自动控制原理第4章 习题及解析

4-2 已知单位负反馈系统的开环传递函数如下，试绘制出相应的闭环根轨迹图。

1）*()(1)(3)K G s s s s =
++ 2）*(5)
()(2)(3)
K s G s s s s +=++
解：（1）()(1)(3)
*
K G s s s s =++
① 由G (s )知，n =3，m =0，p 1=0，p 2=–1，p 3=–3。

② 实轴上[0，–1]、[–3，∞]是根轨迹段。

③ 有n –m =3条渐近线,交点3
4
03310-=---=a σ， 夹角︒±=60a ϕ、180°。

④ 实轴上[0、–1]根轨迹段上有分离点d 。

由
0)(1=⎥
⎦⎤
⎢⎣⎡=d
s s G ds d 求d ：03832=++s d 解得 45.0-=d （分离点） 3
7
42j d --=
（舍去） ⑤求根轨迹与虚轴交点，令jw s =代入0)(=s D ，
得⎪⎩⎪⎨⎧=+-==+-=0
3)(Im 04)(Re 3
12ωωωωωj j j D K j D 解得3±=o ω 2
0412*K ω==临
根轨迹图见图4-2（1）
（2） *(5)()(2)(3)
K s G s s s s +=++
①由 G (s )知， n =3，m =1，p 1=0，p 2=–2，p 3=–3，p 4=–5
②实轴上[-2、0]，[-5、-3]是根轨迹段 ③有n-m=2条渐近线：0a σ=，夹角ϕa =±90°
④实轴上 [-2、0] 根轨迹段上有分离点d ， 由
1
[]0()s d
d ds G s ==求d ：3232556300s s s +++=，试凑得 s 1=-0.88 是其解，且是分离点。

根轨迹图见图4-2（2）。

4-3 已知单位负反馈系统的开环传递函数如下，试绘制出相应的闭环根轨迹图。

1）*(2)()(12)(12)K s G s s j s j +=+++- 2）*
2()(4)(420)
K G s s s s s =+++
解：（1）*
(2)
()(12)(12)
K s G s s j s j +=+++-
根轨迹图见图4-3（1）
（2）*
2()(4)(420)
K G s s s s s =+++
① n =4，m =0，p 1=0，p 2=–4，p 3、4=–2±j 4
② p 1、p 2连线中点正好是p 3、p 4实部，开环极点分布对称于垂线s=–2，根轨迹也将对称于该垂线。

∴
实轴上[0、–4]复平面内[p 3、p 4]间是根轨迹 ③有n-m=4条渐近线：
2044
24240-=---+--=
j j a σ
ϕa =±45°、±135°
渐近线如图4-3(2)中虚线示。

④ [0、–4]间、[P 3、P 4]间根轨迹上有分离点，由分离点方程
020186])
(1[23=+++=s s s s G ds d 可解得
21-=d ，45.22623,2j j d ±-=±-=均为分离点
⑤由4
3
2
()836800*
D s s s s s K =++++=中，求根轨与虚轴交点：
令ωj s =代入()0D s =，得 ⎪⎩⎪⎨⎧=-=+-0
)10(0
362
124ωωωωj K ，解得与虚轴交点及临界*K 临值：
3
0100
260
12
*o K ωω⎧=±=⎪⎨=⎪⎩，临（此即根轨迹起点p 1，不是K *增大时与虚轴交点，舍去）
系统根轨迹如图4-3(2)所示.
4-5 单位负反馈系统开环传递函数为*
2()(2)
K G s s s =
+
1）绘制根轨迹，分析系统稳定性； 2）若增加一个零点1-=z 试问根轨迹有何变化，对稳定性有何影响。

解： (1) 绘制系统根轨迹：
① n =3，m =0，p =0，p 1=p 2=0，p 3=–2； ② 实轴上[0, 0]、[–2，–∞]是根轨迹段； ③ 有 n-m=3 条渐近线3
2
-
=a σ，︒±=60a ϕ、180°渐近线如图中4-3点划线示，根轨迹如图中虚线示，由p 1=p 2=0出发的分支在右半s 平面，任何K 1下系统均不稳定。

（2） ① 增加z=–1，实轴上[0，0]、[–1，–2]为根轨迹段。

② 现有n-m=2渐近线，5.02
1
2-=+-=
a σ，︒±=90a ϕ，渐近线如图4-3中细虚线示；根轨迹如图中实线示，可见加进Z=-1后，系统在任何K 1下均稳定。

这说明给系统加进
一个位置适当的开环左实零点，可使n -m 变为n -m +1，渐近线条数减少一条，倾角a ϕ增大，根轨迹向左移动，可使系统稳定性、平稳性得到改善。

4-6 设单位负反馈系统的开环传递函数为*2(1)
()()()
K s G s H s s s a +=+，试绘制系统在下列条件
下的根轨迹。

1）10a = 2）9a = 3）8a = 4）3a = 解：该系统n=3，m=1，开环极点p 1、2=0，p 3=–a ，开环零点z=–1；随a 不同取值，在[–1，P 3]实轴段上可能存在分离点与会合点。

