带电粒子在有界磁场中运动和复合场运动题型和解题技巧

带电粒子在有界磁场中运动及复合场运动题型及解题技巧
近年来在考题中多次出现求磁场的最小范围问题；或带电粒子在空间运动范围问题，这类题对学生的平面几何知识与物理知识的综合运用能力要求较高。

其难点在于带电粒子的运动轨迹不是完整的圆，其进入边界未知的磁场后一般只运动一段圆弧后就飞出磁场边界，运动过程中的临界点（如运动形式的转折点.
轨迹的切点.磁场的边界点等）难以确定。

一、对称法
带电粒子如果从匀强磁场的直线边界射入又从
该边界射出，则其轨迹关于入射点和出射点线段的中
垂线对称，且入射速度方向与出射速度方向与边界的
夹角相等（如图1）;带电粒子如果沿半径方向射入具
有圆形边界的匀强磁场，则其射出磁场时速度延长线
必过圆心（如图2）。

利用这两个结论可以轻松画出
带电粒子的运动轨迹，找出相应的几何关系。

例1.如图3所示, 直线MN上方有磁感应强度
为B的匀强磁场。

正、负电子同时从同一点O以与
MN成30° 角的同样速度V射入磁场（电子质量为
m,电荷为e）,它们从磁场
中射出时相距多远？射出
的时间差是多少?
解析：正.负电子的半
径和周期是相同的。

只是偏
转方向相反。

先确定圆心，画出半径和轨迹（如图4）,由对称性知：射入、射出点和圆心恰好组成正三角形。

所以两个射出
2mv 点相距s=2r=加
Ai =
由图还看出经历时间相差,所以解此题的关键是找圆
心、找半径和用对称。

例2.如图5所示，在半径为r的圆形区
域内，有一个匀强磁场。

一带电粒子以速度
V0从M点沿半径方向射入磁场区，并由N点射出，O点为圆
心。

当ZMON=120。

时，求：厂 '
带电粒子在磁场区的偏转半径R及在磁场区
中的运动时间。

yx百〉
解析：分别过M、N点作半径OM、ON
的垂线，此两垂线的交点O,即为带电粒子作0-5
圆周运动时圆弧轨道的圆心，如图6所示。

由图中的几何关系可知，圆弧MN所对的轨道圆心角为60° , O、O,的边线为该圆心角的角平分线，由此可得带电粒子圆轨道半径为R=r/tan30^ =屈
K-3
又带电粒子的轨道半径可表示为： 故带电粒子运动周期:
带电粒子在磁场区域中运动的时间 3v °
二、旋转圆法
在磁场中向垂直于磁场的各个方向发射速度大小相同的带电粒 子时，带电粒子的运动轨迹是围绕发射点旋转的半径相同的动态圆 （如图7）,用这一规律可快速确定粒子的运动轨迹。

例3.如图8所示，S 为电子 源，它在纸面360°度范围内发射 速度大小为v0,质量为m,电量■ 为q 的电子（qvO ）, MN 是一块. 足够大的竖直挡板，与S 的水平距
诛- 离为L,挡板左侧充满垂直纸面向• °
°
外的匀强磁场，磁感应强度大小为. mvO/qL,求挡板被电子击中的范 围为多
大？
解析：由于粒子从同一点向各
个方向发射，粒子的轨迹为绕S 点旋转的动态圆，且动态圆的每一个圆都是
逆时针旋转，
这样可以作出打到最高点与最低点的轨迹，如图9所示，最高点为动态圆与
MN 的相切时
的交点P,最低点为动态圆与MN 相割，且SQ 为直径时Q 为最低点，带电粒子在磁场中
qv Q B = m —
作圆周运动，由洛仑兹力提供向心力，由
R
SQ 为直径，则：SQ=2L, SO=L ,由几何关系得:
P 为切点,所以OP=L ,所以粒子能击中的范围为（1 +般耳。

a
例4. （2010全国新课程卷）如图10所示，在OWxWA. O0W ㊁范围内有垂直于xy 平面向外的匀强磁场，磁感应强度大小为B 。

坐标原点O 处有一个粒子源，在某时刻发射 大量质量为m 、电荷量为q 的带正电粒子，它们的速度大小相同，速度方向均在xy 平面内，
a
与y 轴正方向的夹角分布在o 〜90。

