高考数学总复习 提素能高效题组训练 452 文 新人教a版

【优化探究】2014高考数学总复习 提素能高效题组训练 4-5-2 文 新
人教A 版
[命题报告·教师用书独具]
一、选择题
1．若实数x ，y 适合不等式xy >1，x ＋y ≥－2，则( ) A ．x >0，y >0 B ．x <0，y <0 C ．x >0，y <0
D ．x <0，y >0
解析：x ，y 异号时，显然与xy >1矛盾，所以可排除C 、D. 假设x <0，y <0，则x <1
y
.
∴x ＋y <y ＋1
y
≤－2与x ＋y ≥－2矛盾，故假设不成立．
又xy ≠0，∴x >0，y >0. 答案：A
2．已知x ，y ∈R ，M ＝x 2
＋y 2
＋1，N ＝x ＋y ＋xy ，则M 与N 的大小关系是( ) A ．M ≥N B ．M ≤N C ．M ＝N
D ．不能确定
解析：M －N ＝x 2
＋y 2
＋1－(x ＋y ＋xy )
＝12[(x 2＋y 2－2xy )＋(x 2－2x ＋1)＋(y 2
－2y ＋1)] ＝12[(x －y )2＋(x －1)2＋(y －1)2
]≥0. 故M ≥N . 答案：A
3．若x >1，则函数y ＝x ＋1x ＋16x
x 2＋1
的最小值为( )
A ．16
B ．8
C ．4
D ．非上述情况
解析：y ＝x ＋1x ＋16x x 2＋1＝x ＋1x ＋16
x ＋
1
x
≥216＝8，当且仅当x ＝2＋3时等号成立．
答案：B
4．设M ＝1210＋1210＋1＋1210＋2＋…＋1
211－1，则( )
A ．M ＝1
B ．M <1
C ．M >1
D ．M 与1大小关系不定
解析：∵210
＋1>210,210
＋2>210
，…，211
－1>210
， ∴M ＝1210＋1210＋1＋1210＋2＋…＋1
211－1
<
1210＋1210＋…＋1
2
10＝1. 答案：B
5．(2013年黄冈模拟)若不等式t
t ＋9≤a ≤t ＋2
t
在t ∈(0,2]上恒成立，则a 的取值范围是( )
A.⎣⎢⎡⎦⎥⎤16，1
B.⎣⎢
⎡⎦
⎥⎤213，1
C.⎣⎢⎡⎦
⎥⎤16，413 D.⎣⎢⎡⎦
⎥⎤16，22 解析：由已知⎩⎨
⎧
a ≥1
t ＋
9t
，
a ≤1t ＋2⎝ ⎛⎭⎪⎫1t 2
，
对任意t ∈(0,2]恒成立，
于是只要当t ∈(0,2]时，
⎩
⎨⎧
a ≥⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫
1t ＋9t max ，
a ≤⎣⎢⎡⎦
⎥⎤1t ＋2⎝ ⎛⎭⎪⎫1t 2min ，
记f (t )＝t ＋9t ，g (t )＝1t ＋2⎝ ⎛⎭⎪⎫1t 2，可知两者都在(0,2]上单调递减，f (t )min ＝f (2)＝13
2
，
g (t )min ＝g (2)＝1，
所以a ∈⎣⎢⎡⎦
⎥⎤213，1，选B.
答案：B 二、填空题
6．若1a <1
b
<0，则下列四个结论
①|a |>|b |；②a ＋b <ab ；③b a ＋a b >2；④a 2
b
<2a －b ，其中正确的是________．
解析：取特殊值a ＝－1，b ＝－2， 代入验证得②③④正确． 答案：②③④ 7．若T 1＝
2s m ＋n ，T 2＝s m ＋n 2mn
，则当s ，m ，n ∈R ＋
时，T 1与T 2的大小为________． 解析：因为2s m ＋n －s m ＋n 2mn ＝s ·
4nm －m ＋n
2
2mn m ＋n
＝
－s m －n
2
2mn m ＋n ≤0.所以T 1≤T 2.
答案：T 1≤T 2
8．设0＜x ＜1，则a ＝2x ，b ＝1＋x ，c ＝1
1－x 中最大的一个是________．
解析：由a 2
＝2x ，b 2
＝1＋x 2
＋2x ＞a 2
，a ＞0，b ＞0得b ＞a .又c －b ＝1
1－x
－(1＋x )＝1－
－x 2
1－x
＝
x 2
1－x
＞0得c ＞b ，知c 最大． 答案：C
9．如果a >0，b >0，则下列两式的大小关系为lg(1＋ab )________1
2
[lg(1＋a )＋lg(1＋
b )]．
解析：∵(1＋a )(b ＋1)＝1＋a ＋b ＋ab ， ∴1
2[lg(1＋a )＋lg(1＋b )] ＝lg 1＋a ＋b ＋ab .
∵(1＋ab )2
－(1＋a ＋b ＋ab )2
＝2ab －(a ＋b )． 又a ＋b ≥2ab ，∴2ab －(a ＋b )≤0. ∴lg(1＋ab )≤1
2[lg(1＋a )＋lg(1＋b )]．
答案：≤ 三、解答题
10．已知a ＞0，b ＞0，求证b 2a ＋a 2
b
≥a ＋b .
证明：∵a ＞0，b ＞0，∴b 2a ＋a 2b －(a ＋b )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫b 2a －a ＋⎝ ⎛⎭⎪⎫a 2b －b ＝
b －a
a ＋b
a
＋
a ＋b
a －b
b ＝1
ab
(a －b )2
(a ＋b )≥0，
∴b 2a ＋a 2
b
≥a ＋b . 11．设n 是正整数，求证：12≤1n ＋1＋1n ＋2＋…＋1
2n <1.
证明：由2n ≥n ＋k >n (k ＝1,2…，n )，得12n ≤1n ＋k <1
n .
当k ＝1时，12n ≤1n ＋1<1
n ；
当k ＝2时，12n ≤1n ＋2<1
n ；
…
当k ＝n 时，12n ≤1n ＋n <1
n
，
∴12＝n 2n ≤1n ＋1＋1n ＋2＋…＋12n <n n ＝1.
12．(能力提升)(1)设x 是正实数，求证：(x ＋1)(x 2
＋1)(x 3
＋1)≥8x 3
；
(2)若x ∈R ，不等式(x ＋1)(x 2
＋1)(x 3
＋1)≥8x 3
是否仍然成立？如果成立，请给出证明，如果不成立，请举出一个使它不成立的x 值．
解析：(1)证明：x 是正实数， 由基本不等式知，
x ＋1≥2x ，1＋x 2≥2x ，x 3＋1≥2x 3，
故(x ＋1)(x 2
＋1)(x 3
＋1)≥2x ·2x ·2x 3
＝8x 3
(当且仅当x ＝1时等号成立)． (2)若x ∈R ，不等式(x ＋1)(x 2
＋1)(x 3
＋1)≥8x 3
仍然成立． 由(1)知，当x >0时，不等式成立； 当x ≤0时，8x 3
≤0. 而(x ＋1)(x 2
＋1)(x 3
＋1) ＝(x ＋1)2
(x 2
＋1)(x 2
－x ＋1)
＝(x ＋1)2(x 2
＋1)⎣⎢⎡⎦
⎥⎤⎝ ⎛⎭⎪⎫x －122＋34≥0，
此时不等式仍然成立．。