安徽省六安市霍邱县第一中学高一数学上册期末试题

安徽省六安市霍邱县第一中学高一数学上册期末试题
一、选择题
1．已知集合U ={-2，-1，0，1，2}，A ={0，1，2}，则U
A =（ ）
A ．{}2,1,0--
B ．{}2,1--
C ．{0,1，2}
D ．{}1,2 2．函数()ln 4f x x x =+-的定义域为（ ） A ．(),4-∞ B ．(],4-∞
C ．[]0,4
D ．(]0,4
3．如图所示，扇形OAB 中，弦AB 的长等于半径，则弦AB 所对的圆心角的弧度数α满足
（ ）
A ．1α>
B ．1α=
C ．1α<
D ．以上都不是
4．已知角α的顶点与直角坐标系的原点重合，始边与x 轴的非负半轴重合，且
4
cos 5
α=-．若角α的终边上有一点(),3P x ，则x 的值为（ ）
A ．4-
B ．4
C ．3-
D ．3
5．已知函数()22,0sin ,02x x a x f x x x π⎧++<⎪
=⎨>⎪⎩，若函数()()()F x f x f x =--在[)
(]2,00,2-上有四
个不同的零点，则实数a 的取值范围为（ ） A ．()0,2
B ．(]0,1
C ．()2,1-
D ．(]1,2-
6．有一个非常有趣的数列1⎧⎫
⎨⎬⎩⎭
n 叫做调和数列，此数列的前n 项和已经被研究了几百年，但
是迄今为止仍然没有得到它的求和公式，只是得到它的近似公式：当n 很大时111
1ln 23n n
γ+
++⋅⋅⋅+≈+，其中γ称为欧拉—马歇罗尼常数，0.577215664901γ≈⋅⋅⋅至今为止都还不确定γ是有理数还是无理数．由于上式在n 很大时才成立，故当n 较小时计算出的结果与实际值之间是存在一定的误差的，已知ln 20.693≈，用上式估算出的ln 4与实际的ln 4的误差绝对值近似为（ ）
A ．0.03
B ．0.12
C ．0.17
D ．0.21
7．定义在[]22-，
上的函数()()22?lg 1f x x x =++，则满足()()21f x f x <-的x 的取值范围是（ ） A ．12,3⎡
⎫-⎪⎢⎣⎭
B ．1,13⎛⎫ ⎪⎝⎭
C ．113,1,232⎡⎫⎛⎤
-⋃⎪ ⎢⎥⎣⎭⎝⎦
D ．()1,1,3∞∞⎛
⎫-⋃+ ⎪⎝
⎭
8．函数()()
2
ax b
f x x c +=
+的图象如图所示，则下列结论成立的是（ ）
A ．0a >，0b >，0c <
B ．0a <，0b >，0c >
C ．0a >，0b >，0c >
D ．0a <，0b <，0c >
二、填空题
9．下列函数中，在其定义域内既是奇函数又是减函数的是（ ） A ．12x
y ⎛⎫
= ⎪⎝⎭
B ．2y x =-
C ．1y x
=
D ．3y x =-
10．下列说法中正确的是（ ） A ．函数2
()ln(1)f x x x
=+-
只有一个零点，且该零点在区间(0,1)上 B ．若()f x 是定义在R 上的奇函数，()()11f x f x -=+，且当(1,0)x ∈-时，22()log f x x =，则322f ⎛⎫= ⎪⎝⎭
C ．已知()f x 的定义域为R ，且(1)f x -为奇函数，(1)f x +为偶函数，则(7)f x +一定是奇函数
D ．实数(1,0)a ∈-是命题“2,210x R ax ax ∃∈+-”为假命题的充分不必要条件 11．已知11
0a b
<<，则下列不等式正确的是（ ） A ．
11
a b ab
<+ B ．22
ln ln a b >
C ．
11b b
a a ->- D ．2a b
b a
+>
12．双曲函数是一类与常见的三角函数类似的函数.最基本的双曲函数是双曲正弦函数
2x x e e shx --=
和双曲余弦函数2x x
e e chx -+=，其中e 是自然对数的底数.则下列结论正确的是（ ）
A ．222ch x ch x sh x =+
B ．222sh x ch x sh x =-
C ．()sh x y shxchy chxshy +=+
D ．()ch x y chxchy shxshy +=+
三、多选题
13．已知集合{}{}1,2,2,3A m B =-=，且{}2A B ⋂=，则实数m 的值为____ 14．求值：()
2
1
lg 2
lg 2lg 5lg 22
+⋅-=_________．
15．已知a ，b 均为正实数，且1a b +=，则231
a a
b +的最小值为__________，此时a 的值为
__________.
16．设0a >，函数()f x x a x a b =++
--恰有三个不同的零点1x ，2x ，b ，则实数b
的值为________.
