第九章 闭环系统的辨识

定义1：系统可辨识
ˆ 如果 θ ( L, ϕ , μ , Γ, Η ) W .P.1 DT (ϕ , μ )
L→∞
P ˆ inf θ ( L, ϕ , μ , Γ, Η ) − θ 0 ⎯W .⎯→ 0 ⎯ .1 L→∞
或
θˆ∈DT (ϕ , μ
则称系统 ϕ 在模型类 μ 、辨识方法 Γ 及实验条件 Η 下是系统可辨识的，记作 SI ( μ , Γ, Η ) 。 定义2：强系统可辨识 如果系统 ϕ 对一切使得 DT (ϕ , μ ) 非空的模型都是 条件 Η 下是强系统可辨识的，记作 SSI ( μ , Γ, Η ) 。
ˆ L(θ o ) ② 定义似然比函数 λ = ˆ L(θ c )
H o ( z − 1 ) 和 H c ( z −1 )
ˆ ⎡V (θ o ) ⎤ λ=⎢ ˆ o )⎥ ⎣V (θ ⎦
ˆ V (θ o )
L 2
ˆ V (θ c ) 输出残差的方差。
⎡ Nc − No λ = ⎢1 + L − Nc ⎣ ⎤ t⎥ ⎦
一．谱因子分解法 谱因子分解法是判别确定性系统输出与输入之间是 否存在反馈作用的一种常用方法。 1. 基本原理
{u (k )} 表示系统的输入数据序列；
{ y ( k )} 表示系统的输出数据序列；
Ruu (l )
Suu ( z )
Ruy (l ) 表示数据的相关函数
S uy (l ) 表示数据的离散谱密度（相关函数的z变换 ）
Α( z −1 ) z (k ) = Β( z −1 )v(k )
置 θ c = [α 1 ,α 2 , ,α l , β 1 , β 2 , , β r ]τ 利用增广最小二乘法等开环辨识方法便可获得 ˆ ARMA模型的参数估计值 θ c 。 如果反馈通道的模型阶次不低于前向通道的模型 阶次，则前向通道模型是参数可辨识的。此外，无论 是前向通道还是反馈通道如果存在纯迟延环节，闭环 系统的可辨识性条件更加容易满足。
ˆ ③ 如果 ∀t < 0 ，都有 g (t ) = 0 或 ≈ 0 ，
则系统不存在反馈作用；
二．似然比检验法 似然比检验法是判别随机性系统输出与输入之间 是否存在反馈作用的一种常用方法。 1. 基本原理
⎧ ⎪ z (k ) = ⎪ 如果系统可暂时描述成 ⎨ ⎪u (k ) = ⎪ ⎩ B ( z −1 ) D( z −1 ) u (k ) + v(k ) −1 −1 A( z ) A( z ) Q( z −1 ) E ( z −1 ) z (k ) + ω (k ) −1 −1 P( z ) P( z )
如果系统 ϕ 是 SI ( μ , Γ , Η ) 的，并且 DT (ϕ , μ )
ˆ 外特性的模型，但这并不意味着 θ ( L, ϕ定条件下，如果参数估计值是一致收敛 的，则称系统是可辨识的。
§9-4 闭环辨识方法及可辨识性条件
间接辨识法：先获得闭环系统模型，在此基础上利用 反馈通道上的控制器模型，从中导出前向通道模型。 直接辨识法：利用前向通道的输入输出数据，直接建 立前向通道的数学模型，反馈通道的控制器模型可以未 知。 区别：间接法要求反馈通道的控制器模型已知，而直 接法要求前向通道的输人输出变量是可测的。从可辨识 性观点看，只要在反馈通道上加上一个均值为零，与输 出测量噪声无关的持续激励摄动信号，这两种闭环辨识 方法可以是等效的。
SI ( μ , Γ , Η ) 的，那么称系统
ϕ 在辨识方法 Γ 和实验
定义3：参数可辨识 中仅含有一个元素，则称系统 ϕ 在辨识方法 Γ 和 实验条件 Η 下是参数可辨识的，记作 PI ( μ , Γ, Η ) 。 如果系统 ϕ 是可辨识，那么可以说模型参数估
ˆ 计值 θ ( L, ϕ , μ , Γ, Η ) 必将收敛于一个与系统具有相同
利用似然比检验法确定系统的模型结构应该是
H o ( z −1 ) 还是 H c ( z −1 )
。
H o ( z −1 ) ，说明系统不存在 若接受模型结构假设
反馈；否则系统存在反馈作用。 2. 具体步骤 ① 在 的模型结构假设下，利用系 统的输入输出数据，分别获得它们的估计模型，记 ˆ ˆ 作 H o ( z −1 ) 和 H c ( z −1 ) 。
