函数的极值与最大(小)值(第二课时)课件--高二下学期数学人教A版(2019)选择性必修第二册
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当x=
1
12
49
时，函数f(x)在[0,2]上取得最小值24
1
2.当x=2时，函数f(x)在[- ,3]上取得最大值20，
3
1
1
55
当x=- 时，函数f(x)在[- ,3]上取得最小值
3
3
27
.
四
课堂小结
求f(x)在[a,b]上的最大值与最小值的步骤：
(1) f(x)在(a,b)内导函数为零的点，并计算出其函
数极值；
(2) 将f(x)的各导数值为零的点的函数极值与f(a),
f(b)比较，其中最大的一个是最大值，最小的一个
是最小值．
五 作业
❖给定函数 = + 1 .
❖（1）判断函数 的单调性，并求出 的最值；
❖（2）画出函数 的大致图象；
数值吗?如果有，它是极值吗？
二 讲授 新课
函数最大值和最小值的概念：一般地，设函数y=f(x)
的定义域为I，如果存在实数M 满足：
（1）对于任意的x∈I，都有f(x)≤M ; （2）存在
x0∈I，使得f(x0) = M
那么，称M 是函数y=f(x)的最大值；
一般地，设函数y=f(x)的定义域为I ，如果存在实数
第五章
一元函数的导数及其应用
5.3.2 函数的极值与最大（小）值（第二课时）
学习目标
1.巩固“利用导数求函数的极值的方法”；
2. 求函数的最值．
❖一 新课引入
❖如图：
y
y=f(x)
a x 1 x 2 x 3 O x 4 x5
x6
b
x
❖f (x)在区间[a,b]内的极值分别是？极大值一定大于
极小值吗？f (x)在区间[a,b]内有最大函数值、最小函
所以,当x=1时, f(x)取得最小值.故当x>0时
1
1- ≤lnx
.
三 课堂练习
求下列函数在给定区间上的最大值与最小值：
(1) f (x)=6x2-x-2，x∈[0,2];
(2) f
1
3
(x)=6+12x－x .x∈[− ,3]
3
答案：
1.当x=2时，函数f(x)在[0,2]上取得最大值20，
[a,b]上有最大值、最小值吗？如果有，最大值和最小
值分别是什么？
y
y= g ( x )
y
y= f ( x )
x4
a
O
b x
a x1
O
最大值：f(b); 最小值：f(a)
最大值：f(x3); 最小值：f(x4)
x5 b
x
一般地：
如果在闭区间[a, b]上函数y=f(x)的图象是一条连续
曲线,它必有最大值和最小值.
1
f(x)=
3
求
x3 -4x+4在[0,3]上最大值和最小值
分析 f′(x)=x2-4 =(x-2)(x+2)
令f′(x)=0 ，得x=-ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ 或 x=2
列表如下：
x
0 (0.2)
2
(2,3)
3
f′(x)
0
+
f(x)
4 单调减 极小值- 单调增
1
.例1
4
3
4
所以f(x)在[0,3]上最大值和最小值分别是4、3
定是极值.
4.求闭区间上函数最值时，只要把函数y=f(x)的
所有极值连同端点的函数值进行比较，就可以求出
函数的最大值和最小值.
5.闭区间上函数同时有最大值和最小值.
问题：给定函数的区间不是闭区间，有最值吗？
y
y=f(x)
O a
b
x
当函数在区间的端点处无定义时，可能无法求得最值.
如上图，函数有最大值，但无最小值.即有单一最值
M 满足：
（1）对于任意的x∈I ，都有f(x)≥M ; （2）存在
x0∈I，使得f(x0) = M
那么，称M 是函数y=f(x)的最小值 .
y
y=f(x)
a x 1 x 2 x 3 O x 4 x5
x6
b
x
如上图所示：f(x)的最大值：f(a)
f(x)的最小值：f(x3)跟踪练习：
；
观察[a,b]上的函数y=f(x)和y=g(x)的图象，它们在
• 例2
当x>0时，证明
解：将不等式
1
f(x)=
x
1
1- ≤lnx
x
1
1- ≤lnx
1
,转化为
x
1
1
,f′(x)=- 2 +
x
x
设
-1+ lnx
令f′(x)=0 ，得x=1 .
列表如右：
-1+ lnx≥0
=
x−1
x2
,
x
(0, 1)
1
( 1, +∞)
f '(x)
-
0
+
f (x)
单调减
极小
值0
单调增
小结：闭区间上函数最值需注意：
1.函数的最大值、最小值是比较整个定义域上的函数
值得出的，函数的极大值、极小值是比较极值点附近
的函数值得出的.
2.函数的极值可以有多个，但函数在其定义域上的最
大值、最小值最多各有一个；
.
