郑州外国语学校数学整式的乘法与因式分解单元复习练习(Word版 含答案)

一、八年级数学整式的乘法与因式分解解答题压轴题（难）
1．阅读材料：若m 2﹣2mn+2n 2﹣8n+16=0，求m 、n 的值．
解：∵m 2﹣2mn+2n 2﹣8n+16=0，∴（m 2﹣2mn+n 2）+（n 2﹣8n+16）=0
∴（m ﹣n ）2+（n ﹣4）2=0，∴（m ﹣n ）2=0，（n ﹣4）2=0，∴n=4，m=4．
根据你的观察，探究下面的问题：
（1）已知x 2+2xy+2y 2+2y+1=0，求2x+y 的值；
（2）已知a ﹣b=4，ab+c 2﹣6c+13=0，求a+b+c 的值．
【答案】(1)1；(2)3．
【解析】
【分析】
（1）根据题意，可以将题目中的式子化为材料中的形式，从而可以得到x 、y 的值，从而可以得到2x+y 的值；（2）根据a-b=4，ab+c 2-6c+13=0，可以得到a 、b 、c 的值，从而可以得到a+b+c 的值．
【详解】
解：(1)∵x 2+2xy+2y 2+2y+1=0，
∴(x 2+2xy+y 2)+(y 2+2y+1)=0，
∴(x+y)2+(y+1)2=0，
∴x+y=0，y+1=0，
解得，x=1，y=−1，
∴2x+y=2×1+(−1)=1；
(2)∵a−b=4，
∴a=b+4，
∴将a=b+4代入ab+c 2−6c+13=0，得
b 2+4b+
c 2−6c+13=0，
∴(b 2+4b+4)+(c 2−6c+9)=0，
∴(b+2)2+(c−3)2=0，
∴b+2=0，c−3=0，
解得，b=−2，c=3，
∴a=b+4=−2+4=2，
∴a+b+c=2−2+3=3．
【点睛】
此题考查了因式分解方法的应用：利用因式分解解决求值问题；利用因式分解解决证明问题；利用因式分解简化计算问题.此题解答的关键是要明确：用因式分解的方法将式子变形时，根据已知条件，变形的可以是整个代数式，也可以是其中的一部分.
2．材料：数学兴趣一小组的同学对完全平方公式进行研究：因()2
0a b -≥，将左边展开得到2220a ab b -+≥，移项可得：222a b ab +≥.
数学兴趣二小组受兴趣一小组的启示，继续研究发现：对于任意两个非负数m 、n ，都存
在m n +≥m 、n 的和一定存在着一个最小值. 根据材料，解答下列问题：
（1）()()
2225x y +≥__________（0x >，0y >）；221x x ⎛⎫+≥ ⎪⎝⎭___________（0x >）；
（2）求()5602x x x
+>的最小值； （3）已知3x >，当x 为何值时，代数式92200726
x x ++-有最小值，并求出这个最小值.
【答案】（1）20xy ，2；（2）3）当92x =时，代数式92200726x x ++-的最小值为2019.
【解析】
【分析】
（1）根据阅读材料即可得出结论；
（2）根据阅读材料介绍的方法即可得出结论；
（3）把已知代数式变为926201326
x x -+
+-，再利用阅读材料介绍的方法，即可得到结论．
【详解】
（1）∵0x >，0y >，
∴()()222522520x y x y xy +≥⨯⋅=，
∵0x >， ∴221122x x x x ⎛⎫+≥⋅= ⎪⎝⎭
； （2）当x 0>时，2x ，
52x 均为正数，
∴562x x +≥=
所以，562x x
+的最小值为 （3）当x 3>时，2x ，
926x -，2x-6均为正数， ∴92200726
x x ++-
92x 6201326
x =-++-
20132013≥= 2019= 由()20a b -≥可知，当且仅当a b =时，22a b +取最小值， ∴当92626x x -=-，即92
x =时，有最小值．
∵x 3> 故当92x =时，代数式92200726
x x ++-的最小值为2019． 【点睛】 本题考查了完全平方公式的变形应用，解答本题的关键是理解阅读材料所介绍的方法．
3．观察下列等式：
22()()a b a b a b -=-+
3322()()a b a b a ab b -=-++
443223()()a b a b a a b ab b -=-+++
55432234()()a b a b a a b a b ab b -=-++++
完成下列问题：
（1）n n a b -=___________
（2）636261322222221+++⋯⋯++++= （结果用幂表示）.
