信号与线性系统分析复习题及答案

信号与线性系统复习题
单项选择题。

1. 已知序列3()cos(
)5
f k k π
=为周期序列，其周期为 （ C ） A ． 2 B. 5 C. 10 D. 12
2. 题2图所示()f t 的数学表达式为 （ B ）
图题2
A ．()10sin()[()(1)]f t t t t πεε=+- B. ()10sin()[()(1)]f t t t t πεε=-- C. ()10sin()[()(2)]f t t t t πεε=-- D. ()10sin()[()(2)]f t t t t πεε=+-
3.已知sin()
()()t f t t dt t πδ∞
-∞=
⎰，其值是 （ A ）
A ．π B. 2π C. 3π D. 4π
4.冲激函数()t δ的拉普拉斯变换为 （ A ）
A ． 1 B. 2 C. 3 D. 4
5.为了使信号无失真传输，系统的频率响应函数应为 （ D ） A ． ()d
jwt H jw e
= B. ()d
jwt H jw e
-= C. ()d
jwt H jw Ke
= D. ()d
jwt H jw Ke
-=
6.已知序列1()()()3
k
f k k ε=,其z 变换为 （ B ）
A ．
13
z z + B.
13
z z - C.
14
z z + D.
14
z z -
7.离散因果系统的充分必要条件是 （ A ） A ．0,0)(<=k k h B. 0,0)(>=k k h C. 0,0)(<<k k h D. 0,0)(>>k k h
8.已知()f t 的傅里叶变换为()F jw ，则(3)f t +的傅里叶变换为 （ C ） A ．()jw
F jw e B. 2()j w
F jw e
C. 3()j w
F jw e
D. 4()j w
F jw e
9.已知)()(k k f k
εα=，)2()(-=k k h δ，则()()f k h k *的值为（ B ） A ．)1(1
--k k εα
B. )2(2--k k εα
C. )3(3--k k εα
D. )4(4--k k εα
10.连续时间系统的零输入响应的“零”是指（ A ） A. 激励为零 B. 系统的初始状态为零 C. 系统的冲激响应为零 D. 系统的阶跃响应为零 11. 已知序列k
j
e
k f 3
)(π=为周期序列，其周期为 （ ）
A ． 2 B. 4 C. 6 D. 8
12. 题2图所示()f t 的数学表达式为 （ ）
A ．)1()1()(--+=t t t f εε B.)1()1()(-++=t t t f εε C. )1()()(--=t t t f εε D. )1()()(-+=t t t f εε
13.已知)2()(),1()(21-=-=t t f t t f εδ，则 12()()f t f t *的值是 （ ） A ．)(t ε B. )1(-t ε C. )2(-t ε D. )3(-t ε
14.已知ωωj j F =)(，则其对应的原函数为 （ ） A ．)(t δ B. )('
t δ C. )('
't δ D. )('
''t δ
15.连续因果系统的充分必要条件是 （ ） A ． 0,0)(==t t h B. 0,0)(<=t t h C. 0,0)(>=t t h D. 0,0)(≠=t t h
16.单位阶跃序列)(k ε的z 变换为 （ ）
A ．
1,1<+z z z B. 1,1>+z z z C. 1,1<-z z z D. 1,1
>-z z z 17.已知系统函数s
