专题08 利用空间向量空间距离的求解-高中数学新教材变化解读
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3.求点面的距离
【考法示例1】
5.在棱长为 的正方体 中， 是 的中点，则点 到平面 的距离是（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】以 为空间直角坐标原点建立空间直角坐标系，通过点面距离公式，计算点 到平面 的距离.
【详解】以 为空间直角坐标原点， 分别为 轴建立空间直角坐标系.由于 是 中点，故 ，且 ，设 是平面 的法向量，故 ，故可设 ，故 到平面 的距离 .故选A.
【详解】解：如图以点C为坐标原点，CA，CB，CC1所在直线为x轴，y轴和z轴，建立如下图所示的空间直角坐标系，
则A(2，0，0)，A1(2，0，2)，D(0，0，1)，B(0，2，0)，设 ＝λ ，λ∈[0，1)，则E(2λ，2(1－λ)，2λ)．
又 ＝(－2，0，1)， ＝(2(λ－1)，2(1－λ)，2λ)，
【考法示例3】
7.如下图所示，在直三棱柱ABC－A1B1C1中，底面是等腰直角三角形，∠ACB＝90°，侧棱AA1＝2，CA＝2，D是CC1的中点，试问在A1B上是否存在一点E，使得点A1到平面AED的距离为 ？
【答案】存在点E且当点E为A1B的中点时，A1到平面AED的距离为 .
【解析】
【分析】由题知可建立空间直角坐标系，利用向量法计算求出即可.
＝ ＝ ．
即直线FC到平面AEC1的距离为 ．
【总结】1.求直线到平面的距离、两平行平面间的距离问题都可以转化为求点到直线的距离问题，都等于向量 在平面单位法向量方向上投影向量的长度，即
2.用向量法解决距离问题的“三步曲”
①建立空间直角坐标系，求有关向量 坐标——将几何问题转化为向量问题；
②使用距离的向量计算公式——向量的运算与求解；
在直角三角形 和直角三角形 中， ，所以 ，
所以 ，所以 ，
因为正方形 的边长为4，所以 ，
， ，
所以 .
所以点 到平面 的距离为 .
故选：D
【点睛】本题考查了直线与平面垂直的性质，考查了直线与平面垂直的判定，考查了平面与平面垂直的判定与性质，考查了直线与平面平行的判定，考查了求点到平面的距离，属于中档题.
故选： .
【点睛】本题用向量法求点到平面的距离，我们也可以用等体积法求点到平面的距离，当然也可以找到这个垂线段，然后放在直角三角形中去求.
15.已知正方形ABCD的边长为1，PD⊥平面ABCD，且PD＝1，E，F分别为AB，BC的中点.
（1）求点D到平面PEF的距离；
（2）求直线AC到平面PEF的距离.
（2）
直线 到平面 的距离也即是点 到平面 的距离
又 ，
点 到平面 的距离为 ．
所以直线 到平面 的距离为 .
【点睛】本题考查点 到平面 的距离、直线 到平面 的距离，考查向量知识的运用，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．
专题08利用空间向量空间距离的求解
新教材 新增内容
背景分析:投影向量的几何意义和代数表示，不仅为研究立体几何的距离问题提供了便利，而且还提供了研究距离的方法.在研究距离问题时，参考向量、它的投影向量、二者的差，构成直角三角形，这样，利用勾股定理，结合空间向量的运算，距离问题也就迎刃而解.
运用向量运算求解空间距离的原理的推导主要是培养学生的逻辑推理素养，将空间距离的向量语言表述应用于立体几何问题则培养学生的直观想象、数学运算素养.通过对立体几何问题的解决，使得学生首先会用表达式、并通过练习实现学生达到熟练掌握运算方法、技巧的能力.
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】过 作 的平行线，交 于 ，则 到平面 的距离即为 到平面 的距离．作 于 ，进而可知 平面 ，进而根据 求得 ．
【详解】解：过 作 的平行线，交 于 ，
则 到平面 的距离即为 到平面 的距离．
作 于 ，易证 平面 ，
可求得 ．
故选：A．
14.如图，在棱长为2的正方体 中，点 分别是棱 、 的中点，则点 到平面 的距离等于（）
【详解】建立如图所示空间直角坐标系，则 ＝(0,2,0)， ＝(0,1,2)．
∴cosθ＝ ＝ .∴sinθ＝ .
