北京高考圆锥曲线文科

1、(06) 椭圆C:22
221(0)x y a b a b
+=>>的两个焦点为F 1,F 2,点P 在椭圆C 上，且
11212414,|
|,||.
33
PF F F PF PF ⊥== （Ⅰ）求椭圆C 的方程；
（Ⅱ）若直线l 过圆x 2
+y 2
+4x-2y=0的圆心，交椭圆C 于,A B 两点，且A 、B 关于点M 对称，求直线l 的方程.
2、（07）椭圆22221(0)x y a b a b +=>>的焦点为1F ，2F ，两条准线（2
=a x c
±）与x 轴的交点分别为M N ，，
若12MN F F 2≤，则该椭圆离心率的取值范围是（ ） Ａ．102⎛
⎤ ⎥⎝⎦
，
Ｂ．02⎛ ⎝⎦
，
Ｃ．112⎡⎫⎪⎢⎣⎭
，
Ｄ．12⎫
⎪⎪⎣⎭
3、(07)如图，矩形ABCD 的两条对角线相交于点(20)M ，，AB 边所在直线的方程为360x y --=点(11)T -，在AD 边所在直线上． （I ）求AD 边所在直线的方程； （II ）求矩形ABCD 外接圆的方程；
（III ）若动圆P 过点(20)N -，，且与矩形ABCD 的外接圆外切，求动圆P 的圆心的轨迹方程．
4、（08）“双曲线的方程为
221916x y -=”是“双曲线的渐近线方程为43
y x =±”的（ ） A ．充分而不必要条件 B ．必要而不充分条件C ．充分必要条件 D ．既不充分也不必要条件
5、（08）已知ABC △的顶点A B ，在椭圆2
2
34x y +=上，C 在直线2l y x =+：上，且AB l //． （Ⅰ）当AB 边通过坐标原点O 时，求AB 的长及ABC △的面积； （Ⅱ）当90ABC ∠=，且斜边AC 的长最大时，求AB 所在直线的方程．
6、（09）椭圆22
192
x y +=的焦点为12,F F ，点P 在椭圆上，若1||4PF =，则2||PF = ；12F PF ∠的大小为 .
7、（10）已知双曲线22221x y a b -=的离心率为2,焦点与椭圆
22
1259
x y +=的焦点相同,那么双曲线的焦点坐标为__________;渐近线方程为__________｡
8、（10）已知椭圆C
的左、右焦点坐标分别是(
,,
直线y t =椭圆C 交于不同
的两点M,N,以线段为直径作圆P,圆心为P 。

(Ⅰ)求椭圆C 的方程;
(Ⅱ)若圆P 与x 轴相切,求圆心P 的坐标;
(Ⅲ)设Q(x,y)是圆P 上的动点,当t 变化时,求y 的最大值｡
9、（11）已知点A(0,2),B(2,0),若点C 在函数2y x =的图象上,则使ABC ∆的面积为2的点C 的个数为 (A)4 (B)3 (C)2 (D)1
10、（11）已知双曲线22
21(0)y x b b
-=>的一条渐近线的方程为2y x =,则b =_________.
11、（11）已知椭圆G:22
221x y a b
+=(0)a b >>,右焦点为.斜率为1的直线l 与椭圆G
交于A,B 两点,以AB 为底边作等腰三角形,顶点为P(-3,2). (Ⅰ)求椭圆G 的方程; (Ⅱ)求PAB ∆面积.
12、（12）已知椭圆C :22221(0)x y a b a b
+=>>的一个顶点为(2,0)A ,.直线(1y k x =-）
与椭圆C 交于不同的两点M,N.
(Ⅰ)求椭圆C 的方程; (Ⅱ)当△AMN 时,求k 的值. 1、解法一：
(Ⅰ)因为点P 在椭圆C 上，所以6221=+=PF PF a ，a=3.在Rt △PF 1F 2中，12F F =
故椭圆的半焦距c=5,从而b 2
=a 2
－c 2
=4,所以椭圆C 的方程为4
92
2y x +＝1.
(Ⅱ)设A ，B 的坐标分别为（x 1,y 1）、（x 2,y 2）.