范围内。

己知粒子在磁场中做圆周运动的半径介于㊁到 a 之间，从发射粒子到粒子全部离开磁场经历的时间恰好为粒子在磁场中做圆周运动周期的 四分之一。

求最后离开磁场的粒子从粒子源射出时的：
.... 、
:••• f /;； 0 \ ■■■
H f 十粪沁:
.讥.二.匚、兀• "•••“： ms \ •
补：;：；丘
二：：
\ 8-7 /
图-9
WORD 完美格式
(1)
速度大
小；⑵
速度方
向与、•轴
正方向夹
角正弦。

解析：设
粒
子的发
射速度
qvB = m一子做圆周运动的半径为R,由牛顿第二定律和洛仑兹力公式得：R ,解得: mv a
从O点以半径R (2 <R<a)作“动态圆”，如图11所示，由图不难看出，在
磁场中运动时间最长的粒子，其轨迹是圆心为c的圆弧，圆弧与磁场的边界相切。

设该粒
T 7T
t ———
子在磁场中的运动时间为「依题意 4 ,所以ZOCA= 2 o
设最后离开磁场的粒子的发射方向与y轴正方向的夹角为a ,由几何关系得:
Ksin住二氏一纟・・2 2
2,求sin 庄=a - Rcos& , 再加上sin 住 + cos a=l.
三、缩放圆法
带电粒子以大小不同，方向相同的速度垂直射入匀强磁场中,
作圆周运动的半径随着速度的变化而变化，因此其轨迹为半径缩放
的动态圆(如图12),利用缩放的动态圆，可以探索出临界点的轨
迹，使问题得到解决。

例5.如图13所示.匀强磁场中磁感应强度为B,宽度为d,
一电子从左边界垂直匀强磁场射入，入射方向
X
与边界的夹角为0,已知电子的质量为m,电量为
e,要使电子能从轨道的另一侧射出，求电子速度
大小的范围。

解析：如图14所示，当入射速度很
小时电子会在磁场中转动一段圆弧后又从同一侧射出，速率越大，轨道半径越大，当轨道与边界相切时，电子恰好不能从另一侧射出，当速率大于这个临界值时便从右边界射出，设此时的速率为、0,带电粒子在磁场中作圆周运动，由几何关系得：r+rcosEnl ①
电子在磁场中运动时洛伦兹力提供向心力：° ,所以：必
Bed
V Q =
联立①②解得：觀(1 + COS0),所以电子从另一侧射出的条件是速度大于
Bed 炖(1+ cos 6)
例6. (2010全国II卷〉如图15所示，左边有一对平行金属板，两板的距离为d,电压为U,两板间有匀强磁场，磁感应强度为B0,方面平行于板面并垂直纸面朝里。

图中右边有一边长为a的正三角形区域EFG (EF边与金属板垂直〉，在此区域内及其边界上也有匀强磁场，磁感应强度大小为B,方向垂直纸面向里。

假设一系列电荷量为q的正离子沿平行于金属板面、垂直于磁场的方向射入金属板之间，沿同一方向射出金属板间的区域，并经EF边中点H射入磁场区域。

不计重力。

(1)已知这些离子中的离子甲到达边界EG后，从边界EF穿出磁场，求离子甲的质量；
(2)已知这些离子中的离子乙从EG边上的I点(图中未画出)穿出磁场，且GI 长为3a/4,求离子乙的质量；
(3)若这些离子中的最轻
离子的质疑等于离子甲质量的一
半，而离子乙的质量是
最大的，问磁场边界上什么区域内
可能有离子到达?
解析：由题意知，所有离子在平行金属板之间做匀速直线运动，则有：qvRpqU/d.解得离子的速度为：v=U/B.d (为一定数值)。

虽然离子速度大小不变，但质量加改变，结合带电离子在磁场中做匀速圆周运动的半径公式Ev/qB分析,可画出不同质量的带电离子在磯场中的运动轨迹，如图16中的动态圆。

(1)由题意知，离子甲的运动轨迹是图17中的半圆，半圆与M边相切于4点,与肿边垂直相交于方点，由几何关系可得半径：《甲=acos30° tanl5° =
(袒_ 3严淬°
从而求得离子甲的质量血甲=「 2 U o
(2)离子乙的运动轨迹如图18所示，在AEZQ中，由余弦定理得:
=（学 + （扌- Q -咛猪-血）cos 60。