故点A到直线BE的距离d＝| |sinθ＝2× .
故答案为B
【点睛】本题主Βιβλιοθήκη 考查点到线距离的向量求法，意在考查学生对该知识的掌握水平和分析推理计算能力.
【考法示例2】
3.如图所示，ABCD-EFGH为边长等于1的正方体，若P点在正方体的内部且满足 ，则P点到直线AB的距离为________．
（2）判断直线 与平面 的位置关系；如果平行，求直线 到平面 的距离．
【答案】（1） ；（2）平行， ．
【解析】
【分析】（1）首先如图，建立空间直角坐标系，利用公式求点到直线的距离；
（2）利用线面平行，转化为点 到平面 的距离，求平面 的法向量，结合向量公式，即可求得点到平面的距离.
【详解】解：以D1为原点，D1A1，D1C1，D1D所在直线为x轴、y轴、z轴，建立如图所示的空间直角坐标系，则A(1，0，1)，B(1，1，1)，C(0，1，1)，C1(0，1，0)，E(1， ，0)，F(1， ，1)，
【答案】
【解析】
【分析】过P作PM⊥平面ABCD于M，过M作MN⊥AB于N，连接PN，则PN即为所求，由已知可得 ，即可求出.
【详解】解析：过P作PM⊥平面ABCD于M，过M作MN⊥AB于N，连接PN，则PN即为所求，如图所示．
因为 ，
所以 ，
所以 .
即P点到直线AB的距离为 .
故答案为： .
【考法示例3】
12.长方体 中， ， ，则点 到直线 的距离为
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】计算 ， ，再计算距离得到答案.
【详解】 ，
，
到直线 的距离为 .
故选：A.
【点睛】本题考查了利用空间向量计算距离，意在考查学生的计算能力和空间想象能力.
13.如图，正方体 的棱长为1，O是底面 的中心，则O到平面 的距离为（）
11.在空间直角坐标系中，有一棱长为 的正方体 ，则 的中点E与AB的中点F之间的距离为
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】求出 的坐标，利用中点坐标公式，可以求出 的坐标，利用空间两点间的距离公式求出 两点间的距离.
【详解】由题易知 ，则 .易知 ，
∴ .选B.
【点睛】本题考查了空间两点间的距离，考查了数学运算能力，正确求出点的坐标是解题的关键.
设AD＝a，则D点坐标为(1,0，a)， ＝(1,0，a)， ＝(0,2,2)，
设平面B1CD的一个法向量为 ＝(x，y，z)．
则 ⇒ ，令z＝－1，
得 ＝(a,1，－1)，又平面C1DC的一个法向量为 (0,1,0)，
则由cos60°＝ ，得 ＝ ，即a＝ ，故AD＝ .
10.若O为坐标原点， ＝(1,1，－2)， ＝(3,2,8)， ＝(0,1,0)，则线段AB的中点P到点C的距离为( )
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】先求出 的坐标，再利用三角形减法法则求 的坐标，再求| |即得解.
【详解】由题意 ＝ ( ＋ )＝ ， ＝ － ＝ ，| |＝ .
故答案为D
【点睛】本题主要考查向量的坐标运算，考查向量的三角形法则和平行四边形法则，考查向量的模的计算，意在考查学生对这些知识的掌握水平和分析推理能力.
【点睛】本小题主要考查利用空间向量计算点到面的距离.计算过程中要先求得平面的法向量.属于基础题.
【考法示例2】
6.已知四边形 是边长为4的正方形， 分别是边 的中点， 垂直于正方形 所在平面 ，且 ，则点 到平面 的距离为（）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】
连接 ， 交于 ， 交于 ，过 作 ，垂足为 ，则问题转化为求 的长度，根据两个直角三角形相似，对应边成比例可解得结果.