四、解答题
17．已知函数()()()34f x x m x m =-++. （1）若1m =，求不等式()12f x >-的解集；
（2）记不等式()0f x ≤的解集为A ，若4A -∉，求m 的取值范围． 18．函数()sin()f x A x ωϕ=+（其中0,0,||2
A π
ωϕ>><
）的图象如图所示．
（Ⅰ）求函数()f x 的解析式； （Ⅱ）将函数()y f x =的图象向右平移
3
π
个单位后，得到函数()y g x =的图象．当0,2x π⎡⎤
∈⎢⎥⎣⎦
时，求()y g x =的最大值和单调递减区间．
19．已知函数()()
()2log 41x
f x kx k =+-∈R 为偶函数．
（1）求k 的值； （2）设()()
()()212
2,2cos 3f x f x g x m h x x π+⎛
⎫=-⋅=+ ⎪⎝
⎭，若[]11,0x ∀∈-，[]20,x π∀∈总有
()()12g x h x ，求m 的取值范围．
20．已知函数()log a f x x =（0a >，且1a ≠），且()31f =. （1）求a 的值，并写出函数()f x 的定义域；
（2）设函数()()()11g x f x f x =+--，试判断()g x 的奇偶性，并说明理由；
（3）若不等式()()
42x x
f t f t ⋅≥-对任意[]1,2x ∈恒成立，求实数t 的取值范围.
21．已知函数()f x x x a =-为R 上的奇函数． （1）求实数a 的值；
（2）若不等式()
()2
sin 2cos 0f x f t x +-≥对任意π7π,36x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦
恒成立，求实数t 的最小值．
22．已知函数2()24f x x ax =-+，()g x = （Ⅰ）求函数()lg(tan 1)(12cos )h x x g x =-+-的定义域；
（Ⅱ）若函数()2sin 23m x x π⎛
⎫=- ⎪⎝⎭，,42x ππ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦
，求函数()[()] n x f m x =的最小值；（结果
用含a 的式子表示）
（Ⅲ）当0a =时()4,0,
()()4,0,f x x F x f x x -≥⎧=⎨-+<⎩
，是否存在实数b ，对于任意x ∈R ，不等式
()2221(32)2(1)4F bx x F bx b x bx -++->+--恒成立，若存在，求实数b 的取值范围；若
不存在，请说明理由．
【参考答案】
一、选择题 1．B 【分析】
利用集合的补集运算即可. 【详解】
由U ={-2，-1，0，1，2}，A ={0，1，2}，
得
{}U
2,1A =--.
故选：B. 【点睛】
本题主要考查了集合的补集运算.属于容易题. 2．D 【分析】
根据真数大于0，偶次根式被开方数大于等于0，即可求得答案. 【详解】
由题意得0
40x x >⎧⎨-≥⎩，解得04x <≤，所以定义域为(]0,4.