s H 1
)(=，则其单位冲激响应()h t 为 （ ）
A ．)(t ε B. )(t t ε C. )(2t t ε D. )(3t t ε
18.已知()f t 的拉普拉斯变换为()F s ，则)5(t f 的拉普拉斯变换为 （ ）
t
A ．)5(s F B. )5(31s F C. )5(51s F D. )5
(71s F 19.已知)2()(2
-=-k k f k εα，)2()(-=k k h δ，则()()f k h k *的值为（ ）
A ．)1(1
--k k εα B. )2(2--k k εα
C. )3(3
--k k εα
D. )4(4--k k εα
20.已知)(t f 的傅里叶变换为)(ωj F ，则)(jt F 的傅里叶变换为（ ） A. )(ωπ-f
B. )(ωπf
C. )(2ωπ-f
D. )(2ωπf
21. 下列微分或差分方程所描述的系统是时变系统的是 （ ） A ． )(2)()(2)('
'
t f t f t y t y -=+ B. )()(sin )('t f t ty t y =+ C. )()]([)(2
'
t f t y t y =+ D. )()2()1()(k f k y k y k y =--+
22. 已知)()(),()(21t t f t t t f εε==，则)()(21t f t f *的值是 （ ） A ．)(1.02
t t ε B. )(3.02
t t ε C. )(5.02
t t ε D. )(7.02
t t ε
23.符号函数)sgn(t 的频谱函数为 （ ）
A ．
ωj 1 B. ωj 2 C. ωj 3 D. ω
j 4
24.连续系统是稳定系统的充分必要条件是 （ ） A ． M dt t h ≤⎰
∞
∞-)( B. M dt t h ≥⎰
∞
∞
-)(
C.
M dt t h ≤⎰
∞
∞
-)( D.
M dt t h ≥⎰
∞
∞
-)(
25.已知函数)(t f 的象函数)
5)(2()
6()(+++=
s s s s F ，则原函数)(t f 的初值为 （ ）
A ． 0 B. 1 C. 2 D. 3 26.已知系统函数1
3
)(+=
s s H ，则该系统的单位冲激响应为 （ ） A ．)(t e t
ε- B.)(2t e t
ε- C.)(3t e t
ε- D. )(4t e t
ε- 27.已知)2()(),1()(1
-=-=-k k h k k f k δεα
，则)()(k h k f *的值为 （ ）
A ．)(k k
εα B.)1(1
--k k εα C.)2(2--k k εα D. )3(3--k k εα
28. 系统的零输入响应是指（ ） A.系统无激励信号 B. 系统的初始状态为零
C. 系统的激励为零，仅由系统的初始状态引起的响应
D. 系统的初始状态为零，仅由系统的激励引起的响应 29.偶函数的傅里叶级数展开式中 （ ）
A ．只有正弦项 B.只有余弦项 C. 只有偶次谐波 D. 只有奇次谐波 10. 已知信号()f t 的波形，则)2
(t f 的波形为 （ ） A ．将()f t 以原点为基准，沿横轴压缩到原来的
1
2
B. 将()f t 以原点为基准，沿横轴展宽到原来的2倍
C. 将()f t 以原点为基准，沿横轴压缩到原来的
1
4
D. 将()f t 以原点为基准，沿横轴展宽到原来的4倍 填空题
1. 已知象函数2
23
()(1)
s F s s +=
+，其原函数的初值(0)f +为___________________。

