2011年中考数学一轮复习--第八讲不等式和不等式组

第八讲：不等式和不等式组
知识梳理
知识点1、不等式的概念
重点：掌握不等式的概念
难点：各种不等号的意义
用不等号表示不等关系的式子，叫做不等式．如：21<-x ，3－4≠4－3，0>a ，02≥a 等都是不等式．
五种不等号的读法及意义：
(1)“≠”读作“不等于”，它说明两个量之间的关系是不相等的，但不能明确哪个大哪个小；
(2)“>”读作“大于” ，表示其左边的量比右边的量大；
(3)“<”读作“小于” ，表示其左边的量比右边的量小；
(4)“≥”读作“大于或等于” ，即“不小于” ，表示左边“不小于”右边；
(5)“≤”读作“小于或等于” ，即“不大于” ，表示左边“不大于”右边；
我们可以看出不等号开口所对的数较大，不等号尖口所对的数较小．
例．用不等式表示：①a 大于0_____________；②
是负数
____________；③5与x 的和比x 的3倍小
______________________。

解题思路：注意其不等关系，用符号语言表示，
①0,
x x
+<，③(5)30
+-<知识点2、不等式的解集[来源: x y
a>②0
学科网ZXXK]
重点：掌握不等式的解和解集的概念
难点：区分不等式的解和解集的概念
对于一个含有未知数的不等式，任何一个适合这个不等式的未知数的值，都叫做这个不等式的解．
对于一个含有未知数的不等式，它的所有解的集合叫做这个不等式的解的集合，简称这个不等式的解集．
求不等式的解集的过程，叫做解不等式．
知识3、用数轴表示不等式的方法
重点：掌握用数轴表示不等式的方法
难点：实心点和空心圈的区别
一元一次不等式的解集用数轴表示有以下四种情况，如下图所示：
(1)a
x>如图中A所示：
(2)a
x<如图中B所示：
(3)a
x≥如图中C所示：
(4)a
x≤如图中D所示：
用数轴表示不等式的解集，应记住下面的规律：
大于向右画，小于向左画，有等号(≥，≤)画实心点，无等号(>，<)画空心圈．
知识点4、不等式的基本性质
重点：掌握不等式的基本性质
难点：运用不等式的基本性质解决问题
不等式基本性质1：不等式两边都加上(或减去)同一个数或同一个整式，不等号的方向不变．[来源:学*科*网Z*X*X*K]
不等式基本性质2：不等式两边都乘以(或除以)同一个正数，不等号的方向不变．
不等式基本性质3：不等式两边都乘以(或除以)同一个负数，不等号的方向改变．
例.用不等号填空：若。

解题思路：根据性质155a b ->-，根据性质3 44a b -<-，根据性质2 33
a b >
知识点5、一元一次不等式的概念及解法
重点：一元一次不等式的解法
难点：熟练解一元一次不等式
一般的，不等式中只含有一个未知数，未知数的次数是1，且不等式的两边都是整式，这样的不等式叫做一元一次不等式． 一元一次不等式的解法：
解一元一次不等式的一般步骤：
①去分母；②去括号；③移项；④合并同类项；⑤将x 项的
系数化为1．
注意：解不等式时，上面的五个步骤不一定都能用到，并且不一定按照顺序解，要根据不等式的形式灵活安排求解步骤． 例1.下列不等式中，是一元一次不等式的是（ ）
A ．2x －1＞0
B ．-1＜2
C ．3x -2y ＜-1
D ．y2+3＞5
解题思路：含有一个未知数并且未知数的次数是1，这样的不等式是一元一次不等式，选A
例2.解不等式323125+<-+x x ． 解：去分母得：()()232653+<-+x x ．
去括号得：466153+<-+x x ．
移项得：x x 364615-<--．
合并同类项得：x 35<．
系数化为1，得：3
5>x ．
练习x 为何值时，代数式
的值比代数式的值大。