【答案】
【解析】
【分析】根据空间向量运算可知 ，再利用平方后的数量积公式计算结果.
【详解】 ，
所以A1C＝ .
故答案为：
2.求点线距离
【考法示例1】
2.已知正方体ABCD A1B1C1D1的棱长为2，点E是A1B1的中点，则点A到直线BE的距离是( )
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】建立空间直角坐标系，先求 夹角的余弦，再求点A到直线BE的距离.
【详解】如图：连接 ， 交于 ， 交于 ，
因为 分别是边 的中点，所以 ，
因为 平面 ，所以 平面 ，所以点 到平面 的距离等于点 到平面 的距离，
因为 平面 ，所以 ，又 ， ，
所以 平面 ，因为 ，所以 平面 ，
因为 平面 ，所以平面 平面 ，
过 作 ，垂足为 ，则 平面 ，则 为点 到平面 的距离，
4.如图，在棱长为2的正方体ABCD-A1B1C1D1中，E为BC的中点，点P在线段D1E上，点P到直线CC1的距离的最小值为.
【答案】
【解析】
【详解】点P到直线CC1的距离等于点P在平面ABCD上的射影到点C的距离，设点P在平面ABCD上的射影为P′，显然点P到直线CC1的距离的最小值为P′C的长度的最小值，当P′C⊥DE时，P′C的长度最小，此时P′C＝ ＝ .
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】建立空间直角坐标系，找到平面 的法向量，利用向量法求点到平面的距离求解即可.
【详解】以 为坐标原点，分别以 ， ， 的方向为 轴、 轴、 轴的正方向建立空间直角坐标系，则 ， ， ， .
设平面 的法向量为 ，
则 ，即
令 ，得 .
又 ，
点 到平面 的距离 ，
向量法求距离的公式
距离问题
图示
向量法的距离公式
两点间距离
点到直线的距离
两平行直线之间的距离
点到平面的距离
在处理距离问题时，投影向量和勾股定理的使用是关键．
新增内容的考查分析
1 求点点距离
【考法示例1】
1.已知平行六面体ABCDA1B1C1D1中，ABCD是边长为a的正方形，AA1＝b，∠A1AB＝∠A1AD＝120°，则A1C的长为________．
③得到所求距离——回到几何图形，得到结论．
新增内容的针对训练
9.如图，在直三棱柱ABC－A1B1C1中，∠ACB＝90°，2AC＝AA1＝BC＝2．若二面角B1－DC－C1的大小为60°，则AD的长为
A. B. C.2D.
【答案】A
【解析】
【分析】
【详解】如图，以C为坐标原点，CA，CB，CC1所在的直线分别为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系，则C(0,0,0)，A(1,0,0)，B1(0,2,2)，C1(0,0,2)，
【答案】（1） ；（2） .
【解析】
【分析】（1）建立如图坐标系，求出平面的法向量，即可求出点 到平面 的距离；
（2）利用 ，可得直线 到平面 的距离也即是点 到平面 的距离．
【详解】解：（1）建立如图坐标系，则 ， ， ， ，
， ，
设平面的法向量为 ， ， ，
则
故 ，2， ，
点 到平面 的距离 ；
（1）取a＝ ，u＝ ，则
，
所以，点B到直线AC1的距离为 ．
（2）因为 ，所以FC//EC1，
所以FC//平面AEC1．所以点F到平面AEC1的距离
即为直线FC到平面AEC1的距离．
设平面AEC1的法向量为 ，则
所以 所以
取z＝1，则x＝1，y＝2．
所以， 是平面AEC1的一个法向量．
又因为 ，
所以点F到平面AEC1的距离为
设 为平面AED的法向量，则 ⇒
取x＝1，则y＝ ，z＝2，即 ，
由于d＝ ＝ ，
∴ ＝ ，又λ∈(0，1)，解得λ＝ ，
所以，存在点E且当点E为A1B的中点时，A1到平面AED的距离为 .
