2011届高三数学精品复习之(23)概率与统计

2011届高三数学精品复习之概率与统计
1．离散型随机变量ξ取每一个值x i （i =1，2，...）的概率为()i i P x p ξ==，则P 1+P 2+ (1)
=ξE +11p x +22p x …++n n p x … 为ξ的数学期望，期望是反映随机变量“均值”的量，
b aE b a E +=+ξξ)(；求离散型随机变量ξ的期望的基本步骤：①理解ξ的意义，写出ξ可能取的全部值；②求ξ取各个值的概率，写出分布列；③根据分布列，由期望的定义求出E
[举例]设b 和c 分别是先后抛掷一枚骰子得到的点数，用随机变量ξ表示方程20x bx c ++=实根的个数（重根按一个计）．
（Ⅰ）求方程20x bx c ++=有实根的概率；（Ⅱ）求ξ的分布列和数学期望；
解析：（Ⅰ）由题意知：设基本事件空间为Ω，记“方程20x bx c ++=没有实根”为事件A ，“方程20x bx c ++=有且仅有一个实根”为事件B ，“方程20x bx c ++=有两个相异实数”为事件C ，则{}
()126b c b c Ω==，，，，…，，Ω是的基本事件总数为36个， {
}2()40126A b c b c b c =-<=，，，，，…，，A 中的基本事件总数为17个； {}2()40126B b c b
c b c =-==，，，，，…，，B 中的基本事件总数为2个； {}2()40126C b c b c b c =->=，，，，，…，，C 中的基本事件总数为17个；
又因为B C ，是互斥事件，故所求概率21719()()363636P P B B C =+=
+=． （Ⅱ）由题意，ξ的可能取值为012，，，则
{}17036P ξ==，{}1118P ξ==，{}17236
P ξ==， 故ξ的分布列为：
所以ξ的数学期望0121361836
E ξ=⨯+⨯+⨯=。

[巩固]某商场经销某商品，根据以往资料统计，顾客采用的付款期数ξ的分布列为
商场经销一件该商品，采用1期付款，其利润为200元；分2期或3期付款，其利润为250元；分4期或5期付款，其利润为300元．η表示经销一件该商品的利润．
（Ⅰ）求事件A ：“购买该商品的3位顾客中，至少有1位采用1期付款”的概率()P A ； （Ⅱ）求η的分布列及期望E η．（07高考全国卷（Ⅰ）理18）
2．如果在一次试验中某事件发生的概率是P ，那么在n 次独立重复试验中这个事件恰好发
生k 次的概率是k n k k n n q p C k P -==)(ξ，（k ＝0,1,2,…，n ，p q -=1）．称这样的随机
变量ξ服从二项分布，记作ξ～B (n ，p )，其中n ，p 为参数；若ξ～B (n ，p )，则=ξE np ．
[举例]某陶瓷厂准备烧制甲、乙、丙三件不同的工艺品，制作过程必须先后经过两次烧制，当第一次烧制合格后方可进入第二次烧制，两次烧制过程相互独立．根据该厂现有的技术水平，经过第一次烧制后，甲、乙、丙三件产品合格的概率依次为0.5，0.6，0.4，经过第二次烧制后，甲、乙、丙三件产品合格的概率依次为0.6，0.5，0.75．
（1）求第一次烧制后恰有一件产品合格的概率；
（2）经过前后两次烧制后，合格工艺品的个数为ξ，求随机变量ξ的期望．
（07高考某某理19）
解析：分别记甲、乙、丙经第一次烧制后合格为事件1A ，2A ，3A ，
（1）设E 表示第一次烧制后恰好有一件合格，则321()(A A A P E P =）+)(312A A A P + )(213A A A P 0.50.40.60.50.60.60.50.40.40.38=⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯=．
（2）解法一：分别记甲、乙、丙经过两次烧制后合格为事件A B C ，，，则
()()()0.3P A P B P C ===，所以3(0)(10.3)0.343P ξ==-=，
2(1)3(10.3)0.30.441P ξ==⨯-⨯=，2(2)30.30.70.189P ξ==⨯⨯=，
3(3)0.30.027P ξ===．于是，()10.44120.18930.0270.9E ξ=⨯+⨯+⨯= 解法二：因为每件工艺品经过两次烧制后合格的概率均为0.3p =，
所以~(30.3)B ξ，
，故30.30.9E np ξ==⨯=． [巩固]一个袋中装有3个红球，7个白球，从袋中随机摸出一个球，记录颜色后放回，连摸5次，试求摸到红球的次数ξ的分布列及期望ξE 。