（3）已知4,1a b ab -==，求33a b -.
【答案】（1）（a-b ）（a n-1+a n-2b+…+ab n-2+b n-1）；（2）264-1；（3）76.
【解析】
【分析】
（1）根据规律可得结果（a-b ）（a n-1+a n-2b+…+ab n-2+b n-1）；
（2）利用（1）得出的规律先计算（2-1）63626132(2222221+++⋯⋯++++)即可得
出结果；
（3）利用（1）得出的规律变形，再用完全平方公式进行变形，变成只含a-b 及ab 的形式，整体代入计算即可得到结果．
【详解】
解：（1）()()22a b a b a b -=-+，
()()
3322a b a b a ab b -=-++，
()()443223a b a b a a b ab b -=-+++，
()()
55432234a b a b a a b a b ab b -=-++++， 由此规律可得：
a n -
b n =（a-b ）（a n-1+a n-2b+…+ab n-2+b n-1），
故答案是：（a-b ）（a n-1+a n-2b+…+ab n-2+b n-1）；
（2）由（1）的规律可得
（2-1）()
636261322222221+++⋯⋯++++=264-1， ∴636261322222221+++⋯⋯++++=264-1.
故答案是：264-1.
（3）已知4,1a b ab -==，求33a b -.
()()
3322a b a b a ab b -=-++=()() [a b a b --2+3 a b ]
∴33a b -=24431⨯+⨯（）
=76. 故答案是：76.
【点睛】
此题考查了多项式乘以多项式，弄清题中的规律是解本题的关键．
4．观察以下等式：
（x+1)(x 2-x+1)=x 3＋1
（x+3）（x 2-3x+9）=x 3+27
（x+6）（x 2-6x+36）=x 3+216
．．．．．． ．．．．．．
(1)按以上等式的规律，填空：（a+b ）（___________________）=a 3+b 3
(2)利用多项式的乘法法则，证明（1）中的等式成立.
(3)利用（1）中的公式化简：（x+y ）（x 2-xy+y 2）-（x-y ）（x 2+xy+y 2）
【答案】（1）a 2-ab+b 2；（2）详见解析；（3）2y 3．
【解析】
【分析】
（1）根据所给等式可直接得到答案（a+b ）（a 2-ab+b 2）=a 3+b 3；（2）利用多项式与多项式相乘的法则：多项式与多项式相乘，先用一个多项式的每一项乘另外一个多项式的每一项，再把所得的积相加进行计算即可得到答案；（3）结合题目本身的特征，利用（1）中的公式直接运用即可．
【详解】
（1）（a+b ）（a 2-ab+b 2）=a 3+b 3；
（2）（a+b ）（a 2-ab+b 2）
=a 3-a 2b+ab 2+a 2b-ab 2+b 3
=a 3+b 3；
（3）（x+y ）（x 2-xy+y 2）-（x-y ）（x 2+xy+y 2）
=x 3+y 3-（x 3-y 3）
=2y 3．
【点睛】
本题考查了多项式乘以多项式，关键是掌握多项式乘法法则，注意观察所给例题，找出其中的规律是解决本题的基本思路．
5．你会对多项式(x 2+5x+2)(x 2+5x+3)﹣12分解因式吗？对结构较复杂的多项式，若把其中某些部分看成一个整体，用新字母代替(即换元)，能使复杂的问题简单化、明朗化．从换元的个数看，有一元代换、二元代换等．
对于(x 2+5x+2)(x 2+5x+3)﹣12．
解法一：设x 2+5x ＝y ，
则原式＝(y+2)(y+3)﹣12＝y 2+5y ﹣6＝(y+6)(y ﹣1)
＝(x 2+5x+6)(x 2+5x ﹣1)＝(x+2)(x+3)(x 2+5x ﹣1)．