故选：D 3．A 【分析】
由弦AB 的长等于半径,可知OAB 是正三角形,进而可求得角α的弧度数. 【详解】
由题意,AB OA OB ==,故OAB 是正三角形,即π
13
α=>. 故选:A. 【点睛】
本题考查圆心角,考查了扇形及正三角形的性质,属于基础题. 4．A 【分析】
利用任意角的三角函数的定义列方程求解即可 【详解】
4
5=-，且0x <， 得216x =，所以4x =-或4x =（舍去）， 故选：A 5．A 【分析】
根据该分段函数的性质，由函数零点问题转化为函数图像交点问题，由
()()()F x f x f x =--的奇函数的性质，转化为(]0,2x ∈时2in 22
s x x x a π
=-+有两解，结
合函数图像即可得解. 【详解】
由()()()[]()()()F x f x f x f x f x F x -=--=---=-，
所以()F x 为奇函数，根据对称性可得(]0,2x ∈时有两个零点即可， 令()()()0F x f x f x =--=， 可得()()f x f x =-， 若(]0,2x ∈则[)2,0x -∈-， 即2in
22
s x x x a π
=-+有两解，
结合对称性可得：
如图所示可得：11
0a a -+<⎧⎨>⎩，
所以02a <<. 故选：A 6．B 【分析】
根据题中所给的近似公式，结合对数的运算性质进行求解即可. 【详解】
11111111125
1ln 1ln 4ln 412323423412n n γγγγ+++⋅⋅⋅+≈+⇒+++≈+⇒≈+++-=-，而2ln 4ln 22ln 2 1.386==≈，ln 4与实际的ln 4的误差绝对值近似为：
25
0.577 1.3860.1212
--=， 故选：B 7．C 【分析】
根据偶函数的性质和函数在[0,2]上的单调性，将要解不等式等价转化为不等式求解即得. 【详解】
()()22lg 1f x x x =++为[]2,2-上的偶函数，且在[]0,2上为单调递增，
∴()()21f x f x <-等价于212,x x <-≤即()
()2112122x x x ⎧<-⋯⎪⎨-≤⋯⎪⎩，
由（1）得()2
221x x <-,即23410x x -+>,解得13x <或1x >,
由（2）得2212x -≤-≤，解得13
22x -≤≤,
∴1123x -≤<或3
12
x <≤,
即不等式的解集为：113,1,232⎡⎫⎛⎤-⋃⎪ ⎢⎥⎣⎭⎝⎦
,
故选：C. 8．B 【分析】
利用定义域判断c 的符号，根据()0f 判断b 的符号，根据()0,x ∈+∞时函数值有负数确定
a 的符合.
【详解】
()f x 的定义域为{}|x x c ≠-，由图可知0c -<，所以0c >， 由图象可知()2
00b
f c =
>，则0b >， 由图可知，()0,x ∈+∞时函数值有负数，故0a <， 所以B 选项符合. 故选：B
二、填空题
9．BD 【分析】
根据函数奇偶性与单调性对选项逐一分析判断.
A ，函数12x
y ⎛⎫
= ⎪⎝⎭
是非奇非偶函数，故排除A ；B ，函数2y x =-是R 上的奇函数也是减函
数，故B 正确；C ，函数1y x
=在定义域上是奇函数，但在(),0-∞和(0,)+∞上是减函数，在定义域上不具有单调性，故排除C ；D ，函数3y x =-是R 上的奇函数也是减函数，故D 正确. 故选：BD 10．BCD 【分析】
利用零点存在性定理可得函数2
()ln(1)f x x x
=+-在()0,∞+上的零点在区间(1,2)上，即可判断A ，由131222f f f
⎛⎫⎛⎫
⎛⎫
==-- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
⎝⎭
可判断B ，由(1)f x -为奇函数，(1)f x +为偶函数可推出函数()f x 的周期为8，可判断C ，求出命题“2,210x R ax ax ∃∈+-”为假命题的充要条件可判断D. 【详解】
函数2
()ln(1)f x x x
=+-
在()0,∞+上单调递增，又(1)ln220,(2)ln310f f =-<=->， 所以该零点在区间(1,2)上，故A 错误；
由()()11f x f x -=+得，1113112222f f f f ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫
-=+⇒= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭，
又()f x 是定义在R 上的奇函数，所以1122f f
⎛⎫
⎛⎫=-- ⎪ ⎪⎝⎭
⎝⎭
， 当(1,0)x ∈-时，22()log f x x =，所以211log 224f ⎛⎫
-==- ⎪⎝⎭，
故11222f f
⎛⎫
⎛⎫
=--= ⎪ ⎪⎝⎭
⎝⎭
，所以322f ⎛⎫
= ⎪⎝⎭
，故B 正确； 由(1)f x -为奇函数，得(1)(1)()(2)f x f x f x f x -=---⇒=---， 由(1)f x +为偶函数，得(1)(1)()(2)f x f x f x f x +=-+⇒=-+， 所以(2)(2)()(4)f x f x f x f x ---=-+⇒-=+()(8)f x f x ⇒=+，
所以函数()f x 的周期为8，故(1)(7)f x f x -=+，所以(7)f x +一定是奇函数，故C 正确； 命题“2,210x ax ax ∃∈+-R ”为假命题，则“2,210x ax ax ∀∈+-<R ”为真命题， 当0a =时，“,10x ∀∈-<R ”为真命题， 当0a <时，由2(2)40a a ∆=+<可得10a -<<
所以命题“2,210x ax ax ∃∈+-R ”为假命题的充要条件是10a -<≤
故实数(1,0)a ∈-是命题“2,210x ax ax ∃∈+-R ”为假命题的充分不必要条件，故D 正确.