已知圆的方程为（x+2）2+(y －1)2
=5,所以圆心M 的坐标为（－2，1）.从而可设直线l 的方程为 y=k(x+2)+1,
代入椭圆C 的方程得（4+9k 2）x 2+(36k 2+18k)x+36k 2
+36k －27=0.
因为A ，B 关于点M 对称.所以.29491822221-=++-=+k k k x x 解得9
8
=k ， 所以直线l 的方程为,1)2(9
8
++=
x y 即8x-9y+25=0. (经检验，所求直线方程符合题意) 解法二：(Ⅰ)同解法一.
(Ⅱ)已知圆的方程为（x+2）2+(y －1)2
=5,所以圆心M 的坐标为（－2，1）. 设A ，B 的坐标分别为（x 1,y 1）,(x 2,y 2).由题意x 1≠x 2且
,1492121=+y x ① ,14
92
222=+y
x ②
由①－②得
.04
)
)((9))((21212121=+-++-y y y y x x x x
③
因为A 、B 关于点M 对称，所以x 1+ x 2=－4, y 1+ y 2=2,代入③得
2121x x y y --＝9
8
，
即直线l 的斜率为
98，所以直线l 的方程为y －1＝9
8
（x+2），即8x －9y+25=0. (经检验，所求直线方程符合题意.) 2、D
3、解：（I ）因为AB 边所在直线的方程为360x y --=，且AD 与AB 垂直，所以直线AD 的斜率为3-． 又因为点(11)T -，在直线AD 上，所以AD 边所在直线的方程为13(1)y x -=-+．320x y ++=．
（II ）由36032=0
x y x y --=⎧⎨
++⎩，
解得点A 的坐标为(02)-，，因为矩形ABCD 两条对角线的交点为(20)M ，．
所以M 为矩形ABCD
外接圆的圆心．又AM == 从而矩形ABCD 外接圆的方程为2
2
(2)8x y -+=．
（III ）因为动圆P 过点N ，所以PN 是该圆的半径，又因为动圆P 与圆M 外切，
所以PM PN =+
PM PN -=
故点P 的轨迹是以M N ，
为焦点，实轴长为的双曲线的左支．
因为实半轴长a =
2c =
．所以虚半轴长b ==
从而动圆P
的圆心的轨迹方程为22
1(22
x y x -=≤． 4、A
5、解：（Ⅰ）因为AB l //，且AB 边通过点(00)，
，所以AB 所在直线的方程为y x =． 设A B ，两点坐标分别为1122()()x y x y ，，，．由2234x y y x
⎧+=⎨=⎩，
得1x =±．
所以12AB x =-=．又因为AB 边上的高h 等于原点到直线l 的距离．
所以h =
1
22
ABC S AB h =
=△． （Ⅱ）设AB 所在直线的方程为y x m =+，
由2234x y y x m
⎧+=⎨=+⎩，得2246340x mx m ++-=．因为A B ，在椭圆上， 所以2
12640m ∆=-+>．设A B ，两点坐标分别为1122()()x y x y ，，
，， 则1232
m
x x +=-，212344m x x -=
，所以12AB x =-=．
又因为BC 的长等于点(0)m ，到直线l
的距离，即BC =
所以2
2
2
2
2
210(1)11AC AB BC m m m =+=--+=-++． 所以当1m =-时，AC 边最长，（这时12640∆=-+>） 此时AB 所在直线的方程为1y x =-．
6、2,120︒
；7、(4,0±
0y +=
8
、解:(Ⅰ)因为c a =,
且c =
所以1a b ===，所以椭圆C 的方程为
2213
x y +=. (Ⅱ)由题意知(0,)(11)p t t -<< 由22
13
y t
x y =⎧⎪⎨+=⎪⎩
得x =所以圆P
,
解得t =所以点P 的坐标是
(0,±(Ⅲ)由(Ⅱ)知,圆P 的方程22
2
()3(1)x y t t +-=-｡因为点(,)Q x y 在圆P 上｡
所以y t t =≤+设cos ,(0,)t θθπ=∈,
则cos 2sin()6
t π
θθθ+=+=+ ,当3
πθ=
,即1
2
t =
,且0x =,y 取最大值2. 9、A 10、2
11、【解析】(Ⅰ)由已知得
,c =
3c a =
解得a =又222
4b a c =-=,所以椭圆方程为221124x y +=
(Ⅱ)设直线l 的方程为y x m =+, 由221124
y x m x y =+⎧⎪
⎨+
=⎪⎩,得22463120x mx m ++-=
设
