禹王台区第二高级中学2018-2019学年高三上学期11月月考数学试卷含答案

禹王台区第二高级中学2018-2019学年高三上学期11月月考数学试卷含答案
一、选择题
1． 已知集合{
}
{
2
|5,x |y ,A y y x B A B ==-+===（ ）
A ．[)1,+∞
B ．[]1,3
C ．(]3,5
D ．[]3,5
【命题意图】本题考查二次函数的图象和函数定义域等基础知识，意在考查基本运算能力．
2． △ABC 的外接圆圆心为O ，半径为2
，
+
+
=，且
|
|=|
|
，
在
方向上的投影为（ ）
A ．﹣3 B
．﹣
C
．
D ．3
3． 在△ABC 中，a ，b ，c 分别是角A ，B ，C 的对边，a=5，b=4，
cosC=，则△ABC 的面积是（ ） A ．16
B ．6
C ．4
D ．8
4． 定义某种运算S=a ⊗b ，运算原理如图所示，则式子+的值为（
）
A ．4
B ．8
C ．10
D ．13
5． 若函数y=x 2+bx+3在[0，+∞）上是单调函数，则有（ ）
A ．b ≥0
B ．b ≤0
C ．b ＞0
D ．b ＜0
6． 函数f （x ）=Asin （ωx+φ）（A ＞0，ω＞0
，）的部分图象如图所示，则函数y=f （x ）对应的
解析式为（ ）
A
． B
． C
． D
．
7． 《九章算术》是我国古代的数学巨著，其卷第五“商功”有如下的问题：“今有刍甍，下广三丈，袤四丈，上袤二丈，无广，高一丈。

问积几何？”意思为：“今有底面为矩形的屋脊形状的多面体（如图）”，下底面宽AD ＝3丈，长AB ＝4丈，上棱EF ＝2丈，EF ∥平面ABCD .EF 与平面ABCD 的距离为
1丈，问它的体积是（ ） A ．4立方丈
B ．5立方丈
班级_______________ 座号______ 姓名_______________ 分数_______________
___________________________________________________________________________________________________
C ．6立方丈
D ．8立方丈
8． 已知
11x
yi i
=-+，其中,x y 是实数，是虚数单位，则x yi +的共轭复数为 A 、12i + B 、12i - C 、2i + D 、2i -
9． 设函数y=sin2x+cos2x 的最小正周期为T ，最大值为A ，则（ ）
A ．T=π，
B ．T=π，A=2
C ．T=2π，
D ．T=2π，A=2
10．执行如图的程序框图，则输出S 的值为（ ）
A ．2016
B ．2
C ．
D ．﹣1
11．若命题p ：∀x ∈R ，2x 2﹣1＞0，则该命题的否定是（ ）
A ．∀x ∈R ，2x 2﹣1＜0
B ．∀x ∈R ，2x 2﹣1≤0
C ．∃x ∈R ，2x 2﹣1≤0
D ．∃x ∈R ，2x 2﹣1＞0
12．如图，四面体OABC 的三条棱OA ，OB ，OC 两两垂直，OA=OB=2，OC=3，D 为四面体OABC 外一点．给出下列命题．
①不存在点D ，使四面体ABCD 有三个面是直角三角形 ②不存在点D ，使四面体ABCD 是正三棱锥 ③存在点D ，使CD 与AB 垂直并且相等
④存在无数个点D ，使点O 在四面体ABCD 的外接球面上 其中真命题的序号是（ ）
A ．①②
B ．②③
C ．③
D ．③④
二、填空题
13．给出下列命题：
①存在实数α，使
②函数
是偶函数
③是函数的一条对称轴方程 ④若α、β是第一象限的角，且α＜β，则sin α＜sin β
其中正确命题的序号是 ．
14．如图是一个正方体的展开图，在原正方体中直线AB 与CD 的位置关系是 ．
15．不等式的解为 ．
16．已知f （
x ）=，若不等式f （x ﹣2）≥f （x ）对一切x ∈R 恒成立，则a 的最大值为 ．
17．已知函数f （x ）是定义在R 上的单调函数，且满足对任意的实数x 都有f[f （x ）﹣2x ]=6，则f （x ）+f （﹣x ）的最小值等于 ．
18．抛物线y 2=﹣8x 上到焦点距离等于6的点的坐标是 ．
三、解答题
19．（本小题满分12分）已知向量(cos sin ,sin )m x m x x w w w =-a ，(cos sin ,2cos )x x n x w w w =--b ，