3.极值只能在区间内取得，最值则可以在端点处取
得 ；有最值未必有极值；
极值有可能成为最值，最值只要不在端点处取得必
1
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时，函数f(x)在[0,2]上取得最小值24
1
2.当x=2时，函数f(x)在[- ,3]上取得最大值20，
3
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55
当x=- 时，函数f(x)在[- ,3]上取得最小值
3
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.
四
课堂小结
求f(x)在[a,b]上的最大值与最小值的步骤：
(1) f(x)在(a,b)内导函数为零的点，并计算出其函
数极值；
(2) 将f(x)的各导数值为零的点的函数极值与f(a),
f(b)比较，其中最大的一个是最大值，最小的一个
是最小值．
五 作业
❖给定函数 = + 1 .
❖（1）判断函数 的单调性，并求出 的最值；
❖（2）画出函数 的大致图象；
数值吗?如果有，它是极值吗？
二 讲授 新课
函数最大值和最小值的概念：一般地，设函数y=f(x)
的定义域为I，如果存在实数M 满足：
（1）对于任意的x∈I，都有f(x)≤M ; （2）存在
x0∈I，使得f(x0) = M
那么，称M 是函数y=f(x)的最大值；
一般地，设函数y=f(x)的定义域为I ，如果存在实数
第五章
一元函数的导数及其应用
5.3.2 函数的极值与最大（小）值（第二课时）
学习目标
1.巩固“利用导数求函数的极值的方法”；
2. 求函数的最值．
❖一 新课引入
❖如图：
y
y=f(x)
a x 1 x 2 x 3 O x 4 x5
x6
b
x
❖f (x)在区间[a,b]内的极值分别是？极大值一定大于
极小值吗？f (x)在区间[a,b]内有最大函数值、最小函
所以,当x=1时, f(x)取得最小值.故当x>0时
1
1- ≤lnx
.
三 课堂练习
求下列函数在给定区间上的最大值与最小值：
(1) f (x)=6x2-x-2，x∈[0,2];
(2) f
1
3
(x)=6+12x－x .x∈[− ,3]
3
答案：
1.当x=2时，函数f(x)在[0,2]上取得最大值20，
[a,b]上有最大值、最小值吗？如果有，最大值和最小
值分别是什么？
y
y= g ( x )
y
y= f ( x )
x4
a
O
b x
a x1
O
最大值：f(b); 最小值：f(a)
最大值：f(x3); 最小值：f(x4)
x5 b
x
一般地：
如果在闭区间[a, b]上函数y=f(x)的图象是一条连续
曲线,它必有最大值和最小值.
1
f(x)=
3
求
x3 -4x+4在[0,3]上最大值和最小值
分析 f′(x)=x2-4 =(x-2)(x+2)
令f′(x)=0 ，得x=-ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ 或 x=2
列表如下：
x
0 (0.2)
2
(2,3)
3
f′(x)
0
+
f(x)
4 单调减 极小值- 单调增
1
.例1
4
3
4
所以f(x)在[0,3]上最大值和最小值分别是4、3
定是极值.
4.求闭区间上函数最值时，只要把函数y=f(x)的
所有极值连同端点的函数值进行比较，就可以求出
函数的最大值和最小值.
5.闭区间上函数同时有最大值和最小值.
问题：给定函数的区间不是闭区间，有最值吗？
y
y=f(x)
O a
b
x
当函数在区间的端点处无定义时，可能无法求得最值.
如上图，函数有最大值，但无最小值.即有单一最值
M 满足：
（1）对于任意的x∈I ，都有f(x)≥M ; （2）存在
x0∈I，使得f(x0) = M
那么，称M 是函数y=f(x)的最小值 .
y
y=f(x)
a x 1 x 2 x 3 O x 4 x5
x6
b
x
如上图所示：f(x)的最大值：f(a)
f(x)的最小值：f(x3)跟踪练习：
；
观察[a,b]上的函数y=f(x)和y=g(x)的图象，它们在
• 例2
当x>0时，证明
解：将不等式
1
f(x)=
x
1
1- ≤lnx
x
1
1- ≤lnx
1
,转化为
x
1
1
,f′(x)=- 2 +
x
x
设
-1+ lnx
令f′(x)=0 ，得x=1 .
列表如右：
-1+ lnx≥0
=
x−1
x2
,
x
(0, 1)
1
( 1, +∞)
f '(x)
-
0
+
f (x)
单调减
极小
值0
单调增
小结：闭区间上函数最值需注意：
1.函数的最大值、最小值是比较整个定义域上的函数
值得出的，函数的极大值、极小值是比较极值点附近
的函数值得出的.
2.函数的极值可以有多个，但函数在其定义域上的最
大值、最小值最多各有一个；
.
3.极值只能在区间内取得，最值则可以在端点处取
得 ；有最值未必有极值；
极值有可能成为最值，最值只要不在端点处取得必