3．随机抽样需借助于随机数表（先对总体逐一编号），分层抽样的关键是“按比例”：总体中各层的比例等于样本中各层的比例。

在所有的抽样中，每一个个体被抽到的概率相等。

[举例]从2004名学生中选取50名组成参观团,若采用下面的方法选取: 先用简单随机抽样 从2004人中剔除4人,剩下的2000人再按系统抽样的方法进行.则每人入选的概率（ ）
A 、不全相等
B 、均不相等
C 、都相等,且为100225
D 、都相等,且为40
1 解析：某人“入选”，首先在第一步的随机抽样中要不被剔除，其概率为2004
2000200441=-
， 在第二步的系统抽样中被抽中的概率为200050，故每人入选的概率为20045020005020042000=⨯ [巩固] 某工厂生产A 、B 、C 三种不同型号的产品，产品数量之比依次为2：3：5。

现用分层抽样方法抽出一个容量为n 的样本，样本中A 种型号产品有16件。

那么此样本的容量n=。

4．“读懂”样本频率分布直方图：直方图的高=
频率组距
，直方图中小矩形框的面积是频率；频率×样本个数=频数。

[举例1]从一条生产线上每隔30分钟取一件产品，共 取了n 件，测得其尺寸后，画得其频率分布直方图如右，
尺寸在[15，45]内的频数为46，则尺寸在[20，25]内 的产品个数为
解析：由直方图可见，尺寸在[15，45]内的频率为
1-0.016×5=0.92,∴n 46=0.92，得n=50； 而尺寸在[20，25]内的频率为0.04×5=0.2,
∴尺寸在[20，25]内的产品个数为
[巩固1] 在生产过程中，维粗细的一种量）共有100个数据，（I （II ）估计纤度落在[1.381.50)，1.40的概率是多少？ （III 值（例如区间[1.301.34)，表．据此，估计纤度的期望． [巩固2]一个社会调查机构
就某地居民的月收入调查了 10 000人，并根据所得数据
画了样本的频率分布直方图 （如右图）．为了分析居民的 收入与年龄、学历、职业等
方面的关系，要从这10 000 人中再用分层抽样方法抽出 100人作进一步调查，则在 ［2500，3000）（元）月收入 段应抽出人．
5．熟悉方差的计算公式和性质，如：样本同加（减）一个常数，方差不变；样本同乘一个
0．0．产品尺寸
常数k, 方差变为原来的k 2倍；“标准差”是方差的算术平方根。

样本的方差和标准差是反映其“稳定性”的量。

对于离散型随机变量ξ，如果它所有可能取的值是1x ，2x ，…，n x ，…，且取这些值的概率分别是1p ，2p ，…，n p ，…，那么,ξD ＝121)(p E x ⋅-ξ＋222)(p E x ⋅-ξ＋…＋n n p E x ⋅-2)(ξ＋…称为随机变量ξ的方差，式中的ξE 是随机变量ξ的期望．ξD 的算术平方根ξD 叫做随机变量ξ的标准差，记作σξ。

[举例]某人5次上班途中所花的时间（单位：分钟）分别为x ，y ，10，11，9.已知这组数据的平均数为10，方差为2，则｜x －y ｜的值为
（A ）1 （B ）2 （C ）3 （D ）4
解析：由题意可得：x+y=20,(x-10)2+(y-10)2
=8,解这个方程组需要用一些技巧，因为不要直接求出x 、y ，只要求出y x -，设x=10+t, y=10-t, 由(x-10)2+(y-10)2=8得t 2=4; ∴24x y t -==，故选D 。

