2019高考数学文科一轮分层演练：第1章集合与常用逻辑用语 第2讲含解析

一、选择题
1．已知x ∈R ，命题“若x 2＞0，则x ＞0”的逆命题、否命题和逆否命题中，正确命题的个数是( )
A ．0
B ．1
C ．2
D ．3
解析：选C.命题“若x 2＞0，则x ＞0”的逆命题是“若x ＞0，则x 2＞0”，是真命题；
否命题是“若x 2≤0，则x ≤0”，是真命题；
逆否命题是“若x ≤0，则x 2≤0”，是假命题．
综上，以上3个命题中真命题的个数是2.故选C.
2．已知命题p ：“正数a 的平方不等于0”，命题q ：“若a 不是正数，则它的平方等于0”，则q 是p 的
( )
A ．逆命题
B ．否命题
C ．逆否命题
D ．否定
解析：选B.命题p ：“正数a 的平方不等于0”可写成“若a 是正数，则它的平方不等于0”，从而q 是p 的否命题．
3．(2018·陕西质量检测(一))设a ，b ∈R ，则“(a －b )a 2＜0”是“a ＜b ”的( )
A ．充分不必要条件
B ．充要条件
C ．必要不充分条件
D ．既不充分也不必要条件
解析：选A.由(a －b )a 2＜0可知a 2≠0，则一定有a －b ＜0，即a ＜b ；但是a ＜b 即a －b ＜0时，有可能a ＝0，所以(a －b )a 2＜0不一定成立，故“(a －b )a 2＜0”是“a ＜b ”的充分不必要条件，选A.
4．“x >4”是“x 2－2x －3>0”的( )
A ．充要条件
B ．充分而不必要条件
C ．必要而不充分条件
D ．既不充分也不必要条件
解析：选B.因为x 2－2x －3>0，所以该不等式的解集为{x |x <－1或x >3}，所以x >4⇒x 2－2x －3>0.
但x 2－2x －3>0x >4，所以“x >4”是“x 2－2x －3>0”的充分而不必要条件．
5．有下列命题：
①“若x ＋y ＞0，则x ＞0且y ＞0”的否命题；
②“矩形的对角线相等”的否命题；
③“若m ≥1，则mx 2－2(m ＋1)x ＋m ＋3＞0的解集是R ”的逆命题；
④“若a ＋7是无理数，则a 是无理数”的逆否命题．
其中正确的是( )
A ．①②③
B ．②③④
C ．①③④
D ．①④
解析：选C.①的逆命题为“若x ＞0且y ＞0，则x ＋y ＞0”为真，故否命题为真；
②的否命题为“不是矩形的图形对角线不相等”，为假命题；
③的逆命题为“若mx 2－2(m ＋1)x ＋m ＋3＞0的解集为R ，则m ≥1”．
因为当m ＝0时，解集不是R ，
所以应有⎩⎪⎨⎪⎧m ＞0，Δ＜0，
即m ＞1.所以③是真命题； ④原命题为真，逆否命题也为真．
6．(2018·石家庄模拟)“log 2(2x －3)＜1”是“4x ＞8”的( )
A ．充分不必要条件
B ．必要不充分条件
C ．充分必要条件
D ．既不充分也不必要条件
解析：选A.由log 2(2x －3)＜1⇒0＜2x －3＜2⇒32＜x ＜52，4x ＞8⇒2x ＞3⇒x ＞32
，所以“log 2(2x －3)＜1”是“4x
＞8”的充分不必要条件，故选A.
7．已知直线l，m，其中只有m在平面α内，则“l∥α”是“l∥m”的()
A．充分不必要条件B．必要不充分条件
C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件
解析：选B.当l∥α时，直线l与平面α内的直线m平行、异面都有可能，所以l∥m不一定成立；当l∥m 时，根据直线与平面平行的判定定理知直线l∥α，即“l∥α”是“l∥m”的必要不充分条件，故选B.
8．命题“对任意x∈[1，2)，x2－a≤0”为真命题的一个充分不必要条件可以是()
A．a≥4 B．a＞4
C．a≥1 D．a＞1
解析：选B.要使“对任意x∈[1，2)，x2－a≤0”为真命题，只需要a≥4，所以a＞4是命题为真的充分不必要条件．
9．(2017·高考浙江卷)已知等差数列{a n}的公差为d，前n项和为S n，则“d＞0”是“S4＋S6＞2S5”的() A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充分必要条件
D．既不充分也不必要条件
解析：选C.因为{a n}为等差数列，所以S4＋S6＝4a1＋6d＋6a1＋15d＝10a1＋21d，2S5＝10a1＋20d，S4＋S6－2S5＝d，所以d>0⇔S4＋S6>2S5，故选C.
