高中数学 第一章 三角函数 8 第2课时 函数y=Asin(ωx+

第2课时 函数y ＝A sin(ωx ＋φ)的性质
[核心必知]
函数y ＝A sin(ωx ＋φ)(A >0，ω>0)的性质
[问题思考]
1．函数y ＝sin(－2x )的周期是多少？
提示：π，因为sin(－2x )＝－sin 2x ，所以y ＝sin(－2x )与y ＝sin 2x 的周期相同． 2．函数y ＝A sin(ωx ＋φ)的对称中心和对称轴各有什么特点？
提示：对称中心为图像与x 轴的交点；对称轴为过其图像最高点或最低点与x 轴垂直的直线． 3．y ＝sin ⎝
⎛⎭⎪⎫ωx ＋π2是偶函数吗？
提示：因为sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫ωx ＋π2＝cos ωx ，所以y ＝sin ⎝
⎛⎭⎪⎫ωx ＋π2是偶函数．
讲一讲
1．求下列函数的周期 (1)y ＝12sin π
3x ；
(2)y ＝3sin ⎝
⎛⎭⎪⎫2x ＋π6.
[尝试解答] 法一：(1)y ＝12sin π
3x
＝12sin(π
3x ＋2π) ＝12sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤π3（x ＋6）， ∴此函数的周期为6. (2)y ＝3sin(2x ＋π6)
＝3sin(2x ＋π
6＋2π)
＝3sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤2（x ＋π）＋π6， ∴此函数的周期为π 法二：(1)T ＝2π
π3＝6.
(2)T ＝2π
2＝π.
求三角函数周期的方法．方法一：公式法，利用函数y ＝A sin(ωx ＋φ)＋b 或函数y ＝A cos(ωx ＋φ)＋b 的周期公式T ＝2π|ω|
来求；方法二：定义法：满足等式f (x ＋T )＝f (x )的非零常数T 为
y ＝f (x )的周期．
讲一讲
2．求函数y ＝3sin(π3－x
2
)的单调增区间．
[尝试解答] y ＝3sin ⎝ ⎛⎭
⎪⎫π3－x 2 ＝3sin ⎣
⎢⎡⎦
⎥⎤π－⎝
⎛⎭⎪⎫π3－x 3＝3sin(x 2＋2π3)，
由－π2＋2k π≤x 2＋2π3≤π
2＋2k π，k ∈Z ，
得－7π3＋4k π≤x ≤－π
3
＋4k π，k ∈Z .
∴y ＝3sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3－x 2的单调递增区间为
⎣⎢⎡⎦
⎥⎤4k π－7π3，4k π－π3(k ∈Z )．
求函数y ＝A sin(ωx ＋φ)(A >0)的单调区间最基本的方法是“整体代换”．
(1)ω>0时，解2k π－π2≤ωx ＋φ≤2k π＋π2(k ∈Z )得单调递增区间，解2k π＋π
2≤ωx
＋φ≤2k π＋3π
2
(k ∈Z )得单调递减区间．
讲一讲
3．求下列函数的最大值和最小值，并写出取得最值时的x 的取值集合． (1)y ＝3sin(2x －2π
3)；
(2)y ＝3－2sin(3x ＋π
6
)．
[尝试解答] (1)当2x －2π3＝2k π＋π
2，k ∈Z ，
即x ＝k π＋7π
12
(k ∈Z )时，y max ＝3，
x 的取值集合为⎩⎨⎧⎭
⎬⎫x ⎪⎪⎪x ＝k π＋7π12，k ∈Z . 当2x －2π3＝2k π－π
2，k ∈Z ，
即x ＝k π＋π
12
(k ∈Z )时，y min ＝－3，
x 的取值集合为⎩
⎨⎧
⎭
⎬⎫x ⎪
⎪⎪x ＝k π＋π
12
，k ∈Z .