设函数()()2n f x x R =??a b
的图象关于点(,1)12
p
对称，且(1,2)w Î． （I ）若1m =，求函数)(x f 的最小值；
（II ）若()()4
f x f p
£对一切实数恒成立，求)(x f y 的单调递增区间．
【命题意图】本题考查三角恒等变形、三角形函数的图象和性质等基础知识，意在考查数形结合思想和基本运算能力．
20．提高过江大桥的车辆通行能力可改善整个城市的交通状况，在一般情况下，大桥上的车流速度v（单位：千米/小时）是车流密度x（单位：辆/千米）的函数，当桥上的车流密度达到200辆/千米时，造成堵塞，此时车流速度为0；当车流密度不超过20辆/千米时，车流速度为60千米/小时，研究表明：当20≤x≤200时，车流速度v是车流密度x的一次函数．
（Ⅰ）当0≤x≤200时，求函数v（x）的表达式；
（Ⅱ）当车流密度x为多大时，车流量（单位时间内通过桥上某观测点的车辆数，单位：辆/小时）f（x）=x•v （x）可以达到最大，并求出最大值．（精确到1辆/小时）．
21．已知函数f（x）=sin2x+（1﹣2sin2x）．
（Ⅰ）求f（x）的单调减区间；
（Ⅱ）当x∈[﹣，]时，求f（x）的值域．
22．已知直线l的方程为y=x+4，圆C的参数方程为（θ为参数），以原点为极点，x轴正半轴
为极轴．建立极坐标系．
（Ⅰ）求直线l与圆C的交点的极坐标；
（Ⅱ）若P为圆C上的动点．求P到直线l的距离d的最大值．
23．已知和均为给定的大于1的自然数，设集合，，，...，，集合
..。

，，，，...，.
（1）当，时，用列举法表示集合；
（2）设、，..。

，..。

，其中、，，，...，
.证明：若，则.
24．已知函数
3
()
1
x
f x
x
=
+
，[]2,5
x∈．
（1）判断()
f x的单调性并且证明；
（2）求()
f x在区间[]2,5上的最大值和最小值．
禹王台区第二高级中学2018-2019学年高三上学期11月月考数学试卷含答案（参考答案） 一、选择题
1． 【答案】D
【解析】
{}{{}|5,||3,A y y B x y x x =≤===≥[]3,5A B ∴=，故选D.
2． 【答案】C
【解析】解：由题意，
++=，得到
，又||=||=||，△OAB 是等边三角形，所以四边
形OCAB 是边长为2的菱形，
所以
在
方向上的投影为ACcos30°=2×
=
；
故选C ．
【点评】本题考查了向量的投影；解得本题的关键是由题意，画出图形，明确四边形OBAC 的形状，利用向量解答．
3． 【答案】D
【解析】解：∵a=5，b=4，cosC=，可得：sinC==，
∴S △ABC =absinC==8．
故选：D ．
4． 【答案】 C
【解析】解：模拟执行程序，可得，当a ≥b 时，则输出a （b+1），反之，则输出b （a+1），
∵2tan =2，lg =﹣1，
∴（2tan ）⊗lg
=（2tan
）×（lg
+1）=2×（﹣1+1）=0，
∵lne=1，（
）﹣1
=5，
∴lne ⊗（
）﹣1
=（）﹣1
×（lne+1）=5×（1+1）=10，
∴+=0+10=10．
故选：C ．
5． 【答案】A
【解析】解：抛物线f （x ）=x 2
+bx+3开口向上，
以直线x=﹣为对称轴，
若函数y=x 2
+bx+3在[0，+∞）上单调递增函数，
则﹣≤0，解得：b ≥0，
故选：A ．
【点评】本题考查二次函数的性质和应用，是基础题．解题时要认真审题，仔细解答．
6． 【答案】A
【解析】解：由函数的图象可得A=1， =•
=
﹣
，
解得ω=2，
再把点（，1）代入函数的解析式可得 sin （2×
+φ）=1，
结合，可得φ=
，
故有
，
故选：A ．
7． 【答案】 【解析】解析：
选B.如图，设E 、F 在平面ABCD 上的射影分别为P ，Q ，过P ，Q 分别作GH ∥MN ∥AD 交AB 于G ，M ，交DC 于H ，N ，连接EH 、GH 、FN 、MN ，则平面EGH 与平面FMN 将原多面体分成四棱锥E -AGHD 与四棱锥F -MBCN 与直三棱柱EGH -FMN .
由题意得GH ＝MN ＝AD ＝3，GM ＝EF ＝2，
EP ＝FQ ＝1，AG ＋MB ＝AB －GM ＝2，
所求的体积为V ＝13（S 矩形AGHD ＋S 矩形MBCN ）·EP ＋S △EGH ·EF ＝13×（2×3）×1＋1
2×3×1×2＝5立方丈，故选B.
