2018年陕西中考数学专题复习二次函数与图形面积

二次函数与图形面积
★1.已知抛物线y ＝－x 2＋bx ＋c 过点A (4，0)、B (1，3)．
(1)求抛物线的表达式，并写出抛物线的对称轴和顶点坐标；
(2)抛物线的对称轴为直线l ，设抛物线上的点P (m ，n )在第四象限，点P 关于直线l 的对称点为E ，点E 关于x 轴的对称点为F ，若以O 、A 、P 、F 四点组成的四边形的面积为20，求m 、n 的值．
解：(1)将点A (4，0)、B (1，3)代入抛物线y ＝－x 2
＋bx ＋c 得⎩⎨⎧=++-=++-310416c b c b ，解得⎩⎨⎧==0
4c b ， ∴抛物线的表达式为y ＝－x 2＋4x ，对称轴为直线x ＝－b 2a ＝－42×（－1）
＝2，顶点坐标为(2，4)；
(2)抛物线的对称轴为直线x ＝2，设抛物线上的点P (m ，n )在第四象限，则点P 关于直线l 的对称点为E (4－m ，n )，点E 关于x 轴的对称点为F (4－m ，－n )，若以O 、A 、P 、F 四点组成的四边形的面积为20，则S 四边形OP AF ＝S △AOF
＋S △AOP ＝12×4×(－n )＋12×4×(－n )＝－4n ＝20，n ＝－5，将(m ，－5)代入y ＝－x 2＋4x ，解得：m ＝5或m ＝－1.
∵点P (m ，n )在第四象限，
∴m ＝5，n ＝－5.
★2.已知，m 、n 是方程x 2－6x ＋5＝0的两个实数根，且m <n ，抛物线y ＝－x 2＋bx ＋c 经过点A (m ，0)，B (0，n )．
(1)求抛物线的表达式；
(2)设(1)中抛物线与x 轴的另一交点为C ，抛物线的顶点为D ，试求出点C 、
D 的坐标和△BCD 的面积；
(3)点P 是线段OC 上的一点，过点P 作PH ⊥x 轴，与抛物线交于点H ，若直线BC 把△PCH 分成面积之比为2∶3的两部分，请求出P 点的坐标．
第2题图
解：(1)解方程x 2－6x ＋5＝0，
得x 1＝5，x 2＝1，
由m <n ，得m ＝1，n ＝5.
∴点A 、B 的坐标分别为A (1，0)，B (0，5)．
将A (1，0)，B (0，5)的坐标分别代入y ＝－x 2＋bx ＋c ，
得⎩⎨⎧==++-50
1c c b ，解得⎩⎨⎧=-=54
c b ，
∴抛物线的表达式为y ＝－x 2－4x ＋5；
第2题解图①
(2)令y ＝－x 2－4x ＋5＝0，
解得x 1＝－5, x 2＝1，
∴C 点的坐标为(－5，0)．
由顶点坐标公式计算，得点D (－2，9)．
如解图①，过D 作x 轴的垂线交x 轴于点M .
则S △DMC ＝12×9×(5－2)＝272，S 四边形MDBO ＝12×2×(9＋5)＝14，
S △BOC ＝12×5×5＝252，
∴S △BCD ＝S 四边形MDBO ＋S △DMC －S △BOC ＝14＋272－252＝15；
第2题解图②
(3)如解图②，设P 点的坐标为(a ，0)，
∵直线BC 过B 、C 两点，
∴BC 所在直线的解析式为y ＝x ＋5.