解法二：设x 2+5x+2＝y ，
则原式＝y(y+1)﹣12＝y 2+y ﹣12＝(y+4)(y ﹣3)
＝(x 2+5x+6)(x 2+5x ﹣1)＝(x+2)(x+3)(x 2+5x ﹣1)．
解法三：设x 2+2＝m ，5x ＝n ，
则原式＝(m+n)(m+n+1)﹣12＝(m+n)2+(m+n)﹣12＝(m+n+4)(m+n ﹣3)
＝(x 2+5x+6)(x 2+5x ﹣1)＝(x+2)(x+3)(x 2+5x ﹣1)．
按照上面介绍的方法对下列多项式分解因式：
(1)(x 2+x ﹣4)(x 2+x+3)+10；
(2)(x+1)(x+2)(x+3)(x+6)+x 2；
(3)(x+y ﹣2xy)(x+y ﹣2)+(xy ﹣1)2．
【答案】（1） (x+2)(x-1) (2 x x ++1)
(2)(266x x ++)2
(3) (x+y-xy-1)2
【解析】
【分析】
（1）令m=2x x +,原式=()()4m 310m -++因式分解即可；
（2）()()()()2
1236x x x x x +++++=(276x x ++)(256x x ++)+2x ,令n=256x x ++，再将原式=（n+2）n+x 2进行因式分解即可；
（3）令a=x+y,b=xy ，代入原式即可因式分解.
【详解】
（1）令m=2x x +,
原式=()()4m 310m -++
=m 2-m-2=(m-2)(m+1)
= (2x x +-2)(2x x ++1)
=(x+2)(x-1) (2x x ++1)
(2)()()()()2
1236x x x x x +++++=(276x x ++)(256x x ++)+2x , 令n=256x x ++，
原式=（n+2）n+x 2=n 2+2n+x 2
=(n+x)2=(266x x ++)2
(3) 令a=x+y,b=xy ，原式=()()()2221a b a b --+-
=(a-b)2-2(a-b)+1
=(a-b-1)2
=(x+y-xy-1)2
【点睛】
此题主要考查复杂的因式分解，解题的关键是读懂材料学会材料中因式分解的方法.
6．阅读下列因式分解的过程，解答下列问题：
1＋x ＋x (x ＋1)＋x (x ＋1)2＝(1＋x )[1＋x ＋x (x ＋1)]＝(1＋x )2(1＋x )＝(1＋x )3.
(1)上述分解因式的方法是____________，共应用了________次；
(2)若分解因式1＋x ＋x (x ＋1)＋x (x ＋1)2＋…＋x (x ＋1)2019，则需要应用上述方法________次，结果是________；
(3)分解因式：1＋x ＋x (x ＋1)＋x (x ＋1)2＋…＋x (x ＋1)n (n 为正整数).
【答案】(1)提取公因式法，2；(2)2019，(1＋x)2020；(3) (1＋x)n ＋1.
【解析】
【分析】
（1）根据已知计算过程直接得出因式分解的方法即可；
（2）根据已知分解因式的方法可以得出答案；
（3）由（1）中计算发现规律进而得出答案．
【详解】
(1)提取公因式法，2（因式分解的方法是提公因式法，共应用了2次）
(2)2019，(1＋x)2020（分解因式1+x+x(x+1)+x(x+1)2+…+x(x+1)2019，则需应用上述方法2019次，结果是(1＋x)2020）
(3)原式＝(1＋x)[1＋x ＋x(x ＋1)＋x(x ＋1)2＋…＋x(x ＋1)n －1]
＝(1＋x)2[1＋x ＋x(x ＋1)＋x(x ＋1)2＋…＋x(x ＋1)n －2]
＝(1＋x)3[1＋x ＋x(x ＋1)＋x(x ＋1)2＋…＋x(x ＋1)n －3]
＝(1＋x)n (1＋x)
＝(1＋x)n ＋1.