10．(2018·惠州第三次调研)设函数y＝f(x)，x∈R，“y＝|f(x)|是偶函数”是“y＝f(x)的图象关于原点对称”的()
A．充分不必要条件B．充要条件
C．必要不充分条件D．既不充分也不必要条件
解析：选C.设f(x)＝x2，y＝|f(x)|是偶函数，但是不能推出y＝f(x)的图象关于原点对称．反之，若y＝f(x)的图象关于原点对称，则y＝f(x)是奇函数，这时y＝|f(x)|是偶函数，故选C.
11．(2018·贵阳检测)设向量a＝(1，x－1)，b＝(x＋1，3)，则“x＝2”是“a∥b”的()
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
解析：选A.依题意，注意到a∥b的充要条件是1×3＝(x－1)(x＋1)，即x＝±2.因此，由x＝2可得a∥b，“x ＝2”是“a∥b”的充分条件；由a∥b不能得到x＝2，“x＝2”不是“a∥b”的必要条件，故“x＝2”是“a∥b”的充分不必要条件，选A.
12．已知p：x≥k，q：(x＋1)(2－x)<0，如果p是q的充分不必要条件，则实数k的取值范围是() A．[2，＋∞)B．(2，＋∞)
C．[1，＋∞) D．(－∞，－1]
解析：选B.由q：(x＋1)(2－x)<0，得x<－1或x>2，又p是q的充分不必要条件，所以k>2，即实数k的取值范围是(2，＋∞)，故选B.
二、填空题
13．下列命题中为真命题的是________．
①命题“若x>1，则x2>1”的否命题；
②命题“若x>y，则x>|y|”的逆命题；
③命题“若x＝1，则x2＋x－2＝0”的否命题；
④命题“若x2>1，则x>1”的逆否命题．
解析：对于①，命题“若x>1，则x2>1”的否命题为“若x≤1，则x2≤1”，易知当x＝－2时，x2＝4>1，故①为假命题；对于②，命题“若x>y，则x>|y|”的逆命题为“若x>|y|，则x>y”，分析可知②为真命题；对于③，命题“若x＝1，则x2＋x－2＝0”的否命题为“若x≠1，则x2＋x－2≠0”，易知当x＝－2时，x2＋x－2＝0，故③为假命题；对于④，命题“若x2>1，则x>1”的逆否命题为“若x≤1，则x2≤1”，易知当x＝－2时，x2＝
4>1，故④为假命题．
答案：②
14．给出命题：若函数y ＝f (x )是幂函数，则函数y ＝f (x )的图象不过第四象限．在它的逆命题、否命题、逆否命题3个命题中，真命题的个数是________．
解析：原命题是真命题，故它的逆否命题是真命题；它的逆命题为“若函数y ＝f (x )的图象不过第四象限，则函数y ＝f (x )是幂函数”，显然逆命题为假命题，故原命题的否命题也为假命题．因此在它的逆命题、否命题、逆否命题3个命题中真命题只有1个．
答案：1
15．若命题“ax 2－2ax －3>0不成立”是真命题，则实数a 的取值范围是________．
解析：由题意知ax 2
－2ax －3≤0恒成立，当a ＝0时，－3≤0成立；当a ≠0时，得⎩⎨⎧a <0，
Δ＝4a 2＋12a ≤0，解得－3≤a <0，故－3≤a ≤0.
答案：[－3，0]
16．(2018·长沙模拟)给出下列命题：
①已知集合A ＝{1，a }，B ＝{1，2，3}，则“a ＝3”是“A ⊆B ”的充分不必要条件；
②“x ＜0”是“ln(x ＋1)＜0”的必要不充分条件；
③“函数f (x )＝cos 2ax －sin 2ax 的最小正周期为π”是“a ＝1”的充要条件；
④“平面向量a 与b 的夹角是钝角”的充要条件是“a·b ＜0”．其中正确命题的序号是________．(把所有正确命题的序号都写上)
解析：①因为“a ＝3”可以推出“A ⊆B ”，但“A ⊆B ”不能推出“a ＝3”，所以“a ＝3”是“A ⊆B ”的充分不必要条件，故①正确；②“x ＜0”不能推出“ln(x ＋1)＜0”，但“ln(x ＋1)＜0”可以推出“x ＜0”，所以“x ＜0”是“ln(x ＋1)＜0”的必要不充分条件，故②正确；③f (x )＝cos 2ax －sin 2ax ＝cos 2ax ，若其最小正周期为π，则2π2|a |
＝π⇒a ＝±1，因此“函数f (x )＝cos 2ax －sin 2ax 的最小正周期为π”是“a ＝1”的必要不充分条件，故③错误；④“平面向量a 与b 的夹角是钝角”可以推出“a·b ＜0”，但由“a·b ＜0”，得“平面向量a 与b 的夹角是钝角或平角”，所以“a·b ＜0”是“平面向量a 与b 的夹角是钝角”的必要不充分条件，故④错误．正确命题的序号是①②.
答案：①②。