4.求线面距离
【考法示例1】
8.如图在棱长为1的正方体 中， 为线段 的中点， 为线段 的中点．
（1）求点 到直线 的距离．
3.求点面的距离
【考法示例1】
5.在棱长为 的正方体 中， 是 的中点，则点 到平面 的距离是（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】以 为空间直角坐标原点建立空间直角坐标系，通过点面距离公式，计算点 到平面 的距离.
【详解】以 为空间直角坐标原点， 分别为 轴建立空间直角坐标系.由于 是 中点，故 ，且 ，设 是平面 的法向量，故 ，故可设 ，故 到平面 的距离 .故选A.
【详解】解：如图以点C为坐标原点，CA，CB，CC1所在直线为x轴，y轴和z轴，建立如下图所示的空间直角坐标系，
则A(2，0，0)，A1(2，0，2)，D(0，0，1)，B(0，2，0)，设 ＝λ ，λ∈[0，1)，则E(2λ，2(1－λ)，2λ)．
又 ＝(－2，0，1)， ＝(2(λ－1)，2(1－λ)，2λ)，
【考法示例3】
7.如下图所示，在直三棱柱ABC－A1B1C1中，底面是等腰直角三角形，∠ACB＝90°，侧棱AA1＝2，CA＝2，D是CC1的中点，试问在A1B上是否存在一点E，使得点A1到平面AED的距离为 ？
【答案】存在点E且当点E为A1B的中点时，A1到平面AED的距离为 .
【解析】
【分析】由题知可建立空间直角坐标系，利用向量法计算求出即可.
＝ ＝ ．
即直线FC到平面AEC1的距离为 ．
【总结】1.求直线到平面的距离、两平行平面间的距离问题都可以转化为求点到直线的距离问题，都等于向量 在平面单位法向量方向上投影向量的长度，即
2.用向量法解决距离问题的“三步曲”
①建立空间直角坐标系，求有关向量 坐标——将几何问题转化为向量问题；
②使用距离的向量计算公式——向量的运算与求解；
在直角三角形 和直角三角形 中， ，所以 ，
所以 ，所以 ，
因为正方形 的边长为4，所以 ，
， ，
所以 .
所以点 到平面 的距离为 .
故选：D
【点睛】本题考查了直线与平面垂直的性质，考查了直线与平面垂直的判定，考查了平面与平面垂直的判定与性质，考查了直线与平面平行的判定，考查了求点到平面的距离，属于中档题.
故选： .
【点睛】本题用向量法求点到平面的距离，我们也可以用等体积法求点到平面的距离，当然也可以找到这个垂线段，然后放在直角三角形中去求.
15.已知正方形ABCD的边长为1，PD⊥平面ABCD，且PD＝1，E，F分别为AB，BC的中点.
（1）求点D到平面PEF的距离；
（2）求直线AC到平面PEF的距离.
（2）
直线 到平面 的距离也即是点 到平面 的距离
又 ，
点 到平面 的距离为 ．
所以直线 到平面 的距离为 .
【点睛】本题考查点 到平面 的距离、直线 到平面 的距离，考查向量知识的运用，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．
专题08利用空间向量空间距离的求解
新教材 新增内容
背景分析:投影向量的几何意义和代数表示，不仅为研究立体几何的距离问题提供了便利，而且还提供了研究距离的方法.在研究距离问题时，参考向量、它的投影向量、二者的差，构成直角三角形，这样，利用勾股定理，结合空间向量的运算，距离问题也就迎刃而解.
运用向量运算求解空间距离的原理的推导主要是培养学生的逻辑推理素养，将空间距离的向量语言表述应用于立体几何问题则培养学生的直观想象、数学运算素养.通过对立体几何问题的解决，使得学生首先会用表达式、并通过练习实现学生达到熟练掌握运算方法、技巧的能力.
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】过 作 的平行线，交 于 ，则 到平面 的距离即为 到平面 的距离．作 于 ，进而可知 平面 ，进而根据 求得 ．
【详解】解：过 作 的平行线，交 于 ，
则 到平面 的距离即为 到平面 的距离．
作 于 ，易证 平面 ，
可求得 ．
故选：A．
14.如图，在棱长为2的正方体 中，点 分别是棱 、 的中点，则点 到平面 的距离等于（）
【详解】建立如图所示空间直角坐标系，则 ＝(0,2,0)， ＝(0,1,2)．
∴cosθ＝ ＝ .∴sinθ＝ .