那么，PH 与直线BC 的交点坐标为E (a ，a ＋5)，PH 与抛物线y ＝－x 2－4x ＋5的交点H 的坐标为(a ，－a 2－4a ＋5)．
由题意，得①EH ＝32EP ，即(－a 2－4a ＋5)－(a ＋5)＝32(a ＋5)，
解得a ＝－32或a ＝－5(舍去)；
②EH ＝23EP ，即(－a 2－4a ＋5)－(a ＋5)＝23(a ＋5)．解得a ＝－23或a ＝－5(舍去)．
∴P 点的坐标为(－32，0)或(－23，0)．
★3.已知抛物线C ：y ＝ax 2＋bx ＋c ，其顶点P (－2，0)，过点A (0，3)．
(1)求抛物线对称轴及其表达式；
(2)将抛物线C 平移到抛物线C ′，抛物线C ′的顶点为P ′、它与x 轴的交点为M 、N ，N 在M 的右边．如果以A 、P 、P ′、N 四点为顶点的四边形是面积为15的平行四边形，那么抛物线C 怎么平移？
第3题图
解：(1)抛物线顶点P (－2，0)，
即可得抛物线对称轴为x ＝－2；
∵－b 2a ＝－2，即b ＝4a ，A (0，3)，
∴设抛物线表达式为y ＝ax 2＋4ax ＋c .
将A (0，3)、P (－2，0)代入y ＝ax 2＋4ax ＋c ，
得⎩⎨⎧=+-=c a a 33840，解得⎪⎩⎪⎨⎧==3
43c a ， ∴抛物线的表达式为y ＝34x 2＋3x ＋3；
(2)如解图，连接AP 、AN 、PN 、PP ′，作P ′Q ⊥PN 于点Q
.
第3题解图
∵以A、P、P′、N四点为顶点的四边形面积为15的平行四边形，且点M、N为平移后抛物线与x轴的交点，
∴S▱APP′N＝1
2×2×OA·PN＝OA·PN＝15，
∵点A(0，3)，
∴OA＝3，
∴PN＝5.
又∵P(－2，0)且点N为抛物线与x轴交点，
∴N点坐标为N1(3，0)或N2(－7，0)．
∵P′Q＝OA＝3，
∴点P′的纵坐标为－3.
∵在Rt△P′QN中，P′Q＝3，
P′N＝AP＝OP2＋OA2＝22＋32＝13，
∴NQ＝P′N2－P′Q2＝13－32＝2，
∴点Q的坐标为Q1(1，0)或Q2(－9，0)，
∴点P′的坐标为P′1(1，－3)或P′2(－9，－3)．
又∵原抛物线的顶点P(－2，0)，
∴抛物线应先向右平移3个单位，再向下平移3个单位，或先向左平移7个单位再向下平移3个单位．
★4.如图，抛物线y＝ax2＋c(a＞0)与x轴交于A、D两点，在抛物线上找两点B、C，使得BC∥AD，其中A(－2，0)，B(－1，－3)．
(1)求该抛物线的表达式；
(2)点M为y轴上任意一点，当点M到A、B两点的距离之和为最小时，求
点M 的坐标；
(3)在(2)的结论下，若抛物线上一点P 满足S △P AD ＝4S △ABM ，求点P 的坐标．
第4题图
解：(1)∵点A 、B 均在抛物线上，
∴⎩⎨⎧-=+=+304c a c a ，解得⎩⎨⎧-==4
1c a ， ∴该抛物线的表达式为：y ＝x 2－4；
(2)如解图，连接BD 交y 轴于点M ，
则点M 即为所求点．
∵D (2，0)、B (－1，－3)，
设BD 的表达式为y ＝kx ＋b ，则有：⎩⎨⎧-=+-=+302b k b k ，解得⎩⎨⎧-==2
1b k ， ∴BD 的函数表达式为y ＝x －2，
令x ＝0，则y ＝－2，故M (0，－2)；
第4题解图
(3)如解图，连接AM ，设BC 交y 轴于点N ，由(2)知，OM ＝OA ＝OD ＝2，∠AMD ＝90°，
∴∠AMB ＝90°，∠BMN ＝45°，∠AMO ＝45°，AM ＝22，
∵BC ∥AD ，∴∠BNM ＝90°，
∴BN ＝MN ＝1，BM ＝2，
∴S △ABM ＝12AM ·BM ＝12×22×2＝2，
设P (x ，x 2－4)，
根据题意得12AD ·|x 2－4|＝4×2，即12×4×|x 2－4|＝4×2，
解得x ＝±22，x ＝0，
故符合条件的点P 坐标有三个：P 1(22，4)、P 2(－22，4)、P 3(0，－4)．
★5.在平面直角坐标系xOy 中，已知点A (4，0)、B (2，－433)，其中
点M 是OA 的中点．
(1)求过A 、B 、O 三点的抛物线L 的表达式；
(2)将抛物线L 在x 轴下方的部分沿x 轴向上翻折，得到一段新的抛物线L ′，其中点B ′与点B 关于x 轴对称，在抛物线L 所在x 轴上方部分取一点C ，连接CM ，CM 与翻折后的抛物线L ′交于点D .当S △CDA ＝2S △MDA 时，求点C 的坐标．
第5题图
解：(1)由于抛物线L 经过点A (4，0)、B (2，－433)、O (0，0)，
设抛物线L 的表达式为y ＝ax 2＋bx .