adqBB^
从而求得乙离子的质量e沪4U 。

关于带电粒子在电场的运动问题，高考题中经常出
现，下面我们先看一个例题:
例：如图所示，质量为血电荷量为q的带电粒子以平行于极板的初速度％射入长Z板间距离为d 的平行板电容器间，两板
间电压为U求射出时的侧移、偏转角和动能增量.
解：分解为两个独立的分运动：平行极板的匀
速运动(运动时间由此分运动决定)L = W垂直极板的匀加速直线运动,
md•偏角: y =_tan&
7 2
•穿越电场过
7
程的动能增量是：△蹤qEy (注意，一般来说不等于况0 ,从例题可以得出结论有三：
结论一.不同带电粒子从静止进入同一电场加速后再垂直进入同一偏转电场，射出时的偏转角度总和位移偏转量y是相同的，与粒子的小也无关。

例1・如图所示，电子在电势差为％的加速电场中由静止开始运动，然后射入电势差为弘的两块平行极板间的电场中，射入方向
跟极板平行，整个装置处在真空中，重力可忽略，在
满足电子能射出平行板区的条件下，下述四种情况
中，一定能使电子的偏转角0变大的是
( )
—5+
A. %变大、弘变大
B.弘变小.必变大
C. U变大.必变小
D. %变小、弘变小
解析：电子在加速电场中由动能定理得=,电子在偏转电场中有：
v二空it 啪丄=凹_
匸=7匕=巾，'md .由以上各式得：匕加口，可知要使®增大
必然U2变大，6变小，故选B・答案：B
结论二、粒子垂直进入电场偏转射出后，速度的反向延长线与初速度延长
线的交点为粒子水平位移中点。

（粒子好像是从中点直线射出！）例2・证明：在带电的平行金属板电容器中, 只要
带电粒子垂直电场方向射入（不一定在正中间），
且能从电场中射出如图所示，则粒子射入速度％的
方向与射出速度％的方向的交点0必定在板长Z的中
点.
1 2 31 八
匕=^at =亍〒■（_）
证明：粒子从偏转电场中射出时偏距22伽％,粒子从偏转电
场中射出时的偏向角v o 勺叫d ,作粒子速度的反向延长线，
y 2昴％1
x = ---- =----- —=—
tang q® 2
设交于0点，0点与电场边缘的距离为X,则那加。

可知，粒
I
子从偏转电场中射出时，就好像是从极板间的㊁处沿直线射出似的，即证。

结论三、粒子垂直飞入电场偏转射出时，速度偏转角正切值（询1&）等于位移偏转角正切值0加0）的两倍（t沁&=2tan0）。

例3・（2009山东）如图甲所示，建立Oxy坐标系，两平行极板P、Q垂直于y轴且关于x轴对称，极板长度和板间距均为1,第一四象限有磁场，方向垂直于
Oxy平面向里。

位于极板左侧的粒子源沿x轴间右连接发射质量为m、电量为+q、速度相同、重力不计的带电粒子在0〜3t时间内两板间加上如图乙所示的电压（不考虑极边缘的影响）。

已知t=0时刻进入两板间的带电粒子恰好在t。

时，刻经极板边缘射入磁场。

上述m、q、1、1。

、B为已知量。

（不考虑粒子
间相互影响及返回板间的情况）（1）求电压U 的大小。

（2）求㊁时进入两板 间的带电粒子在磁场中做圆周运动的半径。

（2） 2。

时刻进入两极板的带电粒子，前2。

时间在电场中偏转，后2"时 间
两极板没有电场，带电粒子做匀速直线运动。

带电粒子沿x 轴方向的分速度 大小为'■抵,带电粒子离开电场时沿y 轴负方向的分速度大小为,带 电粒子离开电场时的速度大小为心点+"；，设带电粒子离开电场进入磁场做 _ 护 R 二洁吻 匀速圆周运动的半径为R,则有=
,联立上式解得^ " 2皿。

1
二 m X X X X
X X x X
X X x X
・・■ ..............
旦
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X X X X
解析：（l ）f = 0时刻进入两极板的带电粒子在电 场中做匀变速曲线运动，血时刻刚好从极板边缘射出,
-/
在轴负方向偏移的距离为
,则有
丘=十严=呦,才飞处联立以上三式，解得两极
板间偏转电压为"一
鬲。

图甲
图乙。