(2)当3x ＋π3＝2k π－π
2(k ∈Z )，
即x ＝2k π3－5π
18
(k ∈Z )时，y max ＝5，
x 的取值集合为⎩
⎨⎧
⎭
⎬⎫x ⎪
⎪⎪
x ＝
2k π3－5π
18，k ∈Z . 当3x ＋π3＝2k π＋π
2，k ∈Z ，
即x ＝2k π3＋π
18
，k ∈Z 时，y min ＝1，
x 的取值集合为⎩
⎨⎧
⎭
⎬⎫x ⎪
⎪⎪x ＝
2k π3＋π
18，k ∈Z .
函数y ＝A sin(ωx ＋φ)(A ＞0，ω＞0)的值域为[－A ，A ]，分别在ωx ＋φ＝－π
2＋2k π和
ωx ＋φ＝π
2＋2k π，k ∈Z 处取得最小值－A 和最大值A ，其实质是将ωx ＋φ看作一个整体z ，
将问题转化为函数y ＝A sin z 的最小值和最大值问题．
练一练
3．已知函数f (x )＝2cos(π3－x
2)，若x ∈[－π，π]，求f (x )的最大值、最小值．
解：f (x )＝2cos(π3－x 2)＝2cos(x 2－π
3)．
由－π≤x ≤π，得－5π6≤x 2－π3≤π
6
.
当x 2－π3＝0，即x ＝2π
3
时，[f (x )]max ＝2. 当x 2－π3＝－5π
6
，即x ＝－π时，[f (x )]min ＝－ 3.
讲一讲
4．设函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ)，A ＞0，ω＞0，φ取何值时，f (x )是奇函数． [尝试解答] 因为x ∈R ，要使f (x )为奇函数，
需f (0)＝0， 所以sin φ＝0， 所以φ＝k π，k ∈Z . 而当φ＝k π时，
f (x )＝A sin(ωx ＋k π)＝
而f (x )＝A sin ωx 与f (x )＝－A sin ωx 都是奇函数． 所以当φ＝k π，k ∈Z 时，f (x )为奇函数．
f (x )＝A sin(ωx ＋φ)的奇偶性：
(1)φ＝k π(k ∈Z )时，f (x )为奇函数； (2)φ＝k π＋π
2(k ∈Z )时，f (x )为偶函数；
(3)φ为象限角时，f (x )为非奇非偶函数． 练一练
4．设函数f (x )＝A cos(ωx ＋φ)，A >0，ω>0，φ为何值时，f (x )为偶函数？ 解：由f (x )＝f (－x )得A cos(ωx ＋φ)＝A cos(－ωx ＋φ)．
根据余弦函数的特点，ωx ＋φ＝ωx －φ＋2k π，φ＝k π，k ∈Z .故φ＝k π，k ∈Z 时，f (x )为偶函数．
已知函数f (x )＝2a sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π6＋2a ＋b 的定义域是⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2，值域是[－5，1]，求a ，b 的值．
[巧思] 题目中函数的定义域和值域已知，可以先在定义域⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2下求出sin(2x ＋π6)的范
围，因为a 的符号不确定，所以可以分a >0，a <0的两种情况进行讨论．
[妙解] ∵0≤x ≤π2，∴π6≤2x ＋π6≤7π
6.
∴－12≤sin ⎝
⎛⎭⎪⎫2x ＋π6≤1.
1．函数f (x )＝3sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π6－1的最小值和最小正周期是( ) A ．－3－1，π B ．－3＋1，π C ．－3，π D ．－3－1，2π 解析：选A ∵3sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π6的最小值是－ 3. ∴f (x )的最小值是－3－1.
f (x )的周期T ＝
2π
2
＝π. 2．函数y ＝8sin ⎝
⎛⎭⎪⎫6x ＋π3取最大值时，自变量x 的取值集合是( ) A.⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪⎪x ＝－5π6＋k π
3，k ∈Z
B.⎩⎨⎧⎭
⎬⎫x ⎪⎪⎪x ＝π36＋k π
3，k ∈Z
C.⎩
⎨⎧
⎭
⎬⎫
x ⎪
⎪⎪x ＝
k π
3
，k ∈Z
D.⎩⎨⎧⎭
⎬⎫x ⎪⎪⎪x ＝π9＋k π
3，k ∈Z
解析：选B 当6x ＋π3＝2k π＋π
2
，k ∈Z 时y 最大．
即x ＝π36＋k π
3
，k ∈Z .
