和角公式(余弦)

) 的值.
作业
1、已知0 3 4 , cos , 则 sin 等于（ 2 5 5 24 24 24 A.0 B.0 C. D. 25 25 25 12 3 2、已知cos = , , 2 ,则cos + 等于( ) 13 4 2 , 又 sin A. 7 2 26 B. 17 2 26 C. 5 2 26 D.
P1P 2
P1Q 2 P 2Q 2

x2 x12 y 2 y12
练习：求两点A(-1,5)，B(4,-7)间的距离 解：
AB
A(-1,5) •
y
4 12 7 52
13
0 x
• B(4,-7)
P1P3=
cos( ) 12 sin( )2 P2P4= cos( ) cos 2 sin( ) sin 2
)
1 cos cos sin sin ;
1 3 2 sin cos 2 2 5 10 5、已知 : sin ,sin , 和 都是锐角, 求cos 及 的值. 5 10
练习：求下列各式的值
1）cos75o 2）cos105o =cos45ocos30o-sin45osin30o
2 3 2 1 6 2 2 2 2 2 4
解：1)cos75o=cos(45o +30o)
2)cos105o=cos(45o +60o) =cos45ocos60o-sin45osin60o
2 1 2 3 2 6 2 2 2 2 4
3）cos32o cos28o –sin32o sin28o
解：原式=
cos(32o
o)=cos60o= 1 +28
2
4）cos215o –sin215o
解：原式= cos15o cos15o –sin15o sin15o =cos(15o+15o)=cos30o=

P10 P 2 P 40 P3 P1P 2 P 4 P3
例: 已知sin 3 , , , cos 5 , , 3 ,
5 2 13 2 求 cos( )的值.
cos( 分析：
) cos cos sin sin √ √
3 4 解： sin , , , cos 5 5 2 5 12 3 cos , , , sin 13 13 2 cos( ) cos cos sin sin 4 5 3 12 ( )( ) ( )( ) 5 13 5 13 20 36 65 65 56 65

O


P1 1,0
x
P10 P3 P 40 P 2 P1P3 P 4 P 2
P4 cos , sin
y N2 • P (x2, y2) 2
M1 • P1 (x1, y1) P1Q=M1M2=|x2-x1|
M2
0
N1 Q
x
P2Q=N1N2=|y2-y1|
得


P1 1,0 x
cos( ) cos cos sin sin
cos , sin
P4
cos( ) cos cos sin sin
简记为： C ( )
此公式有何特点
左边 是两角和的余弦 右边 是两个单角的余弦积 减去两个单角的正弦积
新教材
两角和与差的余弦公式
问题：
如何用角 和 的正弦或余弦表示 角 的余弦
即：用
sin , cos , sin , cos 中的几个表示 cos( )
找到方法： 利用三角函数的定义和单位圆
三角函数的定义： 始边与x轴非负半轴重合 设角
P(x,y)是角
3 2
表示 cos( ) cos( ) cos[ ( )] 解：
5）用 sin , cos , sin , cos
cos cos( ) sin sin( )
cos cos sin sin
练习：求cos15o的值. 解：cos15o=cos(45o -30o) =cos[45o+(-30o)] =cos45o cos(-30o)-sin45osin (-30o) =cos45o cos30o+sin45osin30o
两角和与差的余弦 综合应用

4 2 ，且0 , 求 cos 10 2
(1)已知 cos(
)
1 1 (2)已知 cos( ) ,sin( ) ，且 , (0, ), 求 cos 2 7 5 2
1 1 (3) sin sin , cos cos 求 cos( , 2 3
cos( ) 2 cos( ) cos cos
2 2
y P2 cos , sin
sin( ) 2 sin( ) sin sin
2
2
得 1 2 cos( ) 1

O
1 1 2 sin( ) sin 2 cos( ) cos sin( ) sin , cos( ) cos 得 2 2 cos( ) 2 2 sin sin 2 cos cos
由P1P3=P2P4 得 P1P32=2 2
cos( ) cos sin( ) sin 展开，得 cos , sin
cos( )2 2 cos( ) 1 sin( )2 P3
2 3 2 1 6 2 2 2 2 2 4
cos( ) cos cos sin sin
P2 cos , sin
思考题：利用单位圆证明 y

O

P3 cos , sin
P1 1,0
x P4 cos , sin
终边上任意一点
y
y x sin , cos r r r | OP | x 2 y 2
• P(x,y)

o x
单位圆：
圆心在原点，半径等于1个单位的圆
若点P在单位圆上，则
sin y, cos x
y
cos , sin
P3 P2 cos , sin

）
29 2 26 1 1 3、 已知cos -cos = ,sin sin , 则cos ( ) 1 2 3 1 2 2 2 已知cos , 则 sin sin cos cos ( 3 4、化简：