将点A (4，0)、B (2，－433)代入抛物线中有：
⎪⎩
⎪⎨⎧-=+=+334240416b a b a ， 解得⎪⎪⎩
⎪⎪⎨⎧-==33
433b a ，
∴抛物线L 的表达式为y ＝33x 2－433x ；
(2)∵抛物线L ′是由抛物线L 沿x 轴向上翻折得到，
∴抛物线L ′的表达式为y ＝－33x 2＋433x (0≤x ≤4)，
如解图，当点C 在抛物线对称轴右侧的图象上时，连接AD 、AC ，过点C 、D 分别作x 轴的垂线，垂足分别为点F 、E ，故DE ∥CF
. ∴△MED ∽△MFC ，
第5题解图
∴DE CF ＝ME MF ＝MD MC ，
设△ACM 边CM 上的高为h ，
∵S △CDA ＝2S △MDA ，∴12CD ·h ＝2×12MD ·
h ， ∴CD ＝2MD ，故CM ＝3MD .
∴CF ＝3DE ，MF ＝3ME .
设点C 的坐标为(t ，33t 2－433t )，
则MF ＝t －2，ME ＝13MF ＝13(t －2)，OE ＝ME ＋OM ＝13t ＋43，
∴点D 的纵坐标为：y D ＝－33(13t ＋43)2＋433(13t ＋43)，
又∵CF ＝3DE ，
∴33t 2－433t ＝3[－33(13t ＋43)2＋433(13t ＋43)]，
整理得t 2－4t －8＝0，
解得t 1＝2＋23，t 2＝2－23(舍去)，
同理，可得C 关于抛物线对称轴x ＝2对称的点C ′也符合条件，
∴C ′的横坐标为2－23，将t ＝2＋23或t ＝2－23代入抛物线L 的表达
式中，均解得y ＝833，
∴满足条件的点C 的坐标为(2＋23，833)或(2－23，833)．
★6.如图，等腰Rt △AOC 在平面直角坐标系中，已知AO ＝6，点B (－3，0)．
(1)求过点A 、B 、C 的抛物线的表达式； (2)已知点P (32，0)，过点P 作AB 的平行线交AC 于点E ，连接AP ，求△APE
的面积；
(3)在第一象限内，该抛物线上是否存在点G ，使△AGC 的面积与(2)中△APE 的面积相等？若存在，请求出点G 的坐标；若不存在，请说明理由．
第6题图
解：(1)设抛物线的表达式为y ＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)，
由题意得，抛物线的图象经过点A (0，6)，B (－3，0)，C (6，0)，
∴⎩⎪⎨⎪⎧0＝9a －3b ＋c 0＝36a ＋6b ＋c c ＝6，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－13b ＝1c ＝6，
故此抛物线的表达式为：y ＝－13x 2＋x ＋6；
第6题解图①
(2)如解图①，∵点P 的坐标为(32，0)，
则PC ＝92，S △ABC ＝12BC ·AO ＝12×9×6＝27，
∵PE ∥AB ，
∴△CEP ∽△CAB . ∴CAB CEP S S ∆∆＝(PC BC )2，
∴S △CEP ＝27
4，
∵S △APC ＝12PC ·AO ＝27
2， ∴S △APE ＝S △APC －S △CEP ＝274； (3)存在．
如解图②，在第一象限内的抛物线上任取一点G ，过点G 作GH ⊥BC 于点H ，连接AG 、GC ，设点G 的坐标为(a ，b )， ∵S 四边形AOHG ＝1
2a (b ＋6)， S △CHG ＝1
2(6－a )b .