【点睛】
结论点睛：若()f x 关于,x a x b ==对称，则2T a b =-；若()f x 关于()(),0,,0a b 对称，则
2T a b =-；若()f x 关于(),,0x a b =对称，则4T a b =-.
11．AD 【分析】 由
11
0a b
<<，可得0b a <<，然后利用不等式的性质逐个分析判断即可 【详解】 解：因为
11
0a b
<<，所以0b a <<， 对于A ，因为0b a <<，所以0ab >，0a b +<，所以
11
a b ab
<+，所以A 正确； 对于B ，因为0b a <<，所以220a b <<，因为ln y x =在(0,)+∞上为增函数，所以22ln ln a b <，所以B 错误；
对于C ，因为0b a <<，所以(1)0a a ->，若
11b b a a ->-成立，则1(1)(1)1b b
a a a a a a
--⋅>-⋅-，所以(1)(1)a b b a ->-，所以ab a ab b ->-，则a b ->-，所以a b <，这与0b a <<相矛盾，所以C 错误；
对于D ，因为0b a <<，所以
0,0a b b a
>>，所以2a b b a +≥，因为a
b ，所以等号不
成立，所以2a b
b a
+>，所以D 正确，
故选：AD 12．ACD 【分析】
利用指数的运算以及双曲正弦、余弦函数的定义可判断各选项的正误. 【详解】 对于A 选项，
()()2
2
22222
2
22224x x x x
x x x x e e e e e e e e ch x sh x ----++++-⎛⎫⎛⎫+-+=+=
⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
2222x x
e e ch x -+==，A 选项正确； 对于B 选项，
()()2
2
22222
2
2212224x x x x
x x x x e e e e e e e e ch x sh x sh x ----++-+-⎛⎫⎛⎫+--=-=
=≠ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
，B 选项错误； 对于C 选项，
()()()()
4
x
x y y x x y y e e e e e e e e shxchy chxshy -----+++-+=
()()
()4
2
x y
x y
y x
x y
x y
x y
y x x y x y x y
e e
e
e
e
e
e e e e sh x y +----+----+--+--+-+--=
==+，C 选项正
确； 对于D 选项，
()()()()
4
x
x y y x x y y e
e e e e e e e chxchy shxshy ----+++--+=()()
()4
2
x y
x y y x x y x y x y y x x y x y x y e e e e e e e e e e ch x y +----+----+--++++--++=
==+，D 选项正确.
故选：ACD.
三、多选题
13．4 【分析】
利用交集定义直接求解． 【详解】
解：∵集合A ＝{1，m ﹣2}，B ＝{2，3}，且A ∩B ＝{2}， ∴m ﹣2＝2，解得m ＝4， ∴实数m 的值为4． 故答案为4． 【点睛】
本题考查实数值的求法，考查交集定义等基础知识，考查运算求解能力，是基础题． 14．0 【分析】
根据对数的运算法则化简即可. 【详解】
(2
1
2
+
1
)2=
1
)2=
11
2()22
=-
=
故答案为：0 【点睛】
本题主要考查了对数的运算，考查了运算能力，属于中档题.
15．13
【分析】
首先由条件变形为()2
22
331a a b a ab ab
+++=，化简后利用基本不等式求最小值. 【详解】
1a b +=，()2
1a b ∴+=
所以()2
2222
3314242a a b a a b ab a b ab ab ab b a
+++++===++，
44a b b a +≥=， 当4a b b a =时，等号成立，即1
20,0
a b b a a b +=⎧⎪=⎨⎪>>⎩，解得：12
,33a b ==， 所以231426a ab
+≥+=，
即231
a ab
+的最小值为6，此时13a =.
故答案为：6；1
3
【点睛】
本题考查基本不等式求最值，重点考查转化思想，计算能力，属于基础题型，本题的关键是利用()2
1a b =+变形，化简.
