2021版高考数学一轮复习第四章三角函数、解三角形4.7正弦定理、余弦定理的综合应用教学案苏教版

第七节正弦定理、余弦定理的综合应用
[最新考纲] 能够运用正弦定理、余弦定理等知识和方法解决一些与测量和几何计算有关的实际问题．
1．仰角和俯角
与目标线在同一铅垂平面内的水平视线和目标视线的夹角，目标视线在水平视线上方叫仰角，目标视线在水平视线下方叫俯角(如图①)．
图①图②
2．方向角
相对于某正方向的水平角，如南偏东30°，北偏西45°等．
3．方位角
指从正北方向顺时针转到目标方向线的水平角，如B点的方位角为α(如图②)．
4．坡度(又称坡比)
坡面的垂直高度与水平长度之比．
一、思考辨析(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)从A处望B处的仰角为α，从B处望A处的俯角为β，则α，β的关系为α＋β＝180°.( )
(2)俯角是铅垂线与视线所成的角，其范围为. ( )
(3)方位角与方向角其实质是一样的，均是确定观察点与目标点之间的位置关系．
( )
(4)方位角大小的范围是[0,2π)，方向角大小的范围一般是.
( ) [答案](1)×(2)×(3)√(4)√
二、教材改编
1．如图所示，设A，B两点在河的两岸，一测量者在A所在的同侧河岸边选定一点C，测出AC的距离为50 m，∠ACB＝45°，∠CAB＝105°后，就可以计算出A，B两点的距离为
m.
50 2 [由正弦定理得
AB
sin∠ACB
＝
AC
sin B
，
又∵B＝30°，∴AB＝
AC sin∠ACB
sin B
＝
50×
2
2
1
2
＝502(m)．]
2.如图，在山脚A测得山顶P的仰角为30°，沿倾斜角为15°的斜坡向上走a米到B，在B处测得山顶P的仰角为60°，则山高h＝米．
2
2
a[由题图可得∠PAQ＝α＝30°，
∠BAQ＝β＝15°，△PAB中，∠PAB＝α－β＝15°，
又∠PBC＝γ＝60°，
∴∠BPA＝(90°－α)－(90°－γ)＝γ－α＝30°，
∴
a
sin 30°
＝
PB
sin 15°
，
∴PB＝
6－2
2
a，
∴PQ＝PC＋CQ＝PB·sin γ＋a sin β
＝
6－2
2
a×sin 60°＋a sin 15°＝
2
2
a.]
3.如图所示，D，C，B三点在地面的同一条直线上，DC＝a，从C，D两点测得A点的仰角分别为60°，30°，则A点离地面的高度AB＝ .
3
2
a[由已知得∠DAC＝30°，△ADC为等腰三角形，AC＝a，所以在Rt△ACB中，AB＝
AC·sin∠ACB＝
3
2 a.]
考点1 解三角形中的实际问题
利用正、余弦定理解决实际问题的一般步骤
(1)分析——理解题意，分清已知与未知，画出示意图．
(2)建模——根据已知条件与求解目标，把已知量与求解量尽量集中在相关的三角形中，建立一个解斜三角形的数学模型．
(3)求解——利用正弦定理或余弦定理有序地解三角形，求得数学模型的解．
(4)检验——检验上述所求的解是否符合实际意义，从而得出实际问题的解．
(1)江岸边有一炮台高30 m，江中有两条船，船与炮台底部在同一水平面上，由炮台顶部测得俯角分别为45°和60°，而且两条船与炮台底部连线成30°角，则两条船相距m.
(2)如图，高山上原有一条笔直的山路BC，现在又新架设了一条索道AC，小李在山脚B 处看索道AC，发现张角∠ABC＝120°；从B处攀登400米到达D处，回头看索道AC，发现张角∠ADC＝150°；从D处再攀登800米可到达C处，则索道AC的长为米．
(1)10 3 (2)40013 [(1)如图，OM＝AO tan 45°＝30(m)，
ON＝AO tan 30°＝
3
3
×30
＝103(m)，
在△MON中，由余弦定理得，
MN＝900＋300－2×30×103×
3 2
＝300＝103(m)．
(2)在△ABD 中，BD ＝400米，∠ABD ＝120°. 因为∠ADC ＝150°， 所以∠ADB ＝30°.