∴S 四边形AOCG ＝12a (b ＋6)＋1
2(6－a )b ＝3(a ＋b )． ∵S △AGC ＝ S 四边形AOCG －S △AOC ，
第6题解图②
∴27
4＝3(a ＋b )－18.
∵点G (a ，b )在抛物线y ＝－13x 2
＋x ＋6的图象上， ∴b ＝－1
3a 2＋a ＋6.
∴274＝3(a －13a 2
＋a ＋6)－18，
化简得4a 2－24a ＋27＝0. 解得a 1＝32，a 2＝9
2.
故点G 的坐标为(32，274)或(92，15
4)．
★7.如图，在平面直角坐标系xOy 中，二次函数y ＝x 2＋(2k －1)x ＋k ＋1的图象与x 轴相交于O 、A 两点． (1)求这个二次函数的表达式；
(2)在这条抛物线的对称轴右边的图象上有一点B ，且△AOB 的面积等于6，求点B 的坐标；
(3)对于(2)中的点B ，在此抛物线上是否存在一点P ，使∠POB ＝90°？若存在，求出点P 的坐标，并求出△POB 的面积；若不存在，请说明理由．
第7题图
解：(1)∵二次函数的图象与x 轴相交于点O ， ∴0＝k ＋1， ∴k ＝－1，
∴二次函数的表达式为y ＝x 2－3x ；
(2)如解图，连接OB ，过点B 作BD ⊥x 轴于点D ， ∵△AOB 的面积等于6， ∴1
2AO ·BD ＝6，
令x2－3x＝0，则x(x－3)＝0，解得x1＝0，x2＝3，∴AO＝3，
∴1
2×3×BD＝6，
∴BD＝4，即4＝x2－3x，解得x＝4或x＝－1(舍去)，又∵顶点坐标为( 1.5，－2.25)，而2.25<4，
∴x轴下方不存在B点，
∴点B的坐标为(4，4)；
第7题解图
(3)假设存在一点P，使∠POB＝90°，连接OP，如解图，∵点B的坐标为(4，4)，
∴∠BOD＝45°，BO＝42＋42＝42，
当∠POB＝90°时，∠POD＝45°，
设P点横坐标为x，则纵坐标为x2－3x，
又∵∠POD＝45°，
∴P点的纵坐标为－x，
∴－x＝x2－3x，
解得x＝2或x＝0(不符合题意，舍去)，
∴在抛物线上仅存在一点P(2，－2)，使∠POB＝90°，此时OP＝22＋22＝22，
∴△POB 的面积为12PO ·BO ＝1
2×22×42＝8.
★8.如图，已知抛物线y ＝1
4x 2＋bx ＋c 经过点B (－4，0)与点C (8，0)，且交y 轴于点A .
(1)求该抛物线的表达式，并写出其顶点坐标；
(2)将该抛物线向上平移4个单位，再向右平移m 个单位，得到新抛物线．若新抛物线的顶点为P ，连接BP ，直线BP 将△ABC 分割成面积相等的两个三角形，求m 的值．
第8题图
解：(1)将点B (－4，0)与点C (8，0)，代入函数表达式中得：
⎪⎪⎩⎪⎪⎨
⎧=++⨯=+--⨯0884
104)4(4
122
c b c b ，解得 ⎩⎨
⎧-=-=8
1
c b ， ∴该抛物线的表达式为：y ＝1
4x 2－x －8， ∵y ＝14x 2－x －8＝1
4(x －2)2－9， ∴顶点坐标为：(2，－9)； (2)∵y ＝1
4x 2－x －8交y 轴于点A ， ∴点A 坐标为(0，－8)，
如解图，设BP 与AC 交于点D .