16．
165
【分析】
令()g x =
()g x 为偶函数，()f x 也为偶函数，再根据函数()f x 恰有
三个不同的零点1x ，2x
，b ，则()00f = ，即()0g b a ==>
，再由()0f b
=，得到
()g
b =
. 【详解】
令()g x =
因为()()g x g x -=
=，
所以()g x 为偶函数，()f x 也为偶函数，
因为函数()f x b 恰有三个不同的零点1x ，2x ，b ，
所以()00f = ，即()0g b a =>，
又()0f b b ==，所以()g b b ==
=，两边平方得：2b a =，
所以
2a =，即2+=
两边平方得85a ，
令t =254120t t +-=，
解得65
t =65，
解得64
25
a =
，
所以165
b =， 故答案为：165
【点睛】
关键点点睛：若函数()f x 是偶函数，零点关于原点对称，且有奇数个零点时，则()0f x =是突破本题的关键,
四、解答题
17．（1）{1x x >或}3x <-；（2）403m m ⎧⎫
-<<⎨⎬⎩⎭
．
【分析】
（1）当1m =时，代入整理得2230x x +->，解之可得解集． （2）由题意得() 40f ->，解之可求得m 的取值范围. 【详解】
解：（1）当1m =时，()
12f x >-，即（()()35120x x -++>，整理得2230x x +->，解得 >1x 或3x <-，
所以()12f x >-的解集为{} 13x x x ><-或．
（2）因为4A -∉，所以() 40f ->，即()430m m -->．
所以()340 m m +<，解得4
03
m -<<．
即m 的取值范围为403m m ⎧⎫
-<<⎨⎬⎩⎭
．
18．（1）2n 2)3(si f x x π⎛
⎫=+ ⎪⎝⎭；（2）()max 2g x =；单调递减区间为5,122ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦
【分析】
（1）由三角函数的图象可得2A =，(
)0f 7212712T T π
π
⎧<⎪⎪⎨⎪>⎪⎩
，求出3π
ϕ=，2ω=，即可求解.
（2）根据三角函数图象的平移变换原则求出()2sin 23g x x π⎛
⎫=- ⎪⎝
⎭，结合三角函数的性质
即可求解. 【详解】
（1）由三角函数的图象可知：2A =，(
)02sin f ϕ=
即sin ϕ=2πϕ<，所以3πϕ=，
772sin 212
123f π
ππω⎛⎫⎛
⎫=⨯+=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝
⎭， 所以
72,1232k k Z ππππ+=-∈，解得2410
77
k ω=-，k Z ∈ 又7212712T T π
π⎧<⎪⎪⎨⎪>⎪⎩，即276
2712ππωππω
⎧<⎪⎪⎨⎪>⎪⎩ ，解得122477ω<<，
即
122410247777k <-<， 解得11171212
k <<，所以1k =， 解得2ω=，所以2n 2)3(si f x x π⎛
⎫=+ ⎪⎝
⎭.
（2）函数()y f x =的图象向右平移
3
π
个单位后， 可得()2sin 22sin 2333x x g x πππ⎡⎤⎛⎫⎛
⎫=-+=- ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦，
当02
x π≤≤时，则223
3
3
x π
π
π
-
≤-
≤
， 当23
2
x π
π
-=
时，即512
x π
=时，()max 2g x =， 由
222
33x π
π
π≤-
≤
，解得
5122
x ππ
≤≤， 所以()y g x =的单调递减区间为5,122ππ⎡⎤
⎢⎥
⎣⎦
19．（1）1k =；（2）1,4⎛
⎤-∞ ⎥⎝
⎦．
【分析】
（1）由于函数为偶函数，所以可得()()f x f x -=，从而可求出k 的值； （2）由题意可得min max ()()g x h x ，利用三角函数的性质可求出
max () 1.h x =()()()2
222222x x x x g x m --=+-+-，令[]22,1,0x x t x -=+∈-，则
()25()22,2,2g x h t t mt t ⎡⎤
==--∈⎢⎥⎣⎦
，然后讨论对称轴与区间的关系()g x 的最小值，从而可
求出结果 【详解】
（1）函数()()
()2log 41x
f x kx k =+-∈R 为偶函数，()()f x f x ∴-=恒成立，
即(
)(
)
222241
log 41log 412log log 4241
x x
x
x x kx kx kx x --+++=+-⇒===+恒成立，
1.k ∴=
（2）[][]121,0,0,x x π∀∈-∀∈总有()()12g x h x ，所以min max ()()g x h x ．
[]0,x π∈，所以4,333x π
ππ⎡⎤
+∈⎢⎥⎣⎦
， 1
1cos 32
x π⎛
⎫∴-+ ⎪
⎝
⎭，所以()21h x -，所以max () 1.h x = 又()(
)()
22241
log 41log log 222
x x
x x x f x x -+=+-==+
()()()
()
2
2222222222222x x x x x x
x x g x m m ----∴=+-+=+-+-
令[]22,1,0x x
t x -=+∈-，由（1）可知t 在[]1,0-上单调递减，
所以52,2t ⎡⎤
∈⎢⎥⎣⎦
，
设()2
5()22,2,2g x h t t mt t ⎡⎤==--∈⎢⎥⎣⎦
，对称轴为t m =，
当(),2m ∈-∞时，当2t =时，min 42y m =-+，所以421m -+，解得14
m
； 当52,2m ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦
时，当t m =时，2
min 2y m =--，所以221m --，此不等式无解；
当5,2m ⎛⎫
∈+∞ ⎪⎝⎭
时，当52t =时，min 1754y m =-+，所以1751,4m -+
此不等式无解； 综上所述，m 的取值范围为1,4⎛
⎤-∞ ⎥⎝
⎦．
20．（1）3a =；0,；（2）奇函数；答案见解析；（3）2,25t ⎡⎫
∈⎪⎢⎣⎭
.