所以∠DAB ＝180°－120°－30°＝30°. 由正弦定理，可得BD sin ∠DAB ＝AD
sin ∠ABD ，
所以400s in 30°＝AD
sin 120°，
得AD ＝4003(米)．
在△ADC 中，DC ＝800米，∠ADC ＝150°，由余弦定理得AC 2
＝AD 2
＋CD 2
－2·AD ·CD ·cos∠ADC ＝(4003)2
＋8002
－2×4003×800×cos 150°＝4002×13，
解得AC ＝40013(米)． 故索道AC 的长为40013米．]
(1)实际测量中的常见问题 求AB
图形
需要测量的元素
解法
求竖直高度
底部可达
∠ACB ＝α，BC ＝a 解直角三角形AB ＝a tan α
底部不可达
∠ACB ＝α，∠ADB ＝β，
CD ＝a 解两个直角三角形AB ＝
a tan αtan β
tan β－tan α
求水平距离
山两侧
∠ACB ＝α，AC ＝b ，BC ＝a
用余弦定理AB ＝
a 2＋
b 2－2ab cos α
河两岸
∠ACB ＝α，∠ABC ＝β，
CB ＝a
用正弦定理AB ＝
a sin α
sin α＋β
河对岸
∠ADC ＝α，∠BDC ＝β，∠BCD ＝δ，∠ACD ＝γ，
CD ＝a
在△ADC 中，AC ＝
a sin α
sin α＋γ
；
在△BDC 中，
BC ＝
a sin β
sin β＋δ
；
在△ABC 中，应用
余弦定理求AB
(2)三角应用题求解的关键是正确作图(平面图、立体图)，并且条件对应好(仰角、俯角、方向角等)．
1.一船以每小时15 km 的速度向东航行，船在A 处看到一个灯塔B 在北偏东60°
的方向上，行驶4 h 后，船到达C 处，看到这个灯塔在北偏东15°的方向上，这时船与灯塔的距离为 km.
30 2 [如图，由题意知，∠BAC ＝30°，∠ACB ＝105°，
∴B ＝45°，AC ＝60，
由正弦定理得BC sin 30°＝AC
sin 45°，
∴BC ＝302(km)．]
2.如图所示，位于A 处的信息中心获悉：在其正东方向相距40海里的B 处有一艘渔船遇险，在原地等待营救．信息中心立即把消息告知在其南偏西30°、相距20海里的C 处的乙船，现乙船朝北偏东θ的方向沿直线CB 前往B 处救援，则cos θ的值为 ．
21
14
[在△ABC 中，AB ＝40，AC ＝20，∠BAC ＝120°， 由余弦定理得
BC 2＝AB 2＋AC 2－2AB ·AC ·cos 120°＝2 800，
得BC ＝207.
由正弦定理，得AB sin ∠ACB ＝BC
sin ∠BAC ，
即sin ∠ACB ＝AB BC ·sin∠BAC ＝
217
. 由∠BAC ＝120°，知∠ACB 为锐角， 则cos ∠ACB ＝27
7
.
由θ＝∠ACB ＋30°，得cos θ＝cos(∠ACB ＋30°)
＝cos ∠ACB cos 30°－sin ∠ACB sin 30°＝
21
14
.] 考点2 平面几何中的解三角形问题
与平面图形有关的解三角形问题的关键及思路
求解平面图形中的计算问题，关键是梳理条件和所求问题的类型，然后将数据化归到三角形中，利用正弦定理或余弦定理建立已知和所求的关系．
具体解题思路如下：
(1)把所提供的平面图形拆分成若干个三角形，然后在各个三角形内利用正弦、余弦定理求解；
(2)寻找各个三角形之间的联系，交叉使用公共条件，求出结果．
如图，在平面四边形ABCD 中，∠ABC ＝3π
4，AB ⊥AD ，AB ＝1.
