6.2.3《平面向量的坐标及其运算》课件人教B版(2019)高中数学必修第二册

∴当 λ<-1 时,点 P 在第三象限内.
探究一
探究二
探究三
当堂检测
反思感悟1.解答本题可用待定系数法.此法是最基本的数学方法之
一,实质是先将未知量设出来,建立方程(组)求出未知数的值.
2.坐标形式下向量相等的条件:相等向量的对应坐标相等;对应坐标
相等的向量是相等向量.由此可建立相等关系求某些参数的值.
知识点拨
名师点析1.在平面直角坐标系中,向量和坐标是一一对应关系
向量 a
坐标(x,y).
由此可见,在全体有序实数对与坐标平面内的所有向量之间可以建
立一一对应关系.因此在直角坐标系中,点或向量都可以看作有序
实数对的直观形象.
微思考1
正交分解与平面向量基本定理有何联系?
提示:正交分解是平面向量基本定理的特殊形式(基底垂直时).
直.
2.正交分解:如果平面向量的基底{e1,e2}中,e1⊥e2,就称这组基底为
正交基底;在正交基底下向量的分解称为向量的正交分解.
3.向量的坐标
一般地,给定平面内两个相互垂直的单位向量e1,e2,对于平面内的向
量a,如果a=xe1+ye2,则称(x,y)为向量a的坐标,记作a=(x,y).
激趣诱思
已知向量a= 8, ,b=(x,1),其中x>0,若(a-2b)∥(2a+b),则x的值为
2
(
)
A.4
B.8
C.0
D.2
1
解析:a-2b= 8-2, 2 -2 ,2a+b=(16+x,x+1),由已知(a-2b)∥(2a+b),
1
得(16+x)·2 -2 =(8-2x)(x+1),即 x2=16,又 x>0,
激趣诱思
知识点拨
微思考2
点的坐标与向量的坐标有何区别?
提示:(1)向量坐标与点的坐标有区别,当且仅当向量的起点为坐标
原点时,向量坐标才与其终点的坐标相等.如:点A的位置向量 的
坐标(x,y),也就是点A的坐标(x,y);反之,点A的坐标(x,y)也是点A相对
于坐标原点的位置向量 的坐标.
方法二:(几何意义法)设点 O 为坐标原点,则由=3, =2,
可得 − =3( − ), − =2( − ),
从而=3-2 , =2 − ,
所以=3(-2,4)-2(-3,-4)=(0,20),
=2(3,-1)-(-3,-4)=(9,2),即点 M(0,20),N(9,2),
探究一
探究二
探究三
当堂检测
反思感悟求向量的模的基本策略
坐标表示下的运算:
若a=(x,y),则a·
a=a2=|a|2=x2+y2,于是有|a|=
2 + 2.
探究一
探究二
探究三
当堂检测
变式训练1若向量a的始点为A(-2,4),终点为B(2,1),求:
(1)向量a的模;
(2)与a平行的单位向量的坐标.
(2)符号(x,y)在直角坐标系中有双重意义,它既可以表示一个固定的
点,又可以表示一个向量,为了加以区分,在叙述中,就常说点(x,y),或
向量(x,y).
(3)给定一个向量,它的坐标是唯一的,给定一对实数,由于向量可以
平移,以这对实数为坐标的向量有无穷多个.
(4)两个向量相等,当且仅当它们的坐标相同.
探究一
探究二
探究三
当堂检测
延伸探究若本例条件不变,试求点P在第四象限时λ的取值范围.
5 + 5 > 0,
解:若 P 在第四象限,则
4 + 7 < 0,
4
解得-1<λ<- .
7
探究一
探究二
探究三
当堂检测
1
1.已知 M(3,-2),N(-5,-1),若 = ,则 P 点的坐标为(
2
A.(-8,1)
,b=
.
(2)已知 A(-2,4),B(3,-1),C(-3,-4),且=3, =2,求 M,N 及
的坐标.
分析:(1)用加减消元法求a,b的坐标.
(2)方法一:设点M,N的坐标,用向量相等的坐标表示列方程求值.
方法二:用向量线性运算的几何意义直接计算 , 的坐标.
(1)解析:由a+b=(1,3),a-b=(5,7),
激趣诱思
知识点拨
2.向量的坐标的注意点
(1)向量的坐标与其终点的坐标不一定相同.由于自由向量的起点可
以任意选取,如果向量是以坐标原点为始点的,则向量的坐标就与
其终点的坐标相同;如果向量不以坐标原点为始点,则向量的坐标
就与其终点的坐标不同.