根据题意设平移后的抛物线表达式为：y ＝1
4(x －2－m )2－5， 即P 点坐标为(2＋m ，－5)，
第8题解图
∵直线BP 将△ABC 分割成面积相等的两个三角形， ∴点D 为AC 的中点， 又∵A (0，－8)，C (8，0)， ∴D 点坐标为：(4，－4)，
设BP 的表达式为y ＝ax ＋h ，将B (－4，0)和D (4，－4)代入表达式，得
⎩⎨
⎧=+--=+0
44
4h a h a ， 解得⎪⎩⎪⎨⎧-=-=2
21h a ，
∴BP 的解析式为：y ＝－1
2x －2， 又∵P 点坐标为(2＋m ，－5)， ∴－5＝－1
2(2＋m )－2，解得m ＝4.
★9.如图，抛物线y ＝ax 2－2ax ＋c (a ≠0)与y 轴交于点C (0，3)，与x 轴交于A 、B 两点，点A 的坐标为(－1，0)．
(1)求抛物线的表达式及顶点D 的坐标；
(2)设点P 是在第一象限内抛物线上的一个动点，求使与四边形ACDB 面积相等的四边形ACPB 的点P 的坐标； (3)在第(2)问的基础上，求△APD 的面积．
第9题图
解：(1)∵抛物线y ＝ax 2－2ax ＋c (a ≠0)与y 轴交于点C (0，3)，与x 轴交于A (－1，0)，
∴⎩⎨⎧==++302c c a a ， 解得⎩⎨⎧=-=3
1c a ，
∴抛物线的表达式为y ＝－x 2＋2x ＋3， ∵y ＝－(x 2－2x )＋3＝－(x －1)2＋4， ∴顶点D 的坐标为(1，4),
综上，抛物线的表达式是y ＝－x 2＋2x ＋3，顶点D 的坐标是(1，4)； (2)如解图，连接BC ，过点D 作DE ⊥x 轴于点E
.
第9题解图
令y ＝0，则－x 2＋2x ＋3＝0， ∴x 1＝－1，x 2＝3， ∴点B 的坐标为(3，0)，
∴S 四边形ACDB ＝S △AOC ＋S 梯形OEDC ＋S △EBD ＝12×1×3＋12×(3＋4)×1＋1
2×2×4＝9. ∵S △ABC ＝12×4×3＝6，
∴S △BCD ＝S 四边形ACDB －S △ABC ＝3.
∵点P 是在第一象限内抛物线上的一个动点，使得S 四边形ACDB ＝S 四边形ACPB ， ∴S △BCP ＝S △BCD ＝3，
∴点P 是过点D 且与直线BC 平行的直线和抛物线的交点，根据已知条件求得直线BC 的函数解析式为y ＝－x ＋3，
设过点D (1，4)的直线DP 的函数解析式为y ＝－x ＋b ， ∴－1＋b ＝4，b ＝5，
∴直线DP 的函数解析式为y ＝－x ＋5，
把y ＝－x ＋5代入y ＝－x 2＋2x ＋3中，解得x 1＝1，x 2＝2， ∵当x ＝1时，y ＝4； 当x ＝2时，y ＝3，
∴点P 的坐标为(1，4)或(2，3)．
综上，与四边形ACDB 面积相等的四边形ACPB 的点P 的坐标为(1，4)或(2，3)；
(3)∵点P 与点C 关于DE 对称，点B 与点A 关于DE 对称， ∴△APD ≌△BCD . 由(2)知S △BCD ＝3，
∴S △APD ＝S △BCD ＝3，即△APD 的面积是3.
★10.如图，在直角坐标系中，O 为原点．点A 在x 轴的正半轴上，点B 在y 轴的正半轴上，OB
OA ＝2.二次函数y ＝x 2＋mx ＋2的图象经过点A 、B ，顶点为D .