(1)若AC ＝5，求△ABC 的面积； (2)若∠ADC ＝π
6
，CD ＝4，求sin ∠CAD .
[解](1)在△ABC 中，由余弦定理得，AC 2
＝AB 2
＋BC 2
－2AB ·BC ·cos∠ABC ， 即5＝1＋BC 2
＋2BC ，解得BC ＝2，
所以△ABC 的面积S △ABC ＝12AB ·BC ·sin∠ABC ＝12×1×2×22＝1
2.
(2)设∠CAD ＝θ，在△ACD 中，由正弦定理得AC sin ∠ADC ＝CD
sin ∠CAD ，即
AC
sin
π6＝4
sin θ，
①
在△ABC 中，∠BAC ＝π2－θ，∠BCA ＝π－3π4－⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－θ＝θ－π4， 由正弦定理得AC sin ∠ABC ＝AB
sin ∠BCA ，
即
AC
sin 3π4＝1
sin ⎝
⎛⎭⎪⎫θ－π4， ②
①②两式相除，得sin 3π4sin
π
6＝4sin ⎝
⎛⎭⎪⎫θ－π4sin θ，
即4⎝
⎛⎭
⎪⎫
22sin θ－22cos θ＝2sin θ，整理得sin θ＝2cos θ.
又因为sin 2
θ＋cos 2
θ＝1，
所以sin θ＝255，即sin ∠CAD ＝25
5
.
做题过程中，要用到平面几何中的一些知识点，如相似三角形的边角关系、平
行四边形的一些性质，要把这些性质与正弦、余弦定理有机结合，才能顺利解决问题．
(2019·湖南衡阳第三次联考)如图，在平面四边形ABCD 中，0＜∠DAB ＜π
2，AD
＝2，AB ＝3，△ABD 的面积为33
2，AB ⊥BC .
(1)求sin ∠ABD 的值； (2)若∠BCD ＝2π
3
，求BC 的长．
[解](1)因为△ABD 的面积S ＝12AD ×AB sin ∠DAB ＝12×2×3sin ∠DAB ＝33
2，
所以sin ∠DAB ＝
3
2
. 又0＜∠DAB ＜π
2，
所以∠DAB ＝π
3
，
所以cos ∠DAB ＝cos π3＝1
2.
由余弦定理得
BD ＝AD 2＋AB 2－2AD ·AB cos ∠DAB ＝7，
由正弦定理得sin ∠ABD ＝
AD sin ∠DAB BD ＝21
7
. (2)因为AB ⊥BC ，所以∠ABC ＝π
2
，
sin ∠DBC ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－∠ABD ＝cos ∠ABD ＝1－sin 2
∠ABD ＝277.
在△BCD 中，由正弦定理
CD
sin ∠DBC ＝BD sin ∠DCB 可得CD ＝BD sin ∠DBC sin ∠DCB ＝43
3
.
由余弦定理DC 2
＋BC 2
－2DC ·BC cos ∠DCB ＝BD 2
， 可得3BC 2
＋43BC －5＝0， 解得BC ＝
33或BC ＝－53
3(舍去)． 故BC 的长为
3
3
. 考点3 与三角形有关的最值(范围)问题
解三角形问题中，求解某个量(式子)的最值(范围)的基本思路为：
要建立所求量(式子)与已知角或边的关系，然后把角或边作为自变量，所求量(式子)的值作为函数值，转化为函数关系，将原问题转化为求函数的值域问题．这里要利用条件中的范围限制，以及三角形自身范围限制，要尽量把角或边的范围(也就是函数的定义域)找完善，避免结果的范围过大．
(2019·全国卷Ⅲ)△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c .已知a sin A ＋C
2
＝b sin A .
(1)求B ；
(2)若△ABC 为锐角三角形，且c ＝1，求△ABC 面积的取值范围． [解](1)由题设及正弦定理得sin A sin A ＋C
2
＝
sin B sin A .
因为sin A ≠0，所以sin
A ＋C
2
＝sin B .