A 、B
两点的坐标分别为11(,)x y ,22(,)x y 12(x x <）,AB
的中点为00(,)x y ,则
120324x x m x +=
=-
,004
m
y x m =+= 因为AB 是等腰三角形PAB ∆的底边,所以PE AB ⊥, 所以PE 的斜率241334
m
k m -
=
=--+
,解得2m =. 此时方程为24120x x +=,解得123,0x x =-=,所以121,2y y =-= 此时,点P(-3,2)到直线AB:x-y+2=0
的距离为d = ，所以PAB ∆面积为19
||22S AB d =⋅=
12、解:(1)
由题意得222
22a c
a a
b
c =⎧⎪
⎪=
⎨⎪=+⎪⎩
解得b =.所以椭圆C 的方程为22142x y +=. (2)由22(1)142
y k x x y =-⎧⎪⎨+
=⎪⎩得2222
(12)4240k x k x k +-+-=. 设点M,N 的坐标分别为11(,)x y ,22(,)x y ,则
11(1)y k x =-,22(1)y k x =-,2122412k x x k +=+,2122
24
12k x x k -=+.
所以
.
由因为点A(2,0)到直线(1y k x =-）
的距离d =,
所以△AMN
的面积为21||||212k S MN d k =⋅=+.
由2||123
k k =+解得1k =±.
13、（10海淀）已知椭圆C 的对称中心为原点O ，焦点在x 轴上，离心率为12， 且点（1，3
2
）在该椭圆上.
（I ）求椭圆C 的方程；
（II ）过椭圆C 的左焦点1F 的直线l 与椭圆C 相交于,A B 两点，若AOB ∆的面积为7
2
6，求圆心在原点O 且与直线l 相切的圆的方程.
13、解：（I ）设椭圆C 的方程为22221,(0)x y a b a b +=>>，由题意可得 2
1
==a c e ,
又2
2
2
c b a +=，所以2
2
4
3a b =
……………2分 因为椭圆C 经过（1，32），代入椭圆方程有 14
349
1
22=+a a 解得2=a ……………4分
所以1c = ，2
413b =-=故椭圆C 的方程为 22
143
x y +=. ……………5分 （Ⅱ）解法一：当直线l x ⊥轴时，计算得到：33(1,),(1,)22
A B ---，
1113
||||13222
AOB S AB OF ∆=⋅⋅=⨯⨯=，不符合题意. ……………6分
当直线l 与x 轴不垂直时，设直线l 的方程为：(1)y k x =+,0≠k
由22(1)143
y k x x y =+⎧⎪⎨+
=⎪⎩，消去y ，得 2222(34)84120k x k x k +++-= …………7分
显然0∆>成立，设1122(,),(,)A x y B x y ，则21228,34k x x k +=-+ 2122
412
34k x x k
-⋅=+……………8分 又2212221221221)()()()(||x x k x x y y x x AB -+-=-+-=
==
=……………9分 即
22212(1)||3434k AB k k +==++又圆O
的半径r == …………10分
所以221112(1)||22347AOB
k S AB r k ∆+=⋅⋅=⋅==+……………11分 化简，得4217180k k +-=，即2
2
(1)(1718)0k k -+=，解得22
1218
1,17
k k ==-
（舍）………12分
所以，2
r =
=
，故圆O 的方程为：22
12x y +=. ……………13分
（Ⅱ）解法二：设直线l 的方程为 1x ty =-，
由221
14
3x ty x y =-⎧⎪⎨+=⎪⎩，消去x ，得 22(43)690t y ty +--= ……………7分
因为0∆>恒成立，设1122(,),(,)A x y B x y ，则1212
22
69
,4343t y y y y t t +=
⋅=-++ ……………8分
所以12||y y -=
=
= ……………9分
所以11221||||2437
AOB
S F O y y t ∆=⋅⋅-==+ 化简得到4218170t t --=，即0)1)(1718(22=-+t t ，解得211,t =2
217
18
t =-
（舍）…………11分 又圆O
的半径为r =
=
……………12分
所以
2
r==，故圆O的方程为：22
1
2
x y
+=……………13分.