【点睛】
本题考查的知识点是因式分解-提公因式法，解题的关键是熟练的掌握因式分解-提公因式法.
7．已知一个三位自然数，若满足百位数字等于十位数字与个位数字的和，则称这个数为
“和数”，若满足百位数字等于十位数字与个位数字的平方差，则称这个数为“谐数”．如果一个数即是“和数”，又是“谐数”，则称这个数为“和谐数”．例如321，321=+，∴321是“和数”，2232-1=，∴321是“谐数”，∴321是“和
谐数”．
（1）最小的和谐数是 ，最大的和谐数是 ；
（2）证明：任意“谐数”的各个数位上的数字之和一定是偶数；
（3）已知103817m b c =++（0714b c ≤≤≤≤，，且,b c 均为整数）是一个“和数”，请求出所有m ．
【答案】（1）110；954；（2）见解析；（3）880m =或853或826.
【解析】
【分析】
（1）根据“和数”与“谐数”的概念求解可得；
（2）设“谐数”的百位数字为x 、十位数字为y ，个位数字为z ，根据“谐数”的概念得x=y 2-z 2=（y+z ）（y-z ），由x+y+z=（y+z ）（y-z ）+y+z=（y+z ）（y-z+1）及y+z 、y-z+1必然一奇一偶可得答案；
（3）先判断出2≤b+2≤9、10≤3c+7≤19，据此可得m=10b+3c+817=8×100+（b+2）×10+（3c-3），根据“和数”的概念知8=b+2+3c-3，即b+3c=9，从而进一步求解可得．
【详解】
（1）最小的和谐数是110，最大的和谐数是954.
（2）设：“谐数”的百位数字为x ，十位数字为y ，个位数字为z
（19,09,09x y z ≤≤≤≤≤≤且 y z >且 ,,x y z 均为正数），
由题意知，()()22
x y z y z y z =-=+-， ∴()()()()1x y z y z y z y z y z y z ++=+-++=+-+，
z∵y z +与y z -奇偶性相同，
∴y z +与1y z -+必一奇一偶，
∴()()1y z y z +-+必是偶数，
∴任意“谐数”的各个数位上的数字之和一定是偶数；
（3）∵07b ≤≤，
∴229b ≤+≤，
∵14c ≤≤，
∴3312c ≤≤，
∴103719c ≤+≤，
∴817103m b c =++，
()()810011037b c =⨯++⨯++
()()81002103710b c =⨯++⨯++-
()()810021033b c =⨯++⨯+-，
∵m 为和数， ∴8233b c =++-，
即39b c +=，
∴61b c =⎧⎨=⎩或32b c =⎧⎨=⎩或03b c =⎧⎨=⎩
， ∴880m =或853或826.
