关于Lucas多项式的几个恒等式

关于Lucas多项式的几个恒等式
作者：潘丽静
来源：《价值工程》2011年第24期
摘要：本文利用Lucas多项式的递推关系和Lucas多项式的表达式，给出了关于Lucas多项式的一些恒等式。

Abstract: In this paper, we researched some identities about Lucas polynomial under the recursion relation and the expression of Lucas polynomial.
关键词：Lucas多项式；数学归纳法；递推关系
Key words: Lucas polynomial；mathematical induction；recursion relation
中图分类号：O157 文献标识码：A 文章编号：1006-4311（2011）２4-0248-01
0引言
著名的Fibonacci序列和Lucas序列是由递推关系式和初始条件定义的[1，2]：
Fn+2=Fn+1+Fn（n?叟0），F0=0，F1=1。

Ln+2=Ln+1+Ln（n?叟0），L0=2，L1=1。

Fibonacci序列在数学、生物和经济学上有着广泛的应用，美国数学会还专门成立了Fibonacci研究会，并且出版了富有影响力的《Fibonacci季刊》。

Fibonacci多项式和Lucas多项式是用递推关系来定义的[1]：
Fn+2（x）=xFn+1（x）+Fn（x），F0（x）=0，F1（x）=1，n=1，2，…。

Ln+2（x）=xLn+1（x）+Ln（x），L0（x）=2，L1（x）=x，n=1，2，…。

显然，当x=1时，Fibonacci多项式就是Fibonacci序列，Lucas多项式就是Lucas序列。

由差分法得Fibonacci多项式和Lucas多项式的通项公式如下[1]：
对于Fibonacci多项式和Lucas多项式，许多学者进行了大量的研究，取得了丰富的成果。

文献[1，2]分别对Fibonacci多项式和Fibonacci序列进行了研究，得到了Fibonacci多项式和Fibonacci序列的若干性质；王明军在文献[4]中研究了Lucas多项式的性质，得到了Lucas 多项式的若干恒等式；芦殿军在文献[5，6]中分别研究了Lucas多项式和Fibonacci多项式的性质，得到了Lucas多项式和Fibonacci多项式的若干恒等式。

本文通过Lucas多项式的递推关系和Lucas多项式的表达式，利用初等数论的方法给出了关于Lucas多项式的一些恒等式，其中一些结论是对文献[4]中结论的推广。

1相关引理
参考文献：
[1]Yi Yuan, Zhang Wen-peng. Some identities involving the Fibonacci polynomials [J]. The Fibonacci Quarterly，2002，40（3）: 314-318.
[2]Zhang Wen-peng. Some identities involving the Fibonacci numbers [J]. The Fibonacci Quarterly，1997，35（3）:225-229.
[3]吴振奎.斐波那契数列[M].沈阳：辽宁教育出版社，1987.
[4]王明军.关于Lucas多项式的恒等式[J].西南民族大学学报（自然科学版）：2008，34（6）：1122-1124.
[5]芦殿军.Lucas多项式的性质[J].青海师专学报（教育科学），2005，（4）: 44-45.
[6]芦殿军.Fibonacci多项式的若干性质[J].青海师范大学学报（自然科学版），2004，（3）:11-13.
[7]Swanmy M N S. On a class of generalized polynomial [J]. The Fibonacci Quarterly，1997，35（4）:329-334.。