(2)向量a的坐标(x,y)既能刻画向量a的模,同时也能刻画向量a的方
= 5 + 5,
∵ = +λ,∴
则
= 4 + 7.
-3 = 1 + 7,
(1)若 P 在一、三象限角平分线上,
1பைடு நூலகம்
则 5+5λ=4+7λ,∴λ=2,
1
∴当 λ=2时,点 P 在一、三象限角平分线上.
(2)若 P 在第三象限内,则
5 + 5 < 0,
4 + 7 < 0,
∴λ<-1,
向.
(3)求向量的坐标一般转化为求点的坐标,解题时常常结合几何图形
激趣诱思
知识点拨
微练习
给出下面几种说法:
①相等向量的坐标相同;
②平面上一个向量对应平面上唯一的坐标;
③一个坐标对应唯一的一个向量;
④平面上一个点的坐标与以原点为始点、该点为终点的向量一一
对应.
其中正确的个数是(
)
A.1
B.2
C.3 D.4
解析:①②④正确.③中一个坐标对应无数个向量.
答案:C
激趣诱思
知识点拨
知识点二、平面上向量的运算与坐标的关系
1.向量加法与减法运算
设a=(x1,y1),b=(x2,y2),则
(1)ua+vb=(ux1+vx2,uy1+vy2);
(2)ua-vb=(ux1-vx2,uy1-vy2).
2.模长公式:设a=(x,y),则 |a|= 2 + 2 .
+ 2 = 2,
= -2,
答案:C
探究一
探究二
探究三
当堂检测
2.已知向量a=(2,4),b=(m,-1),若a与2a+b共线,则实数m的值为(
1
A.4
B.-1
1
C.2
)
D.-2
解析:由a=(2,4),b=(m,-1),则2a+b=(4+m,7),又因为a与2a+b共线,则
1
2×7=4×(4+m),解得m=- 2 .
故=(9,2)-(0,20)=(9,-18).
探究一
探究二
探究三
当堂检测
反思感悟平面向量坐标的线性运算的方法
(1)若已知向量的坐标,则直接应用两个向量和、差及数乘向量的运
算法则进行.
(2)若已知有向线段两端点的坐标,则可先求出向量的坐标,然后再
进行向量的坐标运算.
(3)向量的线性坐标运算可类比数的运算进行.
答案:C
3.(2020山东潍坊高一月考)已知向量a=(1,x+1),b=(x,2),若满足a∥b,
3.平面直角坐标系内两点之间的距离公式与中点坐标公式
设A(x1,y1),B(x2,y2)为平面直角坐标系中的两点,则
2
2
(1)两点间的距离公式:AB=||= (2 -1 ) + (2 -1 ) ;
(2)中点坐标公式:AB 的中点坐标为
1 + 2 1 +2
2
4.向量平行的坐标表示
分析:用λ表示点P的横、纵坐标→根据条件列方程或不等式→求解
探究一
探究二
探究三
当堂检测
解:设点 P 的坐标为(x,y),则=(x,y)-(2,3)=(x-2,y-3),
+λ=[(5,4)-(2,3)]+λ[(7,10)-(2,3)]
=(3,1)+λ(5,7)=(3+5λ,1+7λ).
-2 = 3 + 5,
所以2a=(1,3)+(5,7)=(6,10),
所以a=(3,5),2b=(1,3)-(5,7)=(-4,-4),
所以b=(-2,-2).
答案:(3,5) (-2,-2)
探究一
探究二
探究三
当堂检测
(2)解:方法一:(待定系数法)由 A(-2,4),B(3,-1),C(-3,-4),
可得=(-2,4)-(-3,-4)=(1,8),=(3,-1)-(-3,-4)=(6,3),
B.(8,-1)
3
)
3
D. 1, 2
C. -1,- 2
解析:设点 P 的坐标为(x,y),则=(x-3,y+2),=(-5-3,-1+2)=(-8,1),
1
∵ = 2 ,
1
∴(x-3,y+2)= -4, 2 ,
∴
-3 = -4,
= -1,
3
1 解得
3 ∴P -1,- 2 .故选 C.
1
1
− 2 =(-8,4)-2(-10,14)
=(-8,4)-(-5,7)=(-3,-3).