答案：当x<时 知识点6、一元一次不等式组的概念及解法
重点：一元一次不等式组的解法
难点：熟练解一元一次不等式组
一元一次不等式组的概念：
几个一元一次不等式合在一起，就组成了一个一元一次不等
式组．
几个一元一次不等式的解集的公共部分，叫做由它们所组成的一元一次不等式组的解集
求不等式组的解集的过程，叫做解不等式组．
当任何数x 都不能使不等式同时成立，我们就说这个不等式
组无解或其解为空集．
一元一次不等式组的解法：
①分别求出不等式组中各个不等式的解集；
②利用数轴求出这些不等式的解集的公共部分，即这个不等
式组的解集．
例求不等式组：()()⎪⎪⎩
⎪⎪⎨⎧≥-+<-+<-)3(231)2(125134)1(4352 x x x x x x 的整数解．
解题思路：先分别解每一个不等式，再利用数轴求出不等式
组的解集，最后在不等式组的解集内求出整数解．
解：由(1)得：9->x ，由(2)得：29<x ，由(3)得：52≤x ． 在数轴上表示出不等式(1)，(2)，(3)的解集如下图所示：
则不等式组的解集是：52
9≤<-x ．[来源:学科网ZXXK]
不等式组的整数解是：0,1,2,3,4,5,6,7,8--------．
注意：从上面的例题我们可以概括出求不等式组公共解的一般规律：同大取大，同小取小，一大一小中间找．
练习解不等式组，并把解集在数轴上表示出来。

答案：-2≤x<3 图略
知识点7、一元一次不等式（组）的实际应用题
重点：分析题意，找准不等关系[来源:Z|xx|]
难点：找不等关系，列不等式（组）
例. “五一”黄金周期间，某学校计划组织385名师生租车旅游；现知道出租公司有42座和60座两种客车，42座客车的租金每辆为320元，60座客车的租金每辆为460元，若学校同时租用这两种客车8辆（可以坐不满），而且要比单独租用一种车辆节省租金，请你帮助该学校选择一种最节省的租车方案。

解题思路：单租42座客车：2.942385≈÷故应租10辆。

共需租金320010320=⨯（元）
单租60座客车：4.660385≈÷故应租7辆，
共需租金32207460=⨯（元）设租用42座客车x 辆，则60座的客车租)x 8(-辆由题意得⎩
⎨⎧≤-+≥-+3200)x 8(460x 320385)x 8(60x 42
解之得：18
55x 733≤≤
312044604320=⨯+⨯（元）
当5x =时，租金为：298034605320=⨯+⨯（元）
练习
)x 500(-
由题意得：34000)x 500(80x 50≤-+
解这个不等式，得：200x ≥
（2）设见（1），由题意得
500%92)x 500%(95x %90⨯≥-+
解这个不等式，得：300x ≤
又设购买两种树苗的费用之和为y 元，则
)x 500(80x 50y -+=
即：40000x 30y +-=
由一次函数的增减性知：当300
x 时，所用的购树费用最少，费用是31000元。

[来源:]
最新考题[来源:学。

科。

网]
中考要求及命题趋势
1.不等式，一元一次不等式（组）及其解集的概念。

2.不等式的基本性质，一元一次不等式（组）解法以及解集的数轴表示。

3.解决不等式（组）的应用题，要求学生会将应用题里关于‘已知量’‘未知量’之间的关系用明确的不等式关系表示出来，并注意应用题中字母所表示的实际意义。

2010年的中考将会以填空和选择的方式考查不等式的基本性质和解集概念，解答题是解不等式（组），并把解集在数轴上表示出来。

不等式的应用题还是热点考查内容，考查可能与日常生活相联系，也可能与其他章节内容，如方程、函数及几何内容相结合。

应试对策
解不等式（组）是本讲的重点，而不等式的性质是解不等式的基础，在复习本节时，首先要强化三条性质的应用顺练，切忌不等式两边同乘（除）含字母的代数式（即正负不明的代数式）；其次注意数形结合的方法，即充分利用数轴，关于不等
式（组）的应用题，要通过建模训练，学会找出实际问题中的不等关系，并能在不等式的解集中找出符合题意的答案，还要注意与其他类型的应用题结合起来训练。