[巩固1]甲、乙、丙三名射箭运动员在某次测试中各射箭20次，三人的测试成绩如下表
123s s s ，，分别表示甲、乙、丙三名运动员这次测试成绩的标准差，则有（ ） Ａ．312s s s >>
Ｂ．213s s s >> Ｃ．123s s s >> Ｄ．231s s s >> （ 07高考某某理 11）
[巩固2]随机变量ξ的分布列如下：
其中a b c ，，成等差数列，若3
E ξ=，则D ξ的值是．（07高考某某理15） 6．正态分布密度函数：22
2)(21
)(σμπσ--=x e x f ，（σ＞0，-∞＜x ＜∞），其中x 是随机变
量的取值，μ为正态分布的均值，σ是正态分布的标准差.正态分布一般记为),(2σμN ；
正态曲线的性质：（1）曲线在x 轴的上方，与x 轴不相交 ，（2）曲线关于直线x=μ对称 ，
（3）当x=μ时，曲线位于最高点 （4）当x ＜μ时，曲线上升（增函数）；当x ＞μ时，曲线下降（减函数），并且当曲线向左、右两边无限延伸时，以x 轴为渐近线，向它无限靠
近 ，（5）μ一定时，曲线的形状由σ确定.σ越大，曲线越“矮胖”，总体分布越分散；σ越小，曲线越“高”.总体分布越集中。

当μ=0、σ=l 时，正态总体称为标准正态总体，其相应的函数表示式是22
21
)(x e x f -=π，（-∞＜x ＜+∞）。

对于标准正态总体(01)N ，，
)(0x Φ表示总体取值小于0x 的概率， 即)()(00x x P x <=Φ，（00>x ）；当00<x 时，)(1)(00x x -Φ-=Φ；而当00=x 时，)0(Φ=0.5；
计算正态总体的概率应结合正态曲线（面积）进行。

[举例1]设随机变量ξ服从标准正态分布(01)N ，，已知( 1.96)0.025Φ-=，则(|| 1.96)P ξ<=（ ） （07高考某某理5）
A ．0.025
B ．0.050
C ．0.950
D ．0.975
解析：(|| 1.96)P ξ<=)]96.1()96.1([1>+-<-ξξP P ，因为标准正态曲线关于y 轴对称， 所以025.0)96.1()96.1(=-<=>ξξP P ，故(|| 1.96)P ξ<=0.950，选C 。

[举例2]以()x ∅表示标准正态总体在区间()x -∞，内取值的概率，若随机变量ξ服从正态分布2
()N μσ，，则概率()P ξμσ-<等于（ B ）（07高考某某理10）
A ．()()μσμσ∅+-∅-
B ．(1)(1)∅-∅-
C ．1μσ-⎛⎫∅ ⎪⎝⎭
D ．2()μσ∅+ 解析：()P ξμσ-<即正态分布2()N μσ，的分布曲线与直线σμ-=x 、σμ+=x 、
0=y 所围成的区域面积，也就是标准正态分布(01)N ，的分布曲线与直线1-=x 、1=x 、
0=y 所围成的区域面积，即(1)(1)∅-∅-，故选B 。

[巩固1]在某项测量中，测量结果ξ服从正态分布2
(1)(0)N σσ>，．若ξ在(01)，内取值的概率为0.4，则ξ在(02)，内取值的概率为．（07高考全国卷Ⅱ理14）
[巩固2]已知随机变量ξ服从正态分布2(2)N σ，，(4)0.84P ξ=≤，则(0)P ξ=
≤（ ）
A ．0.16
B ．0.32
C ．0.68
D ．0.84 （07高考某某理5）
答案
1．[巩固]0.784,240；2、[巩固]3.5,16.5；3、[巩固]80，4、[巩固1] （Ⅱ）0.69,0.44,
（Ⅲ）1.4088, [巩固2]25，5、[巩固1] B ，[巩固2]5
9
；6、[巩固1]0.8，[巩固2]A。