3．(福建高考)函数f (x )＝sin(x －π
4)的图像的一条对称轴是( )
A ．x ＝π4
B ．x ＝π2
C ．x ＝－π4
D ．x ＝－π
2
解析：选C f (x )＝sin(x －
π4)的图像的对称轴为x －π4＝k π＋π2，k ∈Z ，得x ＝k π＋3π
4
，当k ＝－1时，则其中一条对称轴为x ＝－π
4
.
4．(江苏高考)函数y ＝3sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π4的最小正周期为________． 解析：T ＝2π
2＝π.
答案：π
5．y ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫3x －π4的图像的两条相邻对称轴之间的距离是________． 解析：∵T ＝2π3，两条相邻对称轴之间的距离是周期的一半，即为π
3.
答案： π
3
6．求函数y ＝3cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－x 的单调递增区间． 解：y ＝3cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－x ＝3cos ⎝
⎛⎭⎪⎫x －π4.
令－π＋2k π≤x －π
4≤2k π(k ∈Z )，
则－3π4＋2k π≤x ≤π
4
＋2k π(k ∈Z )．
所以y ＝3cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－x 的单调递增区间是
⎣⎢⎡⎦
⎥⎤－3π4＋2k π，π4＋2k π(k ∈Z )．
一、选择题
1．(福建高考)函数f (x )＝sin ⎝
⎛⎭⎪⎫x －π4的图像的一条对称轴是( )
A ．x ＝π4
B ．x ＝π
2
C ．x ＝－π4
D ．x ＝－π
2
解析：选C f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π4的图像的对称轴为x －π4＝k π＋π2，(k ∈Z )，得x ＝k π＋
3π4(k ∈Z )，当k ＝－1时，则其中一条对称轴为x ＝－π
4
.
2．函数y ＝2sin(2x ＋5
2π)的奇偶性为( )
A ．奇函数
B ．偶函数
C ．既是奇函数又是偶函数
D ．非奇非偶函数
解析：选B y ＝2sin(2x ＋5
2π)＝2cos 2x ，
∴是偶函数．
3．(新课标全国卷)已知ω>0，0<φ<π，直线x ＝π4和x ＝5π
4是函数f (x )＝sin(ωx ＋φ)
图像的两条相邻的对称轴，则 φ＝( )
A.π4
B.π
3 C.
π2 D.3π4
解析：选A 由于直线x ＝π4和x ＝5π4是函数f (x )＝sin(ωx ＋φ)图像的两条相邻的对称轴，
所以函数f (x )的最小正周期T ＝2π，所以ω＝1，所以π4＋φ＝k π＋π
2
(k ∈Z )，
又0<φ<π，所以φ＝π
4
.
4．已知函数f (x )＝2sin(ωx ＋φ)，x ∈R ，其中ω＞0，－π＜φ≤π.若f (x )的最小正周期为6π，且当x ＝π
2
时，f (x )取得最大值，则( )
A ．f (x )在区间[－2π，0]上是增加的
B ．f (x )在区间[－3π，－π]上是增加的
C ．f (x )在区间[3π，5π]上是减少的
D ．f (x )在区间[4π，6π]上是减少的 解析：选A ∵f (x )的最小正周期为6π， ∴ω＝13，∵当x ＝π
2时，f (x )有最大值，
∴
π6＋φ＝π2＋2k π(k ∈Z )，φ＝π
3
＋2k π， ∵－π＜φ≤π，∴φ＝π3
.