(1)求这个二次函数的表达式；
(2)将△OAB 绕点A 顺时针旋转90°后，点B 落到点C 的位置．将上述二次函数图象沿y 轴向上或向下平移后经过点C .求点C 的坐标和平移后所得图象的函数表达式；
(3)设(2)中平移后所得二次函数图象与y 轴的交点为B 1，顶点为D 1.点P 在平移后的二次函数图象上，且满足S △PBB 1＝2S △PDD 1，求点P 的坐标．
第10题图
解：(1)由题意知，点B 的坐标为(0，2)， ∴OB ＝2， ∵OB
OA ＝2， ∴OA ＝1，
∴点A 的坐标为(1，0)．
又∵二次函数y ＝x 2＋mx ＋2的图象过点A ， ∴0＝12＋m ＋2，解得m ＝－3，
∴所求二次函数的表达式为y ＝x 2－3x ＋2；
(2)如解图①，过点C 作CE ⊥x 轴于点E,
由于∠BAC ＝90°，可知∠CAE ＝∠OBA ，△CAE ≌△ABO ， 可得CE ＝OA ＝1，AE ＝OB ＝2，可得点C 的坐标为(3，1)． 由于沿y 轴平移，故二次函数图象开口大小、对称轴均不变， 设平移后的二次函数的表达式为y ＝x 2－3x ＋c ， 代入C 点坐标得1＝9－9＋c ， 解得c ＝1，
∴平移后的二次函数的表达式为y ＝x 2－3x ＋1；
第10题解图
(3)由(2)可知，经过平移后所得图象是原二次函数图象向下平移1个单位后所得的图象，那么对称轴为直线x ＝3
2不变，且BB 1＝DD 1＝1. ∵点P 在平移后所得二次函数图象上， 如解图②，设点P 的坐标为(x ，x 2－3x ＋1)． 在△PBB 1和△PDD 1中，∵S △PBB 1＝2S △PDD 1， ∴边BB 1上的高是边DD 1上的高的2倍．
①当点P 在对称轴的右侧时，x ＝2(x －3
2)，解得x ＝3， ∴点P 的坐标为(3，1)；
②当点P 在对称轴的左侧，同时在y 轴的右侧时，x ＝2(3
2－x )，解得x ＝1， ∴点P 的坐标为(1，－1)； ③当点P 在y 轴的左侧时，x ＜0， －x ＝2(3
2－x )，解得x ＝3＞0(舍去)， ∴所求点P 的坐标为(3，1)或(1，－1)．
二次函数与图形面积
★1.已知抛物线y ＝－x 2＋bx ＋c 的图象过点A (4，0)、B (1，3)． (1)求抛物线的表达式；
(2)求出抛物线的对称轴和顶点坐标；
(3)抛物线的对称轴为直线l ，设抛物线上的点P (m ，n )在第四象限，点P 关于直线l 的对称点为E ，点E 关于x 轴的对称点为F ，若以O 、A 、P 、F 四点组成的四边形的面积为20，求m 、n 的值．
解：(1)将点A (4，0)、B (1，3)代入抛物线y ＝－x 2
＋bx ＋c 得⎩⎨⎧=++-=++-3
10
416c b c b ，
解得⎩⎨⎧==0
4c b ，
∴抛物线的表达式为y ＝－x 2＋4x ；
(2)对称轴为直线x ＝－b 2a ＝－()124
-⨯＝2，顶点坐标为(2，4)；
(3)抛物线的对称轴为直线x ＝2，设抛物线上的点P (m ，n )在第四象限，则点P 关于直线l 的对称点为E (4－m ，n )， 点E 关于x 轴的对称点为F (4－m ，－n )， 若以O 、A 、P 、F 四点组成的四边形的面积为20，
则S 四边形OP AF ＝S △AOF ＋S △AOP ＝12×4×(－n )＋1
2×4×(－n )＝－4n ＝20， 得n ＝－5，将(m ，－5)代入y ＝－x 2＋4x ，解得m ＝5或m ＝－1. ∵点P (m ，n )在第四象限， ∴m ＝5，n ＝－5.
★2.如图，抛物线y ＝ax 2＋bx ＋c 经过原点O 、B (1，3)、C (2，2)，与x 轴交于另一点N . (1)求抛物线的表达式；
(2)连接BC ，若点A 为BC 所在直线与y 轴的交点，在抛物线上是否存在点P ，使得S △OAP ＝8
15S △ONP ，若存在，请求出点P 的坐标；若不存在，请说明理由．
第2题图
解：(1)将0(0，0)、B (1，3)、C (2，2)三点的坐标分别代入抛物线
y ＝ax 2＋bx ＋c ，可得⎪⎩⎪⎨⎧==++=++02243c c b a c b a ，解得⎪⎩⎪
⎨⎧==-=052c b a ，
∴所求抛物线的表达式为y ＝－2x 2＋5x ； (2)存在，
设BC 所在直线的表达式为y ＝kx ＋b ，将点B 、C 的坐标代入可得
⎩⎨
⎧+=+=b k b k 223，解得⎩⎨⎧=-=4
1
b k ， 则y ＝－x ＋4.