2.
()(2)t e t t dt δ∞
--∞
++=⎰
____________________________。

3.当LTI 离散系统的激励为单位阶跃序列()k ε时，系统的零状态响应称为_________________。

4.已知函数4
()23
F s s =
+，其拉普拉斯逆变换为____________________。

5.函数()f t 的傅里叶变换存在的充分条件是________________________。

6. 已知1
1
()10.5X z z -=
+(0.5)z >，则其逆变换()x n 的值是______________。

7.系统函数(1)(1)
()1()
2
z z H z z -+=-的极点是___________________________。

8.已知()f t 的拉普拉斯变换为()F s ，则00()()f t t t t ε--的拉普拉斯变换为_________________。

9.如果系统的幅频响应()H jw 对所有的ω均为常数，则称该系统为__________________________。

10. 已知信号)(t f ,则其傅里叶变换的公式为______________。

11. 已知象函数2
23
()(1)
s F s s +=
+，其原函数的初值(0)f +为___________________。

12.
()(2)t e t t dt δ∞
--∞
++=⎰
____________________________。

13.当LTI 离散系统的激励为单位阶跃序列()k ε时，系统的零状态响应称为_________________。

14.已知函数4
()23
F s s =
+，其拉普拉斯逆变换为____________________。

15.函数()f t 的傅里叶变换存在的充分条件是________________________。

16. 已知1
1
()10.5X z z
-=
+(0.5)z >，则其逆变换()x n 的值是______________。

17.系统函数(1)(1)
()1()
2
z z H z z -+=-的极点是___________________________。

18.已知()f t 的拉普拉斯变换为()F s ，则00()()f t t t t ε--的拉普拉斯变换为_________________。

19.如果系统的幅频响应()H jw 对所有的ω均为常数，则称该系统为__________________________。

20. 已知信号)(t f ,则其傅里叶变换的公式为______________。

21.)(63t e t
ε-的单边拉普拉斯变换为_________________________。

22.
=-⎰
∞
∞
-dt t t t f )()(0δ ____________________________。

23.)(5t δ的频谱函数为______________________。

24.一个LTI 连续时间系统，当其初始状态为零，输入为单位阶跃函数所引起的响应称为__________响应。

25.序列)()2
1
()(k k f k
ε=的z 变换为___________________________。

26.时间和幅值均为______________的信号称为数字信号。

27.系统函数)
6.0)(4.0()
1()(+-+=
z z z z z H 的极点是___________________________。

28.LTI 系统的全响应可分为自由响应和__________________。

29. 函数)(1t f 和)(2t f 的卷积积分运算=*)()(21t f t f _______________________。

30. 已知函数2
3
)(+=
s s F ，其拉普拉斯逆变换为____________________。

简答题．。

1．简述根据数学模型的不同，系统常用的几种分类。

2．简述稳定系统的概念及连续时间系统时域稳定的充分必要条件。

3．简述单边拉普拉斯变换及其收敛域的定义。

4．简述时域取样定理的内容。

5.简述系统的时不变性和时变性。

6.简述频域取样定理。

7.简述-0时刻系统状态的含义。

8. 简述信号拉普拉斯变换的终值定理。

9.简述LTI 连续系统微分方程经典解的求解过程。

10.简述傅里叶变换的卷积定理。

11.简述LTI 离散系统差分方程的经典解的求解过程。

12.简述信号z 变换的终值定理。

13.简述全通系统及全通函数的定义。

14.简述LTI 系统的特点。

15.简述信号的基本运算 计算题
1.描述离散系统的差分方程为1)1(,0)1(9.0)(=-=--y k y k y ，利用z 变换的方法求解)(k y 。

2．描述某LTI 系统的微分方程为)(3)()(3)(4)('
'
'
't f t f t y t y t y -=++ ，求其冲激响应)(t h 。

3．给定微分方程 )(3)()(2)(3)('
'
'
't f t f t y t y t y +=++，1)0(),()(==-y t t f ε，2)0('
=-y ，求其零输入响应。

4．已知某LTI 离散系统的差分方程为),()1(2)(k f k y k y =--)(2)(k k f ε=， y(-1)=-1,求其零状态响应。

5．当输入)()(k k f ε=时，某LTI 离散系统的零状态响应为
)(])5.1()5.0(2[)(k k y k k zs ε-+-=，求其系统函数。

6．描述某LTI 系统的方程为),(3)()(3)(4)('
'
'
't f t f t y t y t y -=++求其冲激响应)(t h 。

7．描述离散系统的差分方程为 )1()(2)2(4
3
)1()(--=--
-+k f k f k y k y k y ,，求系统函数和零、极点。

8． 已知系统的微分方程为)()(3)(4)('
'
't f t y t y t y =++，1)0()0('
==--y y )()(t t f ε=，求其零状态响应。

9．用z 变换法求解方程2)1(),(1.0)1(9.0)(=-=--y k k y k y ε的全解
10．已知描述某系统的微分方程)(4)()(6)(5)('
'''t f t f t y t y t y +=++，求该系统的频率响应).(jw H 11.已知某LTI 系统的阶跃响应)()1()(2t e t g t
ε--=，欲使系统的零状态响应)()1()(22t te e t y t
t zs ε--+-=，
求系统的输入信号)(t f 。

12.利用傅里叶变换的延时和线性性质（门函数的频谱可利用已知结果），求解下列信号的频谱函数。

13.若描述某系统的微分方程和初始状态为 )(4)(2)(4)(5)('
'
'
't f t f t y t y t y -=++
5)0(,1)0('==--y y ，求系统的零输入响应。

