITU-T建议已公布的光纤标准。如表4.1
图2—19 MCVD 法示意图
图 2—21 拉丝设备和拉丝工艺示意图
光纤制作过程
4.1.3
光缆结构及分类
光缆和电缆一样是由缆芯 ( 光纤和加强件 ) 和外护层构成的整体。
g=1
n2
α
b
g=2 r
2.按传输的模式数量来分 (1)多模光纤MMF 在工作波长一定的情况下，光纤中存在有 多个传输模式，这种光纤称为多模光纤。 (2)单模光纤SMF 在工作波长一定的情况下，光纤中只一种 传输模式，这种光纤称为单模光纤。
三种基本类型的光纤
3.按ITU-T(国际电信联盟——电信标准化 机构)建议来分
R(r)为导波沿径向r方向的变化规律，将(4.3)式 代入(4.2)式，并考虑纤芯和包层中的折射率分 别为n1和n2，则得：
2 d R(r ) dR(r ) 2 2 2 2 2 2 r r [(k 0 n1 )r m ]R(r ) 0 2 r dr 2 dR(r ) 2 2 2 d R( r ) 2 2 2 r r [( k n ) r m ]R ( r ) 0 0 2 2 r dr
ra ra
(4.4)
在纤芯中应为振荡解，故其解取贝塞尔函数；在 包层中应是衰减解，故其解取第二类修正的贝塞 尔函数解。于是R(r)可写为：
R(r ) J m [n 1k
2
2
2
0
]
2 2
2 1/ 2
1/ 2
r
r
ra
ra
R(r) K m [ n 2 k 0 ]
(4.5)
式中，Jm为m阶贝塞尔函数；Km为m阶第二类 (修正)贝塞尔函数。这两种函数的曲线如图示。
a 2 UA J ' m (Ur / a) 0 mB J m (Ur / a) E r1 j ( ) [ ] sin me jz U a J m (U ) r J m (U )
a 2 mA J m (Ur / a) 0UB J ' m (Ur / a) E 1 j ( ) [ ] cosme jz U r J m (U ) a J m (U )
归一化径向相位常数u和径向归一化衰减 常数W： 2 2 2 1/ 2 u (n 1k 0 ) a (4.6-a) 2 2 2 1/ 2 W ( n 2 k 0 ) a (4.6-b) V：光纤归一化频率

令
V (u W ) (n n ) k a 2n1a 2 V 2n1k 0 a 0
(4.3-a)
Z(z)表示导波沿光纤轴向的变化规律。因导波 是沿Z向呈行波状态。用β表示其轴向相位常 数，则：
Z ( z) Ae
jz
Θ(θ)表明Ez沿圆周方向的变化规律，它是以 2π为周期的简谐函数，导波沿圆周方向呈驻波变 化规律，可写成： cosm
( ) sin m
4.2 用波动理论分析光纤的导光原理
4 ．2 ．1 阶跃光纤的波动理论分析
光纤是介质圆波导，在光纤中传输的光波是 导行电磁波，可以用第三章中已讲过的分析 导波的方法进行分析。
4.2.1.1 假设 1．假设光纤是一个无限长的直圆柱形、纤 芯与包层在整个长度上都保持同心。 2．光纤用理想材料制成，且为均匀介质， 不存在传输衰减。 3．光纤向无穷远处延伸，因此不存在反射。 纤芯的折射率为n1，包层折射率为n2，且 n1>n2，不随光纤长度而变化。 4．包层厚度远大于光波长，因此可以将包 层厚度看成无限大。
② V值越大,导波数越多,越易满足传输 条件，远离截止. ③若V→∞时的结论是导波场完全集中 在纤芯中，在包层中的场为零。 ④若随着V值的减小，光场将向包层中 伸展，有些模式就会逐步被泄漏到光 纤外，而被损耗掉，称为模式被截止
3．纤芯和包层的电磁场方程
将R(r)，Θ(θ)，Z(z)表达式代入(4.3-a)式,并 考虑到U、W的关系,整理可得到光纤纤芯区和包 层区光波电磁场的轴向分量EZ1,HZ1和EZ2 ,HZ2 ：