把x ＝0代入y ＝－x ＋4得y ＝4， ∴点A (0，4)，
把y ＝0代入y ＝－2x 2
＋5x 得x ＝0或x ＝52，
∴点N (5
2，0)，
设点P 的坐标为(x ，y )，
S △OAP ＝12OA ·x ＝2x ，S △ONP ＝12ON ·y ＝12×52·(－2x 2＋5x )＝54(－2x 2
＋5x )， 由S △OAP ＝815S △ONP ，即2x ＝815·54(－2x 2＋5x )解得x ＝0(舍去)或x ＝1， 当x ＝1时，y ＝3，
∴存在点P ，其坐标为(1，3)．
★3.已知，m 、n 是方程x 2－6x ＋5＝0的两个实数根，且m <n ，抛物线y ＝－x 2＋bx ＋c 经过点A (m ，0)，B (0，n )． (1)求抛物线的表达式；
(2)设(1)中抛物线与x 轴的另一交点为C ，抛物线的顶点为D ，试求出点C 、D 的坐标和△BCD 的面积；
(3)点P 是线段OC 上的一点，过点P 作PH ⊥x 轴，与抛物线交于点H ，若直线BC 把△PCH 分成面积之比为2∶ 3的两部分，请求出P 点的坐标．
第3题图
解：(1)解方程x 2－6x ＋5＝0， 得x 1＝5，x 2＝1， 由m <n ，得m ＝1，n ＝5.
∴点A 、B 的坐标分别为A (1，0)，B (0，5)．
将A (1，0)，B (0，5)的坐标分别代入y ＝－x 2＋bx ＋c ，
得⎩⎨⎧==++-501c c b ，解得⎩⎨⎧=-=5
4c b ， ∴抛物线的表达式为y ＝－x 2－4x ＋5； (2)令y ＝－x 2－4x ＋5＝0， 解得x 1＝－5, x 2＝1， ∴C 点的坐标为(－5，0)．
由顶点坐标公式计算，得点D (－2，9)． 如解图①，过D 作x 轴的垂线交x 轴于点M .
则S △DMC ＝12×9×(5－2)＝272，S 四边形MDBO ＝12×2×(9＋5)＝14， S △BOC ＝12×5×5＝252，
∴S △BCD ＝S 四边形MDBO ＋S △DMC －S △BOC ＝14＋272－25
2＝15；
第3题解图① 第3题解图②
(3)如解图②，设P 点的坐标为(a ，0)， ∵直线BC 过B 、C 两点， ∴BC 所在直线的解析式为y ＝x ＋5.
那么，PH 与直线BC 的交点坐标为E (a ，a ＋5)，
PH 与抛物线y ＝－x 2－4x ＋5的交点H 的坐标为(a ，－a 2－4a ＋5)． 由题意，得①EH ＝3
2EP ，
即(－a 2－4a ＋5)－(a ＋5)＝3
2(a ＋5)， 解得a ＝－3
2或a ＝－5(舍去)； ②EH ＝2
3EP ，
即(－a 2－4a ＋5)－(a ＋5)＝2
3(a ＋5)． 解得a ＝－2
3或a ＝－5(舍去)． ∴P 点的坐标为(－32，0)或(－2
3，0)．
★4.在平面直角坐标系xOy 中，已知点A (4，0)、B (2，－43
3)，其中点M 是OA 的中点．
(1)求过A 、B 、O 三点的抛物线L 的表达式；
(2)将抛物线L 在x 轴下方的部分沿x 轴向上翻折，得到一段新的抛物线L ′，其中点B ′与点B 关于x 轴对称，在抛物线L 所在x 轴上方部分取一点C ，连接CM ，CM 与翻折后的抛物线L ′交于点D .当S △CDA ＝2S △MDA 时，求点C 的坐标．
第4题图
解：(1)由于抛物线L 经过点A (4，0)、B (2，－43
3)、O (0，0)，设抛物线L 的表达式为y ＝ax 2＋bx .