14.描述离散系统的差分方程为 )2()()2(2
1
)1()(--=-+--k f k f k y k y k y ， 求系统函数和零、极点。

15.若描述某系统的差分方程为
)()2(2)1(3)(k k y k y k y ε=-+-+，已知初始条件5.0)2(,0)1(=-=-y y ，利用z 变换法，求方程的全
解。

信号与线性系统分析复习题答案
单项选择题
1. C
2.B
3.A
4.A
5.D
6.B 7 .A 8.C 9.B 10.A 11. C 12.A 13. D 14.B 15.B 16.
D 17. A 18.C 19. D 20.C 21.B 22.C 23. B 24.A 25.B 26.C 27. D 28.C 29. B 30. B
填空题
1. 2
2. 2
2e - 3. 单位阶跃响应/阶跃响应 4. )(22
3t e
t ε- 5.
()f t dt ∞
-∞
<∞⎰
6.
)()5.0(k k ε- 7.
12
8. 0()st F s e - 9. 全通系统 10. dt e t f jw F jwt
⎰∞∞--=)()( 11.卷积和 12. 1 13.)()(d t t kf t y -= 14. )()()()(3121t f t f t f t f *+* 15.齐次解和特解
16. 系统函数分子 17. 2 18.
63-z z 19.)(2w πδ 20.齐次 21.36
+s 22.)(0t f - 23. 5 24. 单位阶跃响应 25. 1
22-z z
26. 离散 27. 0.4，-0.6 28. 强迫响应 29.
τττd t f f )()(21-⎰
∞
∞
- 30. )(32t e t ε-
简答题
1．答：（1）加法运算，信号1()f ⋅与 2()f ⋅之和是指同一瞬时两信号之值对应相加所构成的“和信号”，即
12()()()f f f ⋅=⋅+⋅
（2）乘法运算，信号1()f ⋅与 2()f ⋅之积是指同一瞬时两信号之值对应相乘所构成的“积信号”，
即12()()()f f f ⋅=⋅⋅）
（3）反转运算：将信号()f t 或()f k 中的自变量t 或k 换为t -或k -，其几何含义是将信号()f ⋅以纵坐标为轴反转。

（4）平移运算：对于连续信号()f t ，若有常数00t >，延时信号0()f t t -是将原信号沿t 轴正方向平移0t 时间，而0()f t t +是将原信号沿t 轴负方向平移0t 时间；对于离散信号()f k ，若有整常数
00k >，延时信号0()f k k -是将原序列沿k 轴正方向平移0k 单位，而0()f k k +是将原序列沿k 轴负方
向平移0k 单位。

（5）尺度变换：将信号横坐标的尺寸展宽或压缩，如信号()f t 变换为()f at ，若1a >，则信号()f at 将原信号()f t 以原点为基准，将横轴压缩到原来的1
a
倍，若01a <<，则()f at 表示将()f t 沿横轴展宽至
1a
倍 2．答：根据数学模型的不同,系统可分为4种类型. 即时系统与动态系统； 连续系统与离散系统； 线性系统与非线性系统 时变系统与时不变系统 3．答：（1）一个系统（连续的或离散的）如果对任意的有界输入，其零状态响应也是有界的则称该系统是有界输入有界输出稳定系统。

（2）连续时间系统时域稳定的充分必要条件是()h t dt M ∞
-∞
≤⎰
4．信号的单边拉普拉斯正变换为：dt e t f s F st ⎰
∞
-=
)()(
逆变换为：ds e s F j t f jw
jw
st ⎰+-=δδπ)(21)(
收敛域为：在s 平面上，能使0)(lim =-∞
→t
t e
t f δ满足和成立的δ的取值范围（或区域），称为)(t f 或)
(s F 的收敛域。

5．答：一个频谱受限的信号)(t f ，如果频谱只占据m m w w ~-的范围，则信号)(t f 可以用等间隔的抽样值唯一表示。

而抽样间隔必须不大于
m
f 21
（m m f w π2=），或者说，最低抽样频率为m f 2。

6.答：如果系统的参数都是常数，它们不随时间变化，则称该系统为时不变（或非时变）系统或常参量系统，否则称为时变系统。

描述线性时不变系统的数学模型是常系数线性微分方程（或差分方程），而描述线性时变系统的数学模型是变系数线性微分（或差分）方程。

7．答：一个在时域区间),(m m t t -以外为零的有限时间信号)(t f 的频谱函数)(jw F ，可唯一地由其在均匀
间隔)21(m s s t f f <上的样点值)(s jnw F 确定。