考查目标一：一元一次不等式（组）的解法。

例1. 不等式x 3x 2->的解集是（ ）
A. x<2
B. x>2
C. x>1
D. x<1
解：移项，合并同类项，得：3x 3>
系数化为1，得：1x >
例2. （2009年内蒙古包头）解不等式：x 12
1x ≥+-，并把解集表示在数轴上。

解：去分母得：x 221x ≥+-
移项，合并同类项得：1x -≥-
系数化为1，得：1x ≤
解集在数轴上表示为：
评注：熟练掌握不等式的基本性质是正确的解一元一次不等式的基础。

解不等式的一般步骤与解方程的步骤相同。

但要特别注意“不等式两边同乘以（或除以）一个负数时，必须改变不
等号的方向”，这是一个难点和易错点。

例3. （2009年天津市）解不等式组，并在数轴上把解集表示出来。

⎪⎩⎪
⎨⎧-<--≥+-)2(x 8)1x (31)1(x 323x
解：解不等式（1）得：3x ≤
解不等式（2）得：2x ->
∴原不等式的解集为：3x 2≤<-
在数轴上表示如下：
例4. （2009恩施市）若不等式组⎩⎨
⎧>->-0x 2b 2a x 的解集是1x 1<<-， 则=+2006)b a (
⎪⎩
⎪⎨⎧<+>2b x a 2x 1x 1<<- ⎩⎨⎧=-=∴⎪⎩⎪⎨⎧=-=+∴2b 3a ，12
b 12a 1)23()b a (20062006=+-=+∴
⎪⎩⎪⎨⎧+<-≤-②①)1x (42x 121x 解：解不等式①得：3x ≤
解不等式②得：2x ->
3,2,13
x 2不等式组的正整数解是不等式组的解集是∴≤<-∴
例6. 不等式x 8x 25-≤-的负整数解是_________________。

解：移项，合并同类项得：3x ≤-
系数化为1，得，3x -≥
∴原不等式的负整数解是3-，2-，1-
评注：求一元一次不等式（组）的整数解的一般步骤是：先求出一元一次不等式（组）的解集，再确定适合解集范围的整数解、正整数解、非负整数解（自然数解）等特殊解，有时借助于数轴会更直观。

考查目标三：一元一次不等式（组）的实际应用题
例7（昆明中考）我市某中学要印制本校高中招生的录取通知书，有两个印刷厂前来联系制作业务，甲厂的优惠条件是：按每份定
价1．5元的八折收费，另收900元制版费；乙厂的优惠条件是：每份定价1．5元的价格不变，而制版费900元则六折优惠．且甲乙两厂都规定：一次印刷数量至少是500份．
(1)分别求两个印刷厂收费y(元)与印刷数量x(份)的函数关系，并指出自变量x的取值范围．
(2)如何根据印刷的数量选择比较合算的方案?如果这个中学要印制2000份录取通知书。

那么应当选择哪一个厂?需要多少费用?
解题思路：本题主要考查一次函数、不等式等知识，考查运算能力及分析和解决实际问题
的能力．
解：(1)y甲=1．2x+900(元)x≥500(份)，且x是整数
y乙=1．5x+540(元) x≥500(份)，且x是整数
(2)
若y甲>y乙，即1．2x+900>1．5x+540∴x<1200
若y甲=y乙，即 1．2x+900=1．5x+540∴x=1200
若y甲<y乙，即1．2x+900<1．5x+540∴x>1200
当x=2000时，y甲=3300
答：当500≤x<1200份时，选择乙厂比较合算；
当x=1200份时，两个厂的收费相同；
当x>1200份时，选择甲厂比较合算；
所以要印2000份录取通知书，应选择甲厂，费用是3300元
过关测试
一、选择题：
1．下列不等式中，是一元一次不等式的是（）A．2x－1＞0 B．-1＜2 C．3x-2y＜
-1 D．y2+3＞5
2．不等式的解集是（）
A．x≤ B．x
≥ C．x≤ D．x ≥
3．一元一次不等式组的解集是（）A．-2＜x＜3 B．-3＜x＜2 C．x＜
-3 D．x＜2
4．如图1，在数轴上所表示的是哪一个不等式的解集
（）
A． B．C．x+1≥-1 D．-2x ＞4
5．如果两个不等式的解集相同，那么这两个不等式叫做同解不等式。