可得f (x )＝2sin ⎝ ⎛⎭
⎪⎫x 3＋π3在区间[－2π，0]上是增加的． 二、填空题
5．函数y ＝2cos ⎝ ⎛⎭
⎪⎫π3－ωx 的周期为4π(ω∈R )，则ω＝________． 解析：因为y ＝A cos(ωx ＋φ)的周期T ＝2π
|ω|，
所以T ＝2π|ω|＝4π，即|ω|＝1
2，
所以ω＝±1
2.
答案：±1
2
6．函数y ＝2sin(x －π6)⎝ ⎛⎭⎪⎫
x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π3，π3上的值域是________．
解析：∵－π3≤x ≤π3，∴－π2≤x －π6≤π
6.
∴－1≤sin(x －π6)≤1
2，
故y ∈[－2，1]． 答案：[－2，1]
7．已知方程2sin(x ＋π
4)＝k 在x ∈[0，π]上有两个解，则实数k 的范围是________．
解：
令y 1＝2sin(x ＋π
4
)，y 2＝k ，在同一坐标系内作出它们的图像，(0≤x ≤π)，由图像可知，
当1≤k <2时，直线y 2＝k 与曲线y 1＝2sin(x ＋π
4)在0≤x ≤π上有两个公共点，即当1≤k <2
时，原方程有两个解．
答案：[1，2)
8．若ω>0，函数f (x )＝2sin ωx 在⎣⎢⎡⎦
⎥⎤－π3，π4上是增加的，则ω的取值范围是________． 解析：由－π2≤ωx ≤π
2，
得f (x )的一个递增区间为⎣⎢⎡⎦
⎥
⎤－
π2ω，π2ω.
由题设得⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π3，π4⊆⎣⎢⎡⎦
⎥⎤－π
2ω，π2ω.
，
∴0<ω≤3
2.
答案：(0，3
2]
三、解答题
9．设函数f (x )＝sin(2x ＋φ)(－π<φ<0)，y ＝f (x )的图像的一条对称轴是直线x ＝π
8.
(1)求φ；(2)求函数y ＝f (x )的单调递增区间．
解：(1)∵直线x ＝π
8
是函数y ＝f (x )的图像的一条对称轴，
∴sin ⎝ ⎛⎭
⎪⎫2×π8＋φ＝±1，
∴
π4＋φ＝k π＋π
2
，k ∈Z . ∵－π<φ<0， ∴φ＝－3π4
.
(2)由(1)知φ＝－3π
4，
因此y ＝sin ⎝ ⎛⎭
⎪⎫2x －3π4.
- 11 - 由题意得2k π－π2≤2x －3π4≤2k π＋π2
，k ∈Z . 解得k π＋π8≤x ≤k π＋5π8
，k ∈Z . ∴函数y ＝sin ⎝
⎛⎭⎪⎫2x －3π4的单调递增区间是[k π＋π8，k π＋5π8](k ∈Z )． 10．已知函数f (x )＝sin(ωx ＋φ)(ω>0，0≤φ≤π)是R 上的偶函数，其图像关于点M (3π4，
0)对称，且在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2上是单调函数，求φ和ω的值．
解：∵f (x )在R 上是偶函数，
∴当x ＝0时，f (x )取得最大值或最小值．
即sin φ＝±1，得φ＝k π＋π2，k ∈Z ，又0≤φ≤π，
∴φ＝π2.由图像关于M (34π，0)对称可知，
sin(34πω＋π2)＝0，
即3π4ω＋π2＝k π，k ∈Z ，
解得ω＝43k －23，k ∈Z .
又f (x )在⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2上是单调函数，
所以T ≥π，
即2πω≥π，
∴ω≤2，
又ω>0，
∴当k ＝1时，ω＝23，
当k ＝2时，ω＝2.。