故点A到直线BE的距离d＝| |sinθ＝2× .
故答案为B
【点睛】本题主Βιβλιοθήκη 考查点到线距离的向量求法，意在考查学生对该知识的掌握水平和分析推理计算能力.
【考法示例2】
3.如图所示，ABCD-EFGH为边长等于1的正方体，若P点在正方体的内部且满足 ，则P点到直线AB的距离为________．
（2）判断直线 与平面 的位置关系；如果平行，求直线 到平面 的距离．
【答案】（1） ；（2）平行， ．
【解析】
【分析】（1）首先如图，建立空间直角坐标系，利用公式求点到直线的距离；
（2）利用线面平行，转化为点 到平面 的距离，求平面 的法向量，结合向量公式，即可求得点到平面的距离.
【详解】解：以D1为原点，D1A1，D1C1，D1D所在直线为x轴、y轴、z轴，建立如图所示的空间直角坐标系，则A(1，0，1)，B(1，1，1)，C(0，1，1)，C1(0，1，0)，E(1， ，0)，F(1， ，1)，
【答案】
【解析】
【分析】过P作PM⊥平面ABCD于M，过M作MN⊥AB于N，连接PN，则PN即为所求，由已知可得 ，即可求出.
【详解】解析：过P作PM⊥平面ABCD于M，过M作MN⊥AB于N，连接PN，则PN即为所求，如图所示．
因为 ，
所以 ，
所以 .
即P点到直线AB的距离为 .
故答案为： .
【考法示例3】
12.长方体 中， ， ，则点 到直线 的距离为
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】计算 ， ，再计算距离得到答案.
【详解】 ，
，
到直线 的距离为 .
故选：A.
【点睛】本题考查了利用空间向量计算距离，意在考查学生的计算能力和空间想象能力.
13.如图，正方体 的棱长为1，O是底面 的中心，则O到平面 的距离为（）
11.在空间直角坐标系中，有一棱长为 的正方体 ，则 的中点E与AB的中点F之间的距离为
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】求出 的坐标，利用中点坐标公式，可以求出 的坐标，利用空间两点间的距离公式求出 两点间的距离.
【详解】由题易知 ，则 .易知 ，
∴ .选B.
【点睛】本题考查了空间两点间的距离，考查了数学运算能力，正确求出点的坐标是解题的关键.
设AD＝a，则D点坐标为(1,0，a)， ＝(1,0，a)， ＝(0,2,2)，
设平面B1CD的一个法向量为 ＝(x，y，z)．
则 ⇒ ，令z＝－1，
得 ＝(a,1，－1)，又平面C1DC的一个法向量为 (0,1,0)，
则由cos60°＝ ，得 ＝ ，即a＝ ，故AD＝ .
10.若O为坐标原点， ＝(1,1，－2)， ＝(3,2,8)， ＝(0,1,0)，则线段AB的中点P到点C的距离为( )
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】先求出 的坐标，再利用三角形减法法则求 的坐标，再求| |即得解.
【详解】由题意 ＝ ( ＋ )＝ ， ＝ － ＝ ，| |＝ .
故答案为D
【点睛】本题主要考查向量的坐标运算，考查向量的三角形法则和平行四边形法则，考查向量的模的计算，意在考查学生对这些知识的掌握水平和分析推理能力.
【点睛】本小题主要考查利用空间向量计算点到面的距离.计算过程中要先求得平面的法向量.属于基础题.
【考法示例2】
6.已知四边形 是边长为4的正方形， 分别是边 的中点， 垂直于正方形 所在平面 ，且 ，则点 到平面 的距离为（）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】
连接 ， 交于 ， 交于 ，过 作 ，垂足为 ，则问题转化为求 的长度，根据两个直角三角形相似，对应边成比例可解得结果.