【分析】
（1）解方程()3log 31a f ==即得函数的解析式和定义域；
（2）先求出函数()g x 的定义域，再利用奇函数的定义判断函数的奇偶性；
（3）等价于21
14122x x x x
t ≥=++，令122
x
x y =+，利用函数的单调性求函数的最小值即得解. 【详解】
（1）()3log 31a f ==，3a =；()()3log 0f x x x =>
（2）()()()11g x f x f x =+--∴10
10x x +>⎧⎨
->⎩
∴11x -<< ()()()()11g x f x f x g x -=--+=-∴()g x 为奇函数；
（3）()3log f x x =∴()f x 是单调递增函数
()()42x x f t f t ⋅≥-∴420x x
t t ⋅≥->∴()
412x x t +≥∴21
14122x x x x
t ≥=++
令1
22x
x
y =+
，[]1,2x ∈时该函数为增函数， ∴min
15222
y =+=∴12
552
t ≥=
又∵20x t ->∴()
min
2
2x
t <=.
综上2,25t ⎡⎫
∈⎪⎢⎣⎭
.
【点睛】
本题主要考查函数的定义域的求法，考查函数的奇偶性的判定，考查不等式的恒成立问题和函数最值的求法，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平. 21．（1）0a =；（2）1
4
．
【分析】
（1）由奇函数得到()x x a x x a -⋅--=-⋅-，再由多项式相等可得a ；
（2）由()f x 是奇函数和已知得到()
()2
sin 2cos f x f x t ≥-，再利用()f x 是R 上的单调增
函数得到2sin 2cos x x t ≥-对任意π7π,36x ⎡⎤
∈⎢⎥⎣⎦恒成立．利用参数分离得22cos sin t x x ≥-对
任意π7π,36x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦恒成立，再求22cos sin x x -，π7π,36x ⎡⎤
∈⎢⎥⎣⎦
上最大值可得答案．
【详解】
（1）因为函数()f x x x a =-为R 上的奇函数， 所以()()f x f x -=-对任意x ∈R 成立， 即()x x a x x a -⋅--=-⋅-对任意x ∈R 成立， 所以--=-x a x a ，所以0a =．
（2）由()
()2sin 2cos 0f x f t x +-≥得()
()2
sin 2cos f x f t x ≥--，
因为函数()f x 为R 上的奇函数， 所以()()2
sin 2cos f x f x t ≥-．
由（1）得，()22,0,
,0,x x f x x x x x ⎧≥==⎨-<⎩
是R 上的单调增函数，
故2sin 2cos x x t ≥-对任意π7π,36x ⎡⎤
∈⎢⎥⎣⎦恒成立．
所以22cos sin t x x ≥-对任意π7π,36x ⎡⎤
∈⎢⎥⎣⎦
恒成立．
因为()2
222cos sin cos 2cos 1cos 12x x x x x -=+-=+-， 令cos m x =，由π7π,36x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，得1cos 1,2x ⎡⎤
∈-⎢⎥⎣⎦，即11,2m ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦．
所以()2
12y m =+-的最大值为14，故14t ≥，
即t 的最小值为1
4
．
【点睛】
本题考查了函数的性质，不等式恒成立的问题，第二问的关键点是根据函数的为单调递增函数，得到2sin 2cos x x t ≥-，再利用参数分离后求22cos sin x x -π7π,36x ⎡⎤
∈⎢⎥⎣⎦
的最大值，考
查了学生分析问题、解决问题的能力.