由A ＋B ＋C ＝180°，可得sin
A ＋C 2＝cos
B 2，故cos B 2＝2sin B 2cos B
2
. 因为cos B 2≠0，故sin B 2＝1
2
，因此B ＝60°.
(2)由题设及(1)知△ABC 的面积S △ABC ＝3
4
a . 由正弦定理得a ＝
c sin A sin C ＝sin 120°－C sin C ＝32tan C ＋1
2
. 由于△ABC 为锐角三角形，故0°<A <90°，0°<C <90°.由(1)知A ＋C ＝120°，所以30°
＜C <90°，故12＜a ＜2，从而38＜S △ABC ＜3
2
.
因此，△ABC 面积的取值范围是⎝
⎛⎭⎪⎫3
8
，32. 求解三角形中的最值、范围问题的2个注意点
(1)涉及求范围的问题，一定要搞清已知变量的范围，利用已知的范围进行求解，已知边的范围求角的范围时可以利用余弦定理进行转化．
(2)注意题目中的隐含条件，如本例中锐角三角形的条件，又如A ＋B ＋C ＝π，0＜A ＜π，
b －
c ＜a ＜b ＋c ，三角形中大边对大角等．
[教师备选例题]
设△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，a ＝b tan A ，且B 为钝角． (1)证明：B －A ＝π
2
；
(2)求sin A ＋sin C 的取值范围． [解](1)证明：由a ＝b tan A 及正弦定理， 得
sin A cos A ＝a b ＝sin A
sin B
， 所以sin B ＝cos A ，即sin B ＝sin ⎝ ⎛⎭
⎪⎫π2＋A . 因为B 为钝角，所以A 为锐角， 所以π2＋A ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，π，
则B ＝π2＋A ，即B －A ＝π2
.
(2)由(1)知，C ＝π－(A ＋B )＝π－⎝ ⎛⎭⎪⎫2A ＋π2＝π2－2A ＞0，所以A ∈⎝
⎛⎭⎪⎫0，π4.
于是sin A ＋sin C ＝sin A ＋sin ⎝ ⎛⎭
⎪⎫π2－2A
＝sin A ＋cos 2A ＝－2sin 2
A ＋sin A ＋1 ＝－2⎝
⎛⎭⎪⎫sin A －142＋98.
因为0＜A ＜π4，所以0＜sin A ＜2
2，
因此
22＜－2⎝
⎛⎭⎪⎫sin A －142＋98≤98.
由此可知sin A ＋sin C 的取值范围是
.
1.在钝角△ABC 中 ，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，B 为钝角，若a cos A
＝b sin A ，则sin A ＋sin C 的最大值为( )
A. 2
B.98 C ．1 D.7
8
B [∵a cos A ＝b sin A ，由正弦定理可得，sin A cos A ＝sin B sin A ，∵sin A ≠0，∴cos A ＝sin B ，又B 为钝角，∴B ＝A ＋π
2，sin A ＋sin C ＝sin A ＋sin(A ＋B )＝sin A ＋cos 2A ＝
sin A ＋1－2sin 2
A ＝－2⎝ ⎛
⎭⎪⎫sin A －142
＋98，
∴sin A ＋sin C 的最大值为9
8
.]
2．在△ABC 中，b ＝3，B ＝60°，(1)求△ABC 周长l 的范围； (2)求△ABC 面积最大值． [解](1)l ＝3＋a ＋c ，
b 2＝3＝a 2＋
c 2－2ac cos 60°＝a 2＋c 2－ac ，
∴(a ＋c )2
－3ac ＝3， ∵(a ＋c )2－3＝3ac ≤3×⎝ ⎛⎭
⎪⎫a ＋c 22，
∴a ＋c ≤23，
当仅仅当a ＝c 时，取“＝”， 又∵a ＋c ＞3，∴23＜l ≤3 3. (2)∵b 2
＝3＝a 2
＋c 2
－ac ≥2ac －ac ， ∴ac ≤3，
当且仅当a ＝c 时，取“＝”，
S △ABC ＝12ac sin B ≤12×3×sin 60°＝
33
4
， ∴△ABC 面积最大值为33
4
.。