设辨识对象 ϕ 如下所示 前向通道噪声滤波器 摄动信号滤波器 给定值信号 反馈通道噪声滤波器
反馈通道上控制器传递函数
前向通道上过程传递函数
其中 ⎧ −1 B(z−1) −d Q(z−1) R(z−1) = −1 G(z ) = −1 z , ⎪ ⎪ A(z ) P(z ) ⎨ F(z−1) D(z−1) ⎪Nv (z−1) = , Nω (z−1) = −1 , ⎪ P(z ) A(z−1) ⎩
当数据是平稳的随机序列时， − G( z ) = Suy ( z )Suu1 ( z )
其中
G (z ) 为系统前向通道的脉冲传递函数；
如果系统输出与输入之间不存在反馈作用，或者 说系统的输出是输入信号激励的结果，两者之间存在 因果关系，则数据的离散谱密度一定可分解成 ：
⎧ Suu ( z ) = D ( z ) D* ( z ) ⎪ ⎨ Suy ( z ) = B ( z ) D* ( z ) ⎪ ⎩
第九章 闭环系统辨识
§9-1 概述
一、闭环辨识的必要性 1. 不能轻易切断过程的反馈回路，否则可能会造成过 程失控，严重影响生产； 2.自适应控制问题时，辨识和控制是有机结合的，这 时的辨识一定要在闭环状态下进行，以便实时修改 控制规律； 3. 系统本身就存在着内在的、固有的反馈，由于它们 内部存在的反馈是客观的、无法解除的。
Q( z −1 ) = 0 经过计算，如果能进一步确认
则可以说系统为开环过程，内部不存在反馈。
⎡ D( z −1 ) −1 ⎢ −1 −1 ⎡ z (k ) ⎤ ⎡ B( z )Q( z ) ⎤ A( z −1 ) ⎢ −1 −1 ⎢u (k )⎥ = ⎢1 − −1 −1 ⎥ A( z ) P( z ) ⎦ ⎢ Q( z ) D( z ) ⎦ ⎣ ⎣ ⎢ P( z −1 ) A( z −1 ) ⎣
二、本章将着重讨论四个问题： ①. 判明系统是否存在反馈作用的方法； ②闭环辨识条件； ③闭环辨识方法； ④闭环系统的阶次辨识。
§9-2 判明系统是否存在反馈作用的方法
最简单的判断方法（不现实的）： 检验系统的输入信号与输出测量噪声的相关性， 如果输入信号与输出测量噪声不相关，则系统内部没 有反馈存在，否则系统内部存在着反馈。 但是，由于系统的输出测量噪声是不可测的，或 者是确定性系统，输出测量噪声为零，因此想通过检 验系统的输入信号与输出测量噪声的相关性来判断系 统是否存在反馈实际上是不现实的。
⎨ −1 Α( z ) = A( z −1 )P( z −1 ) + B( z −1 )Q( z −1 ) z −d 1 + α1z −1 + ⎩ ⎧r = n d + n p ⎨ ⎩l = max(n a + n p , nb + n q + d )
+ αl z −l
即闭环系统的输出描述成由白噪声驱动的ARMA过程
出残差，并求得残差的方差
⎧ ˆ ⎪V (θ o ) = ⎪ ⎨ ˆ ⎪V (θ c ) = ⎪ ⎩ 1 L 2 ∑ ε o (k ) L k =1 1 L 2 ∑ ε c (k ) L k =1
④ 根据F检验原理，取风险水平为 α ，从F分布表上 查得阀值
tα = F ( L − N c , N c − N o )
一． 间接辨识法 1．反馈通道上无扰动信号 ω (k ) = 0 p (k ) = 0 闭环系统的输出 z (k ) 对噪声 数可写成 Z ( z ) Β( z −1 ) = V ( z ) Α( z −1 )
v(k ) 的脉冲传递函
其中 ⎧Β( z −1 ) = D( z −1 )P( z −1 ) 1+ β1z −1 + + βr z −r
表示使
ˆ ⎧ ˆ −1 B( z −1 ) − d G( z ) = z a.s. G0 ( z −1 ) ⎪ ˆ A( z −1 ) ⎪ ⎨ ˆ −1 ⎪ N ( z −1 ) = D( z ) a.s. N ( z −1 ) ˆ v0 ⎪ ˆ A( z −1 ) ⎩