22．（Ⅰ）532,22,23242k k k k ππππππππ⎡
⎫⎛⎫++⋃++⎪ ⎪⎢⎣⎭⎝⎭
， k Z ∈；（Ⅱ）
2min
52(1),
()4(12),84(2),a a n x a a a a -≤⎧⎪
=-<<⎨⎪-≥⎩
；（Ⅲ）不存在，理由见解析. 【分析】
（Ⅰ）根据函数解析式，得到tan 10,
12cos 0,x x ->⎧⎨-≥⎩由三角函数性质，求解不等式，即可得出定义
域；
（Ⅱ）先根据正弦型函数的性质，得到1()2m x ≤≤，令()t m x =，
2()()24n x f t t at ==-+，讨论1a ≤，2a ≥，12a <<，结合二次函数的性质，即可求出结
果；
（Ⅲ）当0a =时，先得到()F x 的解析式，推出()F x 在R 上单调递增且为奇函数，结合题
中条件，得到对于任意x ∈R ，不等式()22
2121(23)23F bx x bx x F bx bx -++-+>-+-恒成
立．
令()()G x F x x =+，根据函数单调性，推出22(1)40bx b x -++>在R 上恒成立，讨论
0b <，0b >两种情况，结合二次函数的性质，分别求解，即可得出结果.
【详解】
（Ⅰ）根据题意，得tan 10,12cos 0,x x ->⎧⎨-≥⎩即,42
522,
33k x k k x k ππππππππ⎧+<<+⎪⎪⎨
⎪+≤≤+⎪⎩
k Z ∈ ∴223
2
k x k π
π
ππ+
≤<+
，k Z ∈或532242
k x k ππ
ππ+
<<+，k Z ∈ ∴函数()h x 的定义域为532,22,23242k k k k ππππππππ⎡
⎫⎛⎫
++⋃+
+⎪ ⎪⎢⎣
⎭⎝⎭
，k Z ∈． （Ⅱ）∵42ππx ≤≤，∴22
x ππ≤≤，∴22633x πππ
≤-≤， ∴
1sin 2123x π⎛⎫≤-≤ ⎪⎝⎭，∴12sin 223x π⎛
⎫≤-≤ ⎪⎝
⎭，即1()2m x ≤≤． 令()t m x =，则[1,2]t ∈，2()()24n x f t t at ==-+，[1,2]t ∈． ∵函数()f x 的图像关于直线x a =对称，
（1）当1a ≤时，()f t 在[1,2]上单调递增，∴min ()(1)52f t f a ==-． （2）当2a ≥时，()f t 在[1,2]上单调递减，∴min ()(2)84f t f a ==-．
（3）当12a <<时，2
min ()()4f t f a a ==-．
∴函数[]()()n x f m x =的最小值2min
52(1),()4(12),84(2),a a n x a a a a -≤⎧⎪
=-<<⎨⎪-≥⎩
．
（Ⅲ）∵22
,0,
(),0,x x F x x x ⎧≥=⎨-<⎩
∴()F x 在R 上单调递增且为奇函数． 又∵对于任意x ∈R ，不等式()
22
21(32)2(1)4F bx x F bx b x bx -++->+--恒成立．
∴对于任意x ∈R ，不等式()22
2121(23)23F bx x bx x F bx bx -++-+>-+-恒成立．
令()()G x F x x =+，则()G x 在R 上单调递增，
又∵()
2
21(23)G bx x G bx -+>-，
∴对于任意x ∈R ，不等式22123bx x bx -+>-在R 上恒成立， 即22(1)40bx b x -++>在R 上恒成立． 当0b <时，不合题意．当0b =时，不合题意．
当0b >时，则20,4(1)160,b b b >⎧⎨+-<⎩即2
0,210,b b b >⎧
⎨-+<⎩不合题意． 综上所述，不存在符合条件的实数b ，使得对于任意x ∈R ，
不等式()
22
21(32)2(1)4F bx x F bx b x bx -++->+--恒成立．
【点睛】 关键点点睛：
求解本题第三问的关键在于先由题中条件，判断()F x 的单调性和奇偶性，将题中所给条件转化为不等式22123bx x bx -+>-在R 上恒成立，结合二次函数的性质，即可求解.。