2017届高三数学复习：坐标系与参数方程强化训练 含解析

1。

在平面直角坐标系xOy 中,直线l 过点()1,1P ,倾斜角6
π
α=．在以坐标原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建
立的极坐标系中，曲线C 的极坐标方程为2ρ=．
（Ⅰ）求直线l 的参数方程与曲线C 的直角坐标方程；
(Ⅱ）直线l 与曲线C 相交于,A B 两点，求点P 到,A B 两点的距离之积．
【答案】（Ⅰ） 31211
2x y t ⎧=+⎪⎪⎨
⎪=+⎪⎩，
22
4x y += （Ⅱ）2
【解析】
试题分析：(Ⅰ) 根据直线参数方程写法得直线l 的参数方程为
3
1112x y t ⎧=+⎪⎪⎨
⎪=+⎪⎩
,利用2
22x y ρ
=+得曲线C 的直角坐标方程为224x y +=.
（Ⅱ）利
用直线参数方程几何意义得12
PA PB PA PB t t ==，将直线参数方程代入
224x y +=，利用韦达定理得122t t =-,即得点P 到,A B 两点的距离之积 试题解析：(Ⅰ)直线l 的参数方程为3
1cos 16211s 1
62x t y t in t ππ⎧=+=+⎪⎪⎨
⎪=+=+⎪⎩，
曲线C 的直角坐标方程为
22
4x y +=。

(Ⅱ)将直线l 的参数方程代入2
2
4x y +=得
)
23120
t t +
-=,则12
2t t
=-。

122
PA PB PA PB t t ∴===.
考点：直线参数方程几何意义
2．在平面直角坐标系xOy 中，直线l
的参数方程为22x t
y =--⎧⎪⎨=-⎪⎩（t 为参数）
直线l 与曲线2
2:(2)1C y x --=交于,A B 两点.
（1）求AB 的长；
（2）在以O 为极点,x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，设点P 的极坐
标为3)4
π
，求点P 到线段AB 中点M 的距离。

【答案】（1
）；(2）2||=PM 。

【解析】
试题分析：（1)把直线的参数方程代入曲线C 的方程,得1
2124,10t
t t t +=-=-，
即可求解；(2）根据中点坐标的性质可得AB 中点M 对应的参数为
12
22
t t +=-，由t 的几何意义,可运算结果。

试题解析:（1）直线l 的参数方程化为标准型⎪⎪⎩
⎪⎪⎨
⎧
+=+-=t y t x 2322
12（t 为参数） 代入曲线C 方程得01042
=-+t t
设B A ,对应的参数分别为21,t t ，则421-=+t t ，
1021-=t t ，
所以142||||21
=-=t t
AB
(2）由极坐标与直角坐标互化公式得P 直角坐标)2,2(-， 所以点P 在直线l ，中点M 对应参数为22
2
1
-=+t t
,
由参数t 几何意义，所以点P 到线段AB 中点M 的距离2||=PM 考点：直线的参数方程；极坐标方程的应用.
3．在极坐标系中，已知曲线1
C ：θρcos 2=，将曲线1
C 上的点向左平移
一个单位，然后纵坐标不变,横坐标伸长到原来的2倍,得到曲线C ，
又已知直线l :⎪⎪⎩
⎪⎪⎨
⎧
=+=4sin 4
cos 2ππt y t x （t 是参数）,且直线l 与曲线交于B A ,两点.
(1）求曲线C 的直角坐标方程，并说明它是什么曲线; (2）设定点)0,2(
P ,求||||PB PA +.
【答案】（1)14
22
=+y x ；曲线C 表示焦点坐标为)0,3(),0,3(-,长轴长为4的
椭圆;（2
【解析】
试题分析：(1）曲线1
C 的直角坐标方程为：2
220x
y x +-=即1)1(22=+-y x ；
曲线C 的方程为14
22
=+y x ;曲线C 表示焦点坐标为)0,3(),0,3(-，长轴长
为4
的椭圆。

（2）将直线l 的方程代入曲线C 的方程：14
22
=+y x 中，得
0222
52
=-+t t ;设A 、B 两点对应的参数分别为2
1
,t t ，则5
4
,542
121-=-=+t t t t
，根据1
2
12||||||||||PA PB t t
t t +=+=-，即可求出结果。

试题解析：解：（1)曲线1
C 的直角坐标方程为:0222
=-+x y x
即1)1(22=+-y x 。

∴曲线C 的方程为14
22
=+y x ;
∴曲线C 表示焦点坐标为)0,3(),0,
3(-，长轴长为4的椭圆. （2)将直线l 的方程代入曲线C 的方程:14
22
=+y x 中,得022252=-+t t ； 设A B 、两点对应的参数分别为1
2
,t t ,
则5
4
,542
121-=-=+t t t t
.。