【答案】
【解析】
【分析】根据空间向量运算可知 ，再利用平方后的数量积公式计算结果.
【详解】 ，
所以A1C＝ .
故答案为：
2.求点线距离
【考法示例1】
2.已知正方体ABCD A1B1C1D1的棱长为2，点E是A1B1的中点，则点A到直线BE的距离是( )
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】建立空间直角坐标系，先求 夹角的余弦，再求点A到直线BE的距离.
【详解】如图：连接 ， 交于 ， 交于 ，
因为 分别是边 的中点，所以 ，
因为 平面 ，所以 平面 ，所以点 到平面 的距离等于点 到平面 的距离，
因为 平面 ，所以 ，又 ， ，
所以 平面 ，因为 ，所以 平面 ，
因为 平面 ，所以平面 平面 ，
过 作 ，垂足为 ，则 平面 ，则 为点 到平面 的距离，
4.如图，在棱长为2的正方体ABCD-A1B1C1D1中，E为BC的中点，点P在线段D1E上，点P到直线CC1的距离的最小值为.
【答案】
【解析】
【详解】点P到直线CC1的距离等于点P在平面ABCD上的射影到点C的距离，设点P在平面ABCD上的射影为P′，显然点P到直线CC1的距离的最小值为P′C的长度的最小值，当P′C⊥DE时，P′C的长度最小，此时P′C＝ ＝ .
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】建立空间直角坐标系，找到平面 的法向量，利用向量法求点到平面的距离求解即可.
【详解】以 为坐标原点，分别以 ， ， 的方向为 轴、 轴、 轴的正方向建立空间直角坐标系，则 ， ， ， .
设平面 的法向量为 ，
则 ，即
令 ，得 .
又 ，
点 到平面 的距离 ，
向量法求距离的公式
距离问题
图示
向量法的距离公式
两点间距离
点到直线的距离
两平行直线之间的距离
点到平面的距离
在处理距离问题时，投影向量和勾股定理的使用是关键．
新增内容的考查分析
1 求点点距离
【考法示例1】
1.已知平行六面体ABCDA1B1C1D1中，ABCD是边长为a的正方形，AA1＝b，∠A1AB＝∠A1AD＝120°，则A1C的长为________．
③得到所求距离——回到几何图形，得到结论．
新增内容的针对训练
9.如图，在直三棱柱ABC－A1B1C1中，∠ACB＝90°，2AC＝AA1＝BC＝2．若二面角B1－DC－C1的大小为60°，则AD的长为
A. B. C.2D.
【答案】A
【解析】
【分析】
【详解】如图，以C为坐标原点，CA，CB，CC1所在的直线分别为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系，则C(0,0,0)，A(1,0,0)，B1(0,2,2)，C1(0,0,2)，
【答案】（1） ；（2） .
【解析】
【分析】（1）建立如图坐标系，求出平面的法向量，即可求出点 到平面 的距离；
（2）利用 ，可得直线 到平面 的距离也即是点 到平面 的距离．
【详解】解：（1）建立如图坐标系，则 ， ， ， ，
， ，
设平面的法向量为 ， ， ，
则
故 ，2， ，
点 到平面 的距离 ；
（1）取a＝ ，u＝ ，则
，
所以，点B到直线AC1的距离为 ．
（2）因为 ，所以FC//EC1，
所以FC//平面AEC1．所以点F到平面AEC1的距离
即为直线FC到平面AEC1的距离．
设平面AEC1的法向量为 ，则
所以 所以
取z＝1，则x＝1，y＝2．
所以， 是平面AEC1的一个法向量．
又因为 ，
所以点F到平面AEC1的距离为
设 为平面AED的法向量，则 ⇒
取x＝1，则y＝ ，z＝2，即 ，
由于d＝ ＝ ，
∴ ＝ ，又λ∈(0，1)，解得λ＝ ，
所以，存在点E且当点E为A1B的中点时，A1到平面AED的距离为 .
4.求线面距离
【考法示例1】
8.如图在棱长为1的正方体 中， 为线段 的中点， 为线段 的中点．
（1）求点 到直线 的距离．