但G (s )H (s )为三阶且有零点，求分离点、会合点d
时用分离点方程∑∑==-=-m
j j
n
i i z d p d 111
1更方便。

将j i z p ,值代入分离点方程，有
1
1
12+=
++a a d d 化简整理得 02)3(22=+++a d a d
∴
4
9
10)3(22
1+-±+-=a a a d 、
该系统分离点会合点可能相等或不等，但只能是同时出现在实轴段[–1，P 3]上，否则其解应舍去。

(1) a=10
① 系统开环零极点分布如图46(1)所示； ② 实轴上 [0，0]、[–1，–10]是根轨迹段；
③ 有n –m =2条渐近线，5.42
)
1(10-=---=a σ，︒±=90a ϕ，渐近线如图中4-6（1）虚线所示；
④ 可求得[–1、–10]段上有分离点和会合点：⎩
⎨⎧--=±-=)(4)
(5.2431321分离点会合点、d 系统根轨迹如图4-6(1)中实线所示。

(2) a=9
① 系统开环零、极点分布如图4-6(2)所示； ② 实轴上[0，0]、[–1，–9]是根轨迹段； ③ 有n –m =2条渐近线，42
)
1(9-=---=a σ，︒±=90a ϕ，根轨迹渐近线如图4-6（2）中虚线所示；
④ 可求得[-1,-9]段上的分离点、会合点：)(34
1221分离点、会合点重合-=+-=
=d d ，系统根轨迹如图4-6(2)中实线所示。

（图中划线与实轴夹角为根轨迹的分离角会合角）
(3) a =8
① 开环零极点分布如图4-6(3)； ② 实轴上[0，0]、[–1，–8]是根轨迹段；
③ 有n –m =2条渐近线，5.32
)
1(8-=---=a σ，︒±=90a ϕ，渐近线如图中4-6（3）虚线示；
④ 由计算可知4
7
1121j d ±-=
、，d 1、2不在[–1、–8]段上应舍去，[–8，–1]段上无分离点、会合点；系统根轨迹如图4-5(3)中实线所示。

此题说明，开环极点在s 平面实轴上位置移动，会导致根轨迹图发生大的变化。

(4) a =3
① 开环零、极点分布如图4-6(4)中所示； ② 实轴上[0，0]、[–1，–3]是根轨迹段； ③ 有n –m =2条渐近线，1
2
)
1(3-=---=a σ，︒±=90a ϕ，渐近线如图中虚线示； ④ 由计算可知4
12
6j d ±-=
应舍去，实轴[–3、–1]段上既无分离点，也无会合点，系统根轨迹如图实线所示。

4-8 设系统的方框图如图4-27所示，绘制以a 为变量的根轨迹，并： 1）求无局部反馈时系统单位斜坡响应的稳态误差、阻尼比及调节时间； 2）讨论a =2时局部反馈对系统性能的影响；
3）求临界阻尼的a 值。

解：本题求作系统参量根轨迹，首先写出系统开环传递函数
)1(1)1(1)
1(11)
1(1
)(ααα++=
++=⋅+++=s s s s s s
s s s s s G 由闭环特征方程)(s D 中求出以α为参数变量时的等效开环传递函数)(s G '
01
11)(22=+++=+++=s s s
s s s s D αα
1
)(2++='s s s
s G α
等效开环传递函数的零、极点分布为： 2/32
1
2,1j p ±-= 0=z ，由此可知实轴上
[0、–∞]是根轨迹段，复平面内的根轨迹是以z 为圆心、123)21()(||2
222=⎪⎪⎭
⎫ ⎝⎛+=+-==ωσz zp R 为半径、由P 1、2出发的圆弧段，交实轴于–1点，即根轨迹会合点d =–1，系统参量根轨迹如图4-8示。

(1) 无局部反馈即0=α时，闭环极点s 1、2与等效开环传递函数极点P 1-2相等，由题图可
知，该系统ν=1，1==v K K ，1=ssv e 。

该系统1
1
)()()(2
++==s s s R s C s φ比较典型二阶系统，
2
222)(n
n n
s s s ωζωωφ++=
可知：(1=n ω，ζ=0.5，秒75
.05
.35
.3==
=
n
s t ζω。

(2) 当2=α时，已有合αα>，闭环极点均在实轴上，过阻尼状态，系统阶跃响应)(t c 不振荡。

求解2=α时)13
1
(3
/1)
3(1
21)(2+=
+=
++=
s s s s s
s s s G
3
1
=v K ，e ssv =3，32=n ζω，1=n ω，∴15.1>=ζ
由013)(2=++=s s s D 可得闭环极点62.238.021-=-=s s ，∴系统性能可按一阶近似计算
9.738
.03
31===T t s 秒。