14、（11海淀）已知椭圆
22
22
:1
x y
C
a b
+=(0)
a b
>>经过点
3
(1,),
2
M其离心率为
1
2
.
（Ⅰ）求椭圆C的方程；
(Ⅱ)设直线l与椭圆C相交于A、B两点，以线段,
OA OB为邻边作平行四边形OAPB，其中顶点P在椭圆C上，O为坐标原点. 求O到直线距离的l最小值.
14、解：（Ⅰ）由已知，
22
2
2
1
4
a b
e
a
-
==，所以22
34
a b
=，①…………………1分又点
3
(1,)
2
M在椭圆C上，所以
22
19
1
4
a b
+=，②…………………2分由①②解之，得22
4,3
a b
==.故椭圆C的方程为
22
1
43
x y
+=. …………………5分 (Ⅱ) 当直线l有斜率时，设y kx m
=+
时，则由
22
,
1.
43
y kx m
x y
=+
⎧
⎪
⎨
+=
⎪⎩
消去y得，222
(34)84120
k x kmx m
+++-=，…………………6分
222222
644(34)(412)48(34)0
k m k m k m
∆=-+-=+->，③…………7分
设A、B、P点的坐标分别为112200
(,)(,)(,)
x y x y x y
、、，则：
01201212
22
86
,()2
3434
km m
x x x y y y k x x m
k k
=+=-=+=++=
++，
…………8分由于点P在椭圆C上，所以
22
001
43
x y
+=. ……… 9分从而
222
2222
1612
1
(34)(34)
k m m
k k
+=
++
，化简得22
434
m k
=+，经检验满足③式.
………10分
又点O到直线l
的距离为：
d===≥=………11分
当且仅当0
k=时等号成立…………12分当直线l无斜率时，由对称性知，点P一定在x轴上，
从而P点为(2,0),(2,0)
-，直线l为1
x=±，所以点O到直线l的距离为1 ……13分
所以点O 到直线l
的距离最小值为
2
……14分 15、（11海淀）已知椭圆C :2222 1 (0)x y a b a b +=>>两个焦点之间的距离为2
，且其离心率为2
.
(Ⅰ) 求椭圆C 的标准方程；
(Ⅱ) 若F 为椭圆C 的右焦点，经过椭圆的上顶点B 的直线与椭圆另一个交点为A ，且满 足=2BA BF ⋅，求ABF ∆外接圆的方程. 15、解：(Ⅰ)2
2,22==
=a c e c ， ……………1分 2,1=
=∴a c ， 122=-=∴c a b ， …………4分
椭圆C 的标准方程是 12
22
=+y x . ………………5分 (Ⅱ)由已知可得)0,1(),1,0(F B ， …………………6分 设),(00y x A ，则)1,1(),1,(00-=-=BF y x BA ， 2=⋅BF BA ，
2)1(00=--∴y x ，即001y x += ， …………………8分
代入122
020=+y x ，得：⎩⎨⎧-==1000y x 或⎪⎪⎩
⎪⎪⎨⎧==31
3400y x ，即)1,0(-A 或)31,34(A . ………………10分 当A 为)1,0(-时，1===OF OB OA ,ABF ∆的外接圆是以O 为圆心，以1为半径的圆，该外接圆的方程为12
2
=+y x ； ………………12分
当A 为)3
1
,34(时，1,1=-=AF BF k k ，所以ABF ∆是直角三角形，其外接圆是以线段BA 为直径的圆.由线段BA 的中点)32,32(以及3
5
2=
BA 可得ABF ∆的外接圆的方程为 9
5
)32()32(22=-+-y x . ………………14分
综上所述，ABF ∆的外接圆的方程为12
2=+y x 或9
5)32()32(22=-+-y x .。