)()()(ππn wt Sa t n j F jw F m n m -=∑∞
-∞=，s
m f t 21=
8．答：在系统分析中，一般认为输入)(t f 是在0=t 接入系统的。

在-=0t 时，激励尚未接入，因而响应及其导数在该时刻的值)0()
(-j y
与激励无关，它们为求得0>t 时的响应)(t y 提供了以往的历史的全部信
息，故-=0t 时刻的值为初始状态。

9．答：若)(t f 及其导数
dt t df )
(可以进行拉氏变换，)(t f 的变换式为)(s F ，而且)(lim t f t ∞
→存在，则信号)(t f 的终值为)(lim )(0
lim s sF t f s t →∞
→=。

终值定理的条件是：仅当)(s sF 在s 平面的虚轴上及其右边都为解
析时（原点除外），终值定理才可用。

10.答：(1)列写特征方程,根据特征方程得到特征根,根据特征根得到齐次解的表达式 (2) 根据激励函数的形式,设特解函数的形式,将特解代入原微分方程,求出待定系数得到特解的具体值. (3) 得到微分方程全解的表达式, 代入初值,求出待定系数 (4) 得到微分方程的全解
11.答：（1）时域卷积定理:若)()(),()(2211ωωj F t f j F t f ↔↔,则
)()()()(2121ωωj F j F t f t f ↔* (2) 频域卷积定理:若
)()(),()(2211ωωj F t f j F t f ↔↔,则
)()(21
)()(2121ωωπj F j F t f t f *↔
12..答：(1)列写特征方程,得到特征根,根据特征根得到齐次解的表达式 (2) 根据激励函
数的形式,设特解的形式,将特解代入原差分方程,求出待定系数, 得到特解的具体值. (3) 得到差分方程全解的表达式, 代入初始条件,求出待定系数, (4) 得到差分方程的全解
13.答：终值定理适用于右边序列，可以由象函数直接求得序列的终值，而不必求得原序列。

如果序列在M k < 时，0)(=k f ，设
∞<<↔z z F k f α),()(且10<≤α，则序列的终值为
)(1
lim
)(lim )(1z F z
z k f f z k -==∞→∞
→或写为)()1(lim )(1z F z f z -=∞→上式中是取1→z 的极限，因
此终值定理要求1=z 在收敛域内10<≤α，这时)(lim k f k ∞
→存在。

14.答 全通系统是指如果系统的幅频响应)(jw H 对所有的w 均为常数，则该系统为全通系统，其相应的系统函数称为全通函数。

凡极点位于左半开平面，零点位于右半开平面，且所有的零点与极点为一一镜像对称于jw 轴的系统函数即为全通函数。

15.答：当系统的输入激励增大α 倍时，由其产生的响应也增大α倍，则称该系统是齐次的或均匀的；若两个激励之和的响应等于各个激励所引起的响应之和，则称该系统是可加的。