8． 【答案】D
【解析】
1
()1,2,1,12
x x xi yi x y i =-=-∴==+故选D 9． 【答案】B
【解析】解：由三角函数的公式化简可得：
=2（
）
=2（sin2xcos +cos2xsin
）=2sin （2x+
），
∴T=
=π，A=2
故选：B
10．【答案】B
【解析】解：模拟执行程序框图，可得 s=2，k=0
满足条件k ＜2016，s=﹣1，k=1 满足条件k ＜2016，s=，k=2 满足条件k ＜2016，s=2．k=3 满足条件k ＜2016，s=﹣1，k=4 满足条件k ＜2016，s=，k=5 …
观察规律可知，s 的取值以3为周期，由2015=3*671+2，有 满足条件k ＜2016，s=2，k=2016
不满足条件k ＜2016，退出循环，输出s 的值为2． 故选：B ．
【点评】本题主要考查了程序框图和算法，依次写出前几次循环得到的s ，k 的值，观察规律得到s 的取值以3为周期是解题的关键，属于基本知识的考查．
11．【答案】C
【解析】解：命题p ：∀x ∈R ，2x 2
﹣1＞0， 则其否命题为：∃x ∈R ，2x 2
﹣1≤0，
故选C ；
【点评】此题主要考查命题否定的定义，是一道基础题；
12．【答案】D
【解析】
【分析】对于①可构造四棱锥CABD 与四面体OABC 一样进行判定；对于②，使AB=AD=BD ，此时存在点D ，使四面体ABCD 是正三棱锥；对于③取CD=AB ，AD=BD ，此时CD 垂直面ABD ，即存在点D ，使CD
与AB垂直并且相等，对于④先找到四面体OABC的内接球的球心P，使半径为r，只需PD=r，可判定④的真假．
【解答】解：∵四面体OABC的三条棱OA，OB，OC两两垂直，OA=OB=2，OC=3，
∴AC=BC=，AB=
当四棱锥CABD与四面体OABC一样时，即取CD=3，AD=BD=2
此时点D，使四面体ABCD有三个面是直角三角形，故①不正确
使AB=AD=BD，此时存在点D，使四面体ABCD是正三棱锥，故②不正确；
取CD=AB，AD=BD，此时CD垂直面ABD，即存在点D，使CD与AB垂直并且相等，故③正确；
先找到四面体OABC的内接球的球心P，使半径为r，只需PD=r即可
∴存在无数个点D，使点O在四面体ABCD的外接球面上，故④正确
故选D
二、填空题
13．【答案】②③．
【解析】解：①∵sinαcosα=sin2α∈[，]，∵＞，∴存在实数α，使错误，故①错误，
②函数=cosx是偶函数，故②正确，
③当时，=cos（2×+）=cosπ=﹣1是函数的最小值，则是函数
的一条对称轴方程，故③正确，
④当α=，β=，满足α、β是第一象限的角，且α＜β，但sinα=sinβ，即sinα＜sinβ不成立，故④错误，
故答案为：②③．
【点评】本题主要考查命题的真假判断，涉及三角函数的图象和性质，考查学生的运算和推理能力．14．【答案】异面．
【解析】解：把展开图还原原正方体如图，
在原正方体中直线AB与CD的位置关系是异面．
故答案为：异面．
15．【答案】{x|x＞1或x＜0}．
【解析】解：
即
即x（x﹣1）＞0
解得x＞1或x＜0
故答案为{x|x＞1或x＜0}
【点评】本题考查将分式不等式通过移项、通分转化为整式不等式、考查二次不等式的解法．注意不等式的解以解集形式写出
16．【答案】﹣．
【解析】解：∵不等式f（x﹣2）≥f（x）对一切x∈R恒成立，
∴若x≤0，则x﹣2≤﹣2．
则不等式f（x﹣2）≥f（x）等价为，﹣2（x﹣2）≥﹣2x，
即4≥0，此时不等式恒成立，
若0＜x≤2，则x﹣2≤0，
则不等式f（x﹣2）≥f（x）等价为，﹣2（x﹣2）≥ax2+x，
即ax2≤4﹣3x，
则a≤=﹣，
设h（x）=﹣=4（﹣）2﹣9，
∵0＜x≤2，∴≥，
则h（x）≥﹣9，∴此时a≤﹣9，
若x＞2，则x﹣2＞0，
则f（x﹣2）≥f（x）等价为，a（x﹣2）2+（x﹣2）≥ax2+x，
即2a（1﹣x）≥2，
∵x＞2，∴﹣x＜﹣2，1﹣x＜﹣1，
则不等式等价，4a≤=﹣
即2a≤﹣
则g（x）=﹣在x＞2时，为增函数，
∴g（x）＞g（2）=﹣1，
即2a≤﹣1，则a≤﹣，
故a的最大值为﹣，
故答案为：﹣