【点睛】
本题考查因式分解的应用，解题的关键是理解题意、熟练掌握“和数”与“谐数”的概念及整式的运算、不等式的性质．
8．阅读下列材料：
利用完全平方公式，可以将多项式2(0)ax bx c a ++≠变形为2()a x m n ++的形式, 我们把这样的变形方法叫做多项式2ax bx c ++的配方法．运用多项式的配方法及平方差公式能对一些多项式进行分解因式．例如：21124x x ++＝222111111()()2422
x x ++-+ ＝21125()24
x +
- ＝115115()()2222
x x +++-＝(8)(3)x x ++ 根据以上材料，解答下列问题： （1）用多项式的配方法将281x x +-化成2()x m n ++的形式；
（2）下面是某位同学用配方法及平方差公式把多项式2340x x --进行分解因式的解答过程：
老师说，这位同学的解答过程中有错误，请你找出该同学解答中开始出现错误的地方，并用“ ”标画出来，然后写出完整的、正确的解答过程：
（3）求证：x ，y 取任何实数时，多项式222416x y x y +--+的值总为正数．
【答案】（1）2(4)17x +- ；（2）(5)(8)x x +-；（3）见解析
【解析】
试题分析：（1）根据配方法，可得答案；
（2）根据配方法，可得平方差公式，再根据平方差公式，可得答案；
（3）根据交换律、结合率，可得完全平方公式，根据完全平方公式，可得答案．
试题解析：解：（1）281x x +-
=2228441x x ++--
=2(4)17x +-
（2）2340x x -- =222333()()40222
x x -+-- =23169()24x -- =313313()()2222
x x -
+-- =(5)(8)x x +- （3）证明：222416x y x y +--+
=22214411x x y y -++-++
=22(1)(2)11x y -+-+
∵2(1)x -≥0，2(2)y -≥0，
∴22(1)(2)110x y -+-+>．
∴x ，y 取任何实数时，多项式222416x y x y +--+的值总是正数．
点睛：本题考查了配方法，利用完全平方公式：a 2±2ab +b 2=（a ±b ）2配方是解题关键．
9．仔细阅读下面例题，解答问题：
例题：已知二次三项式2x 4x m -+有一个因式是()x 3+，求另一个因式以及m 的值． 解：设另一个因式为()x n +，得
()()2x 4x m x 3x n -+=++
则()22
x 4x m x n 3x 3n -+=+++
{n 34
m 3n +=-∴=．
解得：n 7=-，m 21=- ∴另一个因式为()x 7-，m 的值为21-
问题：仿照以上方法解答下面问题：
已知二次三项式22x 3x k +-有一个因式是()2x 5-，求另一个因式以及k 的值．
【答案】()4,x + 20.
【解析】
【分析】
根据例题中的已知的两个式子的关系，二次三项式2x 4x m -+的二次项系数是1，因式是()x 3+的一次项系数也是1，利用待定系数法求出另一个因式.所求的式子22x 3x k +-的二次项系数是2，因式是()2x 5-的一次项系数是2，则另一个因式的一次项系数一定是1，利用待定系数法，就可以求出另一个因式．
【详解】
解：设另一个因式为()x a +，得
()()22x 3x k 2x 5x a +-=-+
则()22
2x 3x k 2x 2a 5x 5a +-=+-- {2a 53
5a k -=∴-=-
解得：a 4=，k 20=
故另一个因式为()x 4+，k 的值为20
【点睛】
正确读懂例题，理解如何利用待定系数法求解是解本题的关键．
10．由多项式的乘法：(x ＋a)(x ＋b)＝x 2＋(a ＋b)x ＋ab ，将该式从右到左使用，即可得到用“十字相乘法”进行因式分解的公式：
x 2＋(a ＋b)x ＋ab ＝(x ＋a)(x ＋b)．
实例 分解因式：x 2＋5x ＋6＝x 2
＋(2＋3)x ＋2×3＝(x ＋2)(x ＋3)．
(1)尝试 分解因式：x 2＋6x ＋8；
(2)应用 请用上述方法解方程：x 2－3x －4＝0.
【答案】(1) (x+2)(x ＋4)；(2) x ＝4或x ＝－1.
【解析】
【分析】
（1）类比题干因式分解方法求解可得；
（2）利用十字相乘法将左边因式分解后求解可得．
【详解】
(1)原式=(x+2)(x＋4)；
(2)x2－3x－4＝(x－4)(x＋1)＝0，所以x－4＝0或x＋1＝0，即x＝4或x＝－1.
【点睛】
本题主要考查解一元二次方程的能力，熟练掌握解一元二次方程的几种常用方法：直接开平方法、因式分解法、公式法、配方法，结合方程的特点选择合适、简便的方法是解题的关键．。