如果系统既满足齐次性又满足可加性，则称系统是线性的；如果系统的参数都是常数，它们不随时间变化，则称该系统为时不变系统或常参量系统。

同时满足线性和时不变的系统就称为线性时不变系统（LTI ）系统。

描述线性时不变系统的数学模型是常系数线性微分（差分）方程。

线性时不变系统还具有微分特性。

计算题
1解：令)()(z Y k y ↔，对差分方程取z 变换，得 0)]1()([9.0)(1
=-+--y z Y z z Y 将1)1(=-y 代入上式并整理，可得 9
.09.09.019.0)(1
-=-=
-z z
z z Y 取逆变换得 )()9.0()(1
k k y k ε+=
2．
解：令零状态响应的象函数为)(s Y zs ，对方程取拉普拉斯变换得：
)(3)()(3)(4)(2s F s sF s Y s sY s Y s zs zs zs -=++
于是系统函数为
3
43)()()(2++-==
s s s s F s Y s H zs )()23()(3t e e t h t t ε---=
3.
系统的特征方程为0232
=++λλ
特征根为：1,221-=-=λλ 所以，零输入响应为t zi t
zi zi e C e C t y --+=221)(
所以：
2
2)0(1)0(21'
21=--==+=++zi zi zi zi zi zi C C y C C y
故：43
21=-=zi zi C C
所以：t t zi e e t y --+-=43)(2
4.解：零状态响应满足：2)1(2)(=--k y k y zs zs ，且0)1(=-zs y
该方程的齐次解为：k
zs C 2
设特解为p,将特解代入原方程有：22=-p p
从而解得2)(-=k y p
所以22)(-=k zs zs C k y 将2)0(=zs y 代入上式，可解得4=zs C
故，)()224()(k k y k zs ε-⋅=
5．解：
1
)(-=z z z F )
5.1)(5.0)(1()5.02()(2+--+=z z z z z z Y zs 75
.05.02)()()(22-++==z z z z F z Y z H zs 6.解：令零状态响应的象函数为)(s Y zs ，对方程取拉普拉斯变换得：
)(3)()(3)(4)(2s F s sF s Y s sY s Y s zs zs zs -=++ 系统函数为：3
312)()()(+++-==s s s F s Y s H zs 故冲激响应为)()23()(3t e e t h t t ε---=
7． 解：对差分方程取z 变换，设初始状态为零。

则：)()2()()4
31(121z F z z Y z z ----=-+ 于是系统函数
)2
1)(23()12()()()(-+-==
z z z z z F z Y z H 其零点为2
1,021==ζζ， 极点为21.2321=-=p p 8． 解： 方程的齐次解为：t zs t zs e C e C 321--+
方程的特解为：
3
1 于是：3
1)(321++=--t zs t zs zs e C e C t y 031)0(21=++=+zs zs zs C C y 03)0(21'=--=+zs zs zs C C y
得61,2121=
-=zs zs C C 于是：)()3
12161()(3t e e
t y t t zs ε+-=--
9． 解：令)()(z Y k y ↔，对差分方程取z 变换，得
1
1
.0)]1()([9.0)(1-=-+--z z y z Y z z Y 将2)1(=-y 代入上式，并整理得 )
9.0)(1()8.19.1()(---=z z z z z Y )(])9.0(1[)(1k k y k ε++=
10．解：
令)()(),()(jw Y t y jw F t f ↔↔，对方程取傅里叶变换，得
)(4)()()(6)()(5)()(2jw F jw F jw jw Y jw Y jw jw Y jw +=++
6
54)()()(2++-+==
jw w jw jw F jw Y jw H 11. 解：)(2)()(2t e dt
t dg t h t ε-==
2
2)(+=s s H 2)2(43)(++=
s s s s Y zs 2
21
1)()()(++==s s s H s Y s F zs )()2
11()(2t e t f t ε-+= 12 解：)(t f 可看作两个时移后的门函数的叠合。

)2()2()(22-++=t g t g t f
因为)(2)(2w Sa t g ↔
所以由延时性和线性性有： )2cos()(4)(2)(2)(22w w Sa e w Sa e w Sa jw F w j w j =+=- 13.解：特征方程为：0452=++λλ
4,121-=-=λλ
t zi t zi zi e C e C t y 421)(--+=
t zi t zi zi e C e C t y 421'4)(----=
令,0=t 将初始条件代入上式中，得
1)0(21=+=+zi zi zi C C y 54)0(21'=--=+zi zi zi C C y 可得： 2,321-==zi zi C C
0,23)(4≥-+=--t e e t y t t zi
14.解：对差分方程取z 变换，设初始状态为零，则
)()1()()2
11(221z F z z Y z z ----=+- 2
1
1)()()(22+--==z z z z F z Y z H 其零点1,121-==ζζ；极点2
1212,1j p ±= 15. 解：令)()(z Y k y ↔，对差分方程取z 变换，得
1
12111)]2()1()((2)]1()([3)(----+=
-+-++-++z y y z z Y z y z Y z z Y )1)(23()(22
-++=z z z z z Y )(])2(3
2)1(2161[)(k k y k k ε---+=。