【点评】本题主要考查不等式恒成立问题，利用分类讨论的数学思想，结合参数分离法进行求解即可．
17．【答案】6．
【解析】解：根据题意可知：f（x）﹣2x是一个固定的数，记为a，则f（a）=6，
∴f（x）﹣2x=a，即f（x）=a+2x，
∴当x=a时，
又∵a+2a=6，∴a=2，
∴f（x）=2+2x，
∴f（x）+f（﹣x）=2+2x+2+2﹣x=2x+2﹣x+4
≥2+4=6，当且仅当x=0时成立，
∴f（x）+f（﹣x）的最小值等于6，
故答案为：6．
【点评】本题考查函数的最值，考查运算求解能力，注意解题方法的积累，属于中档题．
18．【答案】（﹣4，）．
【解析】解：∵抛物线方程为y2=﹣8x，可得2p=8，=2．
∴抛物线的焦点为F（﹣2，0），准线为x=2．
设抛物线上点P（m，n）到焦点F的距离等于6，
根据抛物线的定义，得点P到F的距离等于P到准线的距离，
即|PF|=﹣m+2=6，解得m=﹣4，
∴n2=8m=32，可得n=±4，
因此，点P的坐标为（﹣4，）．
故答案为：（﹣4，）．
【点评】本题给出抛物线的方程，求抛物线上到焦点的距离等于定长的点的坐标．着重考查了抛物线的定义与标准方程等知识，属于基础题．
三、解答题
19．【答案】
20．【答案】
【解析】解：（Ⅰ）由题意：当0≤x≤20时，v（x）=60；当20＜x≤200时，设v（x）=ax+b
再由已知得，解得
故函数v（x）的表达式为．
（Ⅱ）依题并由（Ⅰ）可得
当0≤x＜20时，f（x）为增函数，故当x=20时，其最大值为60×20=1200
当20≤x≤200时，
当且仅当x=200﹣x，即x=100时，等号成立．
所以，当x=100时，f（x）在区间（20，200]上取得最大值．
综上所述，当x=100时，f（x）在区间[0，200]上取得最大值为，
即当车流密度为100辆/千米时，车流量可以达到最大值，最大值约为3333辆/小时．
答：（Ⅰ）函数v（x）的表达式
（Ⅱ）当车流密度为100辆/千米时，车流量可以达到最大值，最大值约为3333辆/小时．
21．【答案】
【解析】解：（Ⅰ）f（x）=sin2x+（1﹣2sin2
x）=sin2x+cos2x
=2（sin2x+cos2x）=2sin（2x+），
由2kπ+≤2x+≤2kπ+（k∈Z）得：kπ+≤x≤kπ+（k∈Z），
故f（x）的单调减区间为：[kπ+，kπ+]（k∈Z）；
（Ⅱ）当x∈[﹣，]时，（2x+）∈[0，]，2sin（2x+）∈[0，2]，
所以，f（x）的值域为[0，2]．
22．【答案】
【解析】解：（I）由圆C的参数方程为（θ为参数），利用cos2θ+sin2θ=1化为：x2+（y﹣2）
2=4，联立，解得或．
可得极坐标分别为：，．
（II）圆心（0，2）到直线l的距离=，
∴P到直线l的距离d的最大值为+r=+2．
【点评】本题考查了参数方程化为普通方程、极坐标方程化为直角坐标方程、直线与圆的位置关系，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．
23．【答案】
【解析】
24．【答案】（1）增函数，证明见解析；（2）最小值为，最大值为2.5. 【解析】
试题分析：（1）在[]2,5上任取两个数12x x <，则有1212123()
()()0(1)(1)x x f x f x x x --=<++，所以()f x 在[]
2,5上是增函数；（2）由（1）知，最小值为(2)2f =，最大值为5
(5)2
f =.
试题解析：
在[]2,5上任取两个数12x x <，则有
12121233()()11x x f x f x x x -=
-++12123()
(1)(1)
x x x x -=
++0<， 所以()f x 在[]2,5上是增函数．
所以当2x =时，min ()(2)2f x f ==， 当5x =时，max 5()(5)2
f x f ==. 考点：函数的单调性证明．
【方法点晴】本题主要考查利用定义法求证函数的单调性并求出单调区间，考查化归与转化的数学思想方法.先在定义域内任取两个数12x x <，然后作差12()()f x f x -，利用十字相乘法、提公因式法等方法化简式子成几个因式的乘积，判断最后的结果是大于零韩式小于零，如果小于零，则函数为增函数，如果大于零，则函数为减函数.1。