(3) 由幅值条件 ∏∏==--=
m
i j
n
i i
Z s P s 1
1α，临界阻尼比时121-===d s s ，
11
1
12
1=⋅=
--=
=d
p d p d 合αα。

4-9 根据下列正反馈回路的开环传递函数，绘出其根轨迹的大致形状。

1）*
()()(1)(2)
K G s H s s s =
++
2）*
()()(1)(2)
K G s H s s s s =
++
3）*(2)
()()(1)(3)(4)
K s G s H s s s s s +=
+++
解：(1) ()()(1)(2)
*
K G s H s s s =++
该系统正反馈根轨迹如图4-9(1)所示，仅实轴上[∞，–1]、[–2、-∞]是根轨迹段。

(2) ()()(1)(2)
*
K G s H s s s s =++
① n =3、m ==0、P 1=0、P 2=–1、P 3=–2； ② 实轴上（∞，0、[–1、–2]是根轨迹段； ③ 有n –m=3条渐近线，10
32
10-=---=a σ，︒±=120a σ、0°
； 渐近线如图4-9（2）中虚线示；
④ [–1、–2]间有分离点d ，由∑∑==-=-m
j j
m
i i z d P d 111
1可得d =1.575
(3) (2)
()()(1)(3)(4)
*K s G s H s s s s s +=+++
① n =4，m =1，开环零、极点分布如图49(3)示； ② 实轴上（∞，0）、[–1，–2]、[–3，–4]为根轨迹段； ③ 有n –m =3条渐近线23
)
2()4310(-=-----=a σ，
︒±=120a ϕ、0°渐近线如图4-8(3)中虚线示。

④ 在[–3，–4]段上有分离点，在两开环极点间的根轨迹段上，分离点处对应max *K ，当n ≥4时可由K *-d 曲线法试解求d ： 由D （s ）=0可得：2
)
4)(3)(1(1++++-=s s s s s K ，
列表计算，其中max 1K 对应的s 值即为分离点坐标d 。

s=d –3.48 –3.49 –3.50 –3.505 –3.51 –3.52 –3.58 K 1 1.4575 1.4575 1.4583 1.45833
1.4580
1.4566
1.424
解得：505.3-=d
系统根轨迹如图4-9(3)所示。

4-10 设单位负反馈系统的开环传递函数为*(1)
()(2)
K s G s s s -=+，试绘制系统的根轨迹。

解：单位负反馈系统开环传递函数G (s )中有非最小相位环节（1-s ），由于s 项系数为负，因此系统根轨迹遵循零度根轨迹绘制法则
① n=2，m=1，系统开环零极点分布如图4-10； ② 实轴上（∞，1]、[0，-2]为根轨迹段；
③ 有n-m=1条渐近线，31
1
2-=--=
a σ ︒=0a ϕ；渐近线与实轴重合 ④ （∞、1）间有会合点，[0、–2]段上有分离点。

会合点、分离点由
0)]2([)2)(1()1)(22()]([2=++---+=s s s s s s G ds d
，解得：分离点732.01-=d ，会合点d 2=2.732； ⑤ 复平面内的根轨迹为圆心z=1、半径3)2(12=--=-zp z 的圆，该圆与实轴交点即分离点d 1、会合点d 2； ⑥ 根轨迹与虚轴交点：
令ωj s =代入()
0)2(2)(121112=-+-=-++=ωωj K K s K K s s s D 解得与虚轴交点
2130±=-±=ω 210=K 。

系统根轨迹如图4-9所示。

由图 4-10 可知，当0 < K * < 2时闭环系统稳定。

由幅值条件可得分离点d 1处，K * = 0.536，当0 < K * < 0.536时，系统为过阻尼状态，阶跃响应y (t )为非周期过程；当0.536< K * <2 时y (t )为衰减振荡过程。

若r (t ) = R 0 ⋅1(t ) + Rt 则
**
2/2ss ssv R R
e e K K
==
=. 4-12 已知控制系统的方框图如图4-29所示，题中*
1()(5)(5)
K G s s s =
+-；22()s G s s
+=，试
绘制闭环系统特征方程的根轨迹，并加以简要说明。

解：该系统含非最小相位环节5
1
-s ，但s 项系数为正，故负反馈系统根轨迹仍为常规根轨迹。

系统开环传递函数
*12(2)
()()()(5)(5)
K s G s G s G s S s s +==+-
系统开环零、极关分布如图4-12所示，实轴上[5，0]、[-2，-5]为根轨迹段 2=-m n ，12
)
2(550=-+-=
a σ，o 90±=a ϕ，渐近线如图4-12中虚线所示。

实轴上[5，0]间有分离点，由分离点方程∑∑==-=-m
j j
n
i i z d p d 111
1解得： 43.21=d ，2
3
.343.53,2j d ±-=
（舍去）
根轨迹如图4-12所示，当K 1由∞-0变化时，始终有两条分支在右半s 平面上，闭环系统不稳定。