的所有参数估 计值 θ 的集合 ˆ
L 2
No Nc
模型参数个数；
ˆ ˆ V (θ o ) − V (θ c ) L − N c t= ⋅ ~ F (L − N c , N c − N o ) ˆ Nc − No V (θ c )
− 2 log λ ~ χ 2 ( N c − N o )
−1 H o ( z −1 ) 和 H c ( z ) ，计算相应的输 ③ 利用估计模型
D (z )
D* ( z)
Suu ( z ) 的稳定可逆谱因子
D (z ) 的共轭形式
系统前向通道的脉冲传递函数又可表示成
G+ ( z ) = [ S uy ( z )( D ( z )) ] + D ( z )
*
−1
−1
其中 G+ ( z )
∑g z
i =0 i
∞
−i
G( z) =
i = −∞
g i z −i 的因果截断 ∑
∞
g i 表示系统前向通道的脉冲响应
如果系统不存在反馈作用，则
G ( z ) = G+ ( z )
该式表明，没有反馈作用的系统时间小于零的脉冲 响应等于零。
2. 判别的实际步骤 ①. 根据输入输出数据 {u ( k )} 和{ y ( k )} ，求得频率
ˆ 响应估计 G ( jω ) ；
ˆ ②. 利用傅立叶反变换，求相应的脉冲响应估计 g (t )
置 θ = [a1 , a 2 ,
, a na , b1 , b2 ,
, bnb , d1 , d 2 ,
, d nd ]τ
ˆ ( L, ϕ , μ , Γ, Η ) 表示在模型类 μ 、辨识方法 Γ 、实 θ 验条件 Η 和数据长度L条件下对系统 ϕ 的辨识结果。
令
ˆ ˆ ˆ DT (ϕ , μ ) = {θ G ( z −1 ) = G 0 ( z −1 ), N v ( z −1 ) = N 0 v ( z −1 ), a.s.}
E(z−1) Np (z−1) = −1 P(z )
⎧ A( z −1 ) = 1 + a 1 z −1 + + a n a z − n a ⎪ B ( z −1 ) = b1 z −1 + + b nb z − nb ⎪ ⎪ D ( z −1 ) = 1 + d 1 z −1 + + d n z − nd d ⎪ ⎪ P ( z −1 ) = 1 + p z −1 + + p z − n p np 1 ⎨ ⎪Q ( z −1 ) = q + q z −1 + + q z − nq nq 0 1 ⎪ ⎪ F ( z −1 ) = 1 + f 1 z −1 + + f n f z − n f ⎪ E ( z −1 ) = 1 + e1 z −1 + + e ne z − ne ⎪ ⎩
⎡ v(k ) ⎤ H (z ) ⎢ ω (k ) ⎥ ⎣ ⎦
*
把判别系统是否存在反馈作用的问题转变成如下两 个模型的选择问题
⎧ ⎡ Ao ( z −1 ) Bo ( z −1 ) ⎤ −1 ⎪H o ( z ) = ⎢ −1 ⎥ Do ( z )⎦ ⎪ ⎣ 0 ⎨ ⎡ Ac ( z −1 ) Bc ( z −1 ) ⎤ ⎪ H ( z −1 ) = ⎢ −1 −1 ⎥ ⎪ c ⎣C c ( z ) Dc ( z )⎦ ⎩
B( z −1 ) E ( z −1 ) ⎤ ⎥ A( z −1 ) P( z −1 ) ⎥ ⎡ v(k ) ⎤ E ( z −1 ) ⎥ ⎢ω (k )⎥ ⎣ ⎦ P( z −1 ) ⎥ ⎦
−1
⎡ A* ( z −1 ) B* ( z −1 ) ⎤ ⎡ v(k ) ⎤ ⎢ * −1 * −1 ⎥ ⎢ ω (k ) ⎥ ⎦ ⎣C ( z ) D ( z ) ⎦ ⎣
如果 t ≤ tα
H o ( z −1 ) ，则接受模型结构为
的假设，说明
系统不存在反馈作用；
§9-3 闭环系统的可辨识性概念
辨识结果的好坏与以下几个方面的考虑有关：
θ ① 具体的辨识对象，记作 ϕ (θ 0 ) ， 0 为辨识对象 的真实参数；
② 所用的模型结构，记作 μ (θ ) ，亦称模型类， θ 为模型参数； ③ 所采用的辨识方法，记作 Γ ； ④ 所考虑的实验条件，记作 Η 。