下列两个不等式是同解不等式的是）
A．与
B．与
C．与
D．与
6．解下列不等式组，结果正确的是( )
A．不等式组的解集是x＞3 B．不等式组
的解集是-3＜x＜-2
C．不等式组的解集是x＜-1 D．不等式组的解集是-4＜x＜2
7．若，则a只能是（）
A．a≤-1 B．a＜
0 C．a≥-1 D．a≤0
8．关于x的方程的解是非负数，那么a满足的条件是( )
A．a＞
3 B．a≤3 C．a＜
3 D．a≥3
9．如果最简二次根式8
3-
17-是同类根式，那么使
a与a2
4-
x
a2
不等式组⎩
⎨⎧-≤->+x x x 284133
不等式组????⎩
⎨⎧<+≥+3201x x
函数y??2-x
二、填空题 1．不等式组
的解集是__________________。

2．不等式的正整数解是_______________________。

3．的最小值是a ，
的最大值是b ，则 4．生产某种产品，原需a 小时，现在由于提高了工效，可以节约时间8%至15%，若现在所需要的时间为b 小时，则
____________< b <_____________。

5．编出解集为的一元一次不等式为
______________________。

6．若不等式组的解集是空集，则a 、b 的大小关系是_______________。

三、解答题
1．已知关于x、y的方程组。

（1）求这个方程组的解；
（2）当m取何值时，这个方程组的解中，x大于1，y不小于－1。

2．已知方程组的解为负数，求k的取值范围．
3．某种植物适宜生长在温度为18℃～20℃的山区，已知山区海拔每升高100米，气温下降0。

5℃，现在测出山脚下的平均气温为22℃，问该植物种在山的哪一部分为宜？（假设山脚海拔为0米）
4．某园林的门票每张10元，一次使用，考虑到人们的不同需求，也为了吸引更多的游客，该园林除保留原来的售票方法外，还推出了一种“购买个人年票”的售票方法（个人年票从购买日起，可供持票者使用一年）。

年票分A、B、C三类：A类年票每张120元，持票者进入园林时，无需再用门票；B类年票每张60元，持票者进入该园林时，需再购买门票，每次2元；C类年票每张40元，持票者进入该园林时，需再购买门票，每次3元。

(1)如果你只选择一种购买门票的方式，并且你计划在一年中用80元花在该园林的门票上，试通过计算，找出可进入该园林的次数最多的购票方式。

(2)求一年中进入该园林至少超过多少次时，购买A类年票比较合算。

5. 王女士看中的商品甲乙两商场均有售且标价相同，但两商场采用的促销方式不同，
甲商场：一次性购物超过100元，超过的部分八折优惠；
乙商场：一次性购物超过50元，超过的部分九折优惠；
那么她在甲商场购物超过多少元就可比乙商场购物优惠？
6. 将一箱苹果分给若干小朋友，若每位小朋友分5个苹果，则还剩12个苹果；若每位小朋友分8个苹果，则有一个小朋友分不到8个苹果，求这箱苹果的个数与小朋友的人数。

[来源:学科网]
参考答案
一、ABCCADBDAACB[来源:学科网]
二、1．-2≤x<1；2．1，2，3；3．-4；4．a-8%a<b<a-15%a；5．x-1≥1；6．a<b；
三、1．当m取值在1<m≤5时；2．k<；3．800米；
4．提示：通过列三种票的函数关系，再通过不等式解答。

5. 解：设购买价格为x 元的商品，甲商场优惠
由题意，得9.0)50x (508.0)100x (100⨯-+<⨯-+
解之得：150x >
答：王女士在甲商场购买至少150元的商品就可比乙商场购物优惠。

6. 解：设共有x 个小朋友，则苹果共有)12x 5(+个，依题意得：8)12x 5(x 80<+-< 解这个不等式组，得：320x 4<< ∵x 只能为正整数，∴x 只能取5，6
当x=5时，苹果有37125512x 5=+⨯=+（个）
当x=6时，苹果有42126512x 5=+⨯=+（个）
答：当有5个小朋友时，苹果有37个；当有6个小朋友时，苹果有42个。