探究一
探究二
探究三
当堂检测
向量坐标运算的综合应用
例 3 已知点 A(2,3),B(5,4),C(7,10).若 = +λ(λ∈R),试求:
(1)点P在第一、三象限角平分线上时λ的值;
(2)点P在第三象限内时λ的取值范围.
向量共线的条件解决问题.
(数学抽象、数学运算)
激趣诱思
知识点拨
在物理的学习中我们知道:飞机沿仰角为α的方向起飞的速度v,可
分解为水平方向的速度vcos α和竖直方向的速度vsin α.
把一个向量分解到两个不同的方向,特别是在两个互相垂直的方向
分解,可使许多度量问题变得较为简单,这就是向量的正交分解.
激趣诱思
知识点拨
微判断
(1)两个向量的终点不同,则这两个向量的坐标一定不同.(
)
答案:×
(2)当向量的始点在坐标原点时,向量的坐标就是向量终点的坐
标.(
)
答案:√
(3)两向量差的坐标与两向量的顺序无关.(
)
答案:×
(4)向量(2,3)与向量(-4,-6)同向.(
)
答案:×
激趣诱思
知识点拨
微练习
1
∴x=4.
答案:A
探究一
探究二
探究三
当堂检测
求向量的模
例1设平面向量a=(1,2),b=(-2,y),若a∥b,则|2a-b|等于(
A.4
B.5
C.3√5
)
D.4√5
解析:由y+4=0知y=-4,b=(-2,-4),
∴2a-b=(4,8),∴|2a-b|=4 √5.故选D.
答案:D
分析:综合应用向量共线的坐标表示和向量模的坐标表示求解.
设a=(x1,y1),b=(x2,y2),则a∥b⇔x2y1=x1y2.
,
2
.
激趣诱思
知识点拨
名师点析描述两向量共线的三种方法
(1)几何表示法:若非零向量a与b共线,则存在唯一实数λ,使得b=λa.
它体现了向量a与b的大小及方向之间的关系.
(2)代数表示法:设a=(x1,y1),b=(x2,y2),则当a与b共线时x2y1=x1y2.用它
解决平面向量共线问题的优点在于不需要引入参数λ,从而减少了
未知数的个数,而且它使问题的解决具有代数化的特点和程序化的
特征.
1 1
(3)比例形式表示法:设a=(x1,y1),b=(x2,y2),则当a与b共线时, =
2
2
(x2,y2≠0).这种形式不易出现搭配错误,但有x2,y2≠0的限制.
高中数学
必修第二册 RJ
RJB
6.2.3
平面向量的坐标及其运算
课标阐释
思维脉络
1.了解平面向量的正交分解,
掌握向量的坐标表示.(数学
抽象)
2.理解向量坐标的概念,掌握
两个向量和、差及数乘向量
的坐标运算法则.(数学运算)
3.了解用坐标表示平面向量
共线条件的推导过程,理解
坐标表示的平面向量的共线
条件.会用坐标表示的平面
有了向量的正交分解,向量就可用平面直角坐标表示,从此向量的
计算就转化为坐标的代数运算.本节我们就学习向量的正交分解和
向量的坐标表示.
激趣诱思
知识点拨
知识点一、平面向量的坐标
1.垂直向量:平面上两个非零向量a与b,如果它们所在的直线互相垂
直,我们就称向量a与b垂直,记作a⊥b.规定零向量与任意向量都垂
解:(1)∵a==(2,1)-(-2,4)=(4,-3),
∴|a|= 42 + (-3)2 =5.

1
(2)与 a 平行的单位向量是±||=±5(4,-3),
即坐标为
4 3
,5 5
4 3
或 - , .
5 5
探究一
探究二
探究三
当堂检测
平面向量的坐标运算
例2(1)已知a+b=(1,3),a-b=(5,7),则a=
探究一
探究二
探究三
当堂检测
变式训练2若A,B,C三点的坐标分别为(2,-4),(0,6),(-8,10),求
+2,
1
− 的坐标.
2
解:∵=(-2,10),=(-8,4),=(-10,14),
∴+2=(-2,10)+2(-8,4)
=(-2,10)+(-16,8)=(-18,18),
所以=3=3(1,8)=(3,24),=2=2(6,3)=(12,6).
设 M(x1,y1),N(x2,y2),则=(x1+3,y1+4)=(3,24),
解得 x1=0,y1=20;
=(x2+3,y2+4)=(12,6),解得 x2=9,y2=2,
所以 M(0,20),N(9,2),=(9,2)-(0,20)=(9,-18).