将点A (4，0)、B (2，－43
3)代入抛物线中有：
⎪⎩⎪⎨⎧-
=+=+33
4240416b a b a ，解得⎪⎪⎩
⎪⎪⎨⎧-==3343
3
b a ， ∴抛物线L 的表达式为y ＝33x 2－43
3x ；
(2)∵抛物线L ′是由抛物线L 沿x 轴向上翻折得到， ∴抛物线L ′的表达式为y ＝－33x 2＋43
3x (0≤x ≤4)，
如解图，过点C 、D 分别作x 轴的垂线，垂足分别为点E 、F ，故DE ∥CF .连接AD 、AC ，
∴DE
CF
＝ME
MF
＝MD
MC
，
设△ACM边CM上的高为h，∵S△CDA＝2S△MDA，
∴1
2CD·h＝2×
1
2MD·h
∴CD＝2MD，故CM＝3MD. ∴CF＝3DE，MF＝3ME.
设点C的坐标为(t，3
3t 2－
43
3t)，第4题解图
则MF＝t－2，ME＝1
3MF＝1
3(t－2)，OE＝ME＋OM＝
1
3t＋
4
3
，
∴点D的纵坐标为：y D＝－
3
3(
1
3t＋
4
3)
2＋433(13t＋43)，
又∵CF＝3DE，
∴
3
3t
2－
43
3t＝3[－
3
3(
1
3t＋
4
3)
2＋433(13t＋43)]，
整理得t2－4t－8＝0，
解得t1＝2＋23，t2＝2－23，
将t1、t2代入抛物线L的解析式中，解得y＝83
3
，
∴满足条件的点C的坐标为(2＋23，83
3)或(2－23，
83
3)．
★5.如图，等腰Rt△AOC在平面直角坐标系中，已知AO＝6，点B(－3，0)．
(1)求过点A、B、C的抛物线的表达式；
(2)已知点P (3
2，0)，过点P 作AB 的平行线交AC 于点E ，连接AP ，求△APE 的面积；
(3)在第一象限内，该抛物线上是否存在点G ，使△AGC 的面积与(2)中△APE 的面积相等？若存在，请求出点G 的坐标；若不存在，请说明理由．
第5题图
解：(1)设抛物线的表达式为y ＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)，
由题意得，抛物线的图象经过点A (0，6)，B (－3，0)，C (6，0)，
∴⎪⎩⎪
⎨⎧==++=+-60636039c c b a c b a ，解得⎪
⎪⎩⎪⎪⎨⎧
==-=6131c b a ， 故此抛物线的表达式为y ＝－13x 2
＋x ＋6；
第5题解图①
(2)如解图①，∵点P 的坐标为(3
2，0)，
则PC ＝92，S △ABC ＝12BC ·AO ＝1
2×9×6＝27， ∵PE ∥AB ， ∴△CEP ∽△CAB . ∴CAB CEP S S ∆∆＝(PC BC )2， ∴S △CEP ＝27
4，
∵S △APC ＝12PC ·AO ＝27
2， ∴S △APE ＝ S △APC －S △CEP ＝274； (3)存在．
如解图②，在第一象限内的抛物线上任取一点G ，过点G 作GH ⊥BC 于点H ，连接AG 、GC ，设点G 的坐标为(a ，b )，
第5题解图②
∵S 四边形AOHG ＝1
2a (b ＋6)， S △CHG ＝1
2(6－a )b .
∴S 四边形AOCG ＝12a (b ＋6)＋1
2(6－a )b ＝3(a ＋b )．
∵S △AGC ＝ S 四边形AOCG －S △AOC ， ∴27
4＝3(a ＋b )－18.
∵点G (a ，b )在抛物线y ＝－1
3x 2＋x ＋6的图象上， ∴b ＝－13a 2
＋a ＋6.
∴274＝3(a －13a 2
＋a ＋6)－18， 化简得4a 2－24a ＋27＝0. 解得a 1＝32，a 2＝9
2.
故点G 的坐标为(32，274)或(92，15
4)．。