高三数学教案：函数的概念

2.1函数的概念
一、[基础知识]
（一） 映射
（1）映射：设A 、B 是两个集合，如果按照某种映射法则f ，对于集合A 中的任一个元素，在集合B 中都有唯一的元素和它对应，则这样的对应（包括集合A 、B 以及A 到B 的对应法则f ）叫做集合A 到集合B 的映射，记作f ：A →B 。

（2）象与原象：如果给定一个从集合A 到集合B 的映射，那么集合A 中的元素a 对应的B 中的元素b 叫做a 的象，a 叫做b 的原象。

注意点：（1）对映射定义的理解。

（2）判断一个对应是映射的方法。

（二） 函数
（1）函数的定义
①原始定义：设在某变化过程中有两个变量x 、y ，如果对于x 在某一范围内的每一个确定的值，y 都有唯一确定的值与它对应，那么就称y 是x 的函数，x 叫作自变量。

②近代定义：设A 、B 都是非空的数的集合，f ：x →y 是从A 到B 的一个对应法则，那么从A 到B 的映射f ：A →B 就叫做函数，记作y=f(x)，其中B y A x ∈∈,，原象集合A 叫做函数的定义域，象集合C 叫做函数的值域。

（2）构成函数概念的三要素
①定义域②对应法则③值域
注意：强调分段函数的表示形式及解题方法。

二、例题选讲
关于函数三要素
例1(或P10:例1)、下列各组函数中，表示相同函数的是（D ）
()()()x x g x x f A ln 2,
ln 2== ()()()
()x x g a a a x f B x a =≠>=,1,0log ()()()[]1,1(1,12
-∈-=-=x x x g x x f C ()()()33),
1,0(log x x g a a x f D x a
a =≠>= 练习：
变式题（一）：下列各对函数中，相同的是（D ）
()()()x x g x x f A ==,2 ()()()x x g x x f B lg 2,lg 2==
()()()()()1lg 1lg ,1
1lg +--=+-=x x x g x x x f C ()()()v v v g u u u f D -+=-+=11,11 关于函数（映射）定义
例2．（P10：例2）
变式一：设集合A 和B 都是自然数集合N ，映射f ：A →B 把集合A 中的元素n 映射到集合B 中的元素2n +n ，则在映射f 下，像20的原象是（c ）
A 、2
B 、3
C 、4
D 、5 变式二
{}{}13:,,,3,,7,4,,3,2,124+=→∈+==*x y x f N n m n n n N m M 映射已知集合 是从M 到N 的一个函数，则m,n 的值分别为（B ）
（A ）2，5 （B ）5，2 （C ）3，6 （D ）6，3 练习1：、设” f ：A →B ”是从A 到B 的一个映射，其中(){}R y x y x B A ∈==,,，()()xy y x y x f ,,:+→,则A 中元素（1，-2）的象是 (-1,-2) ，B 中的元素（1，-2）的原象是 (-1,2)或（2，-1） 。

练习2： {}{}
20,20≤≤=≤≤=y y N x x M 给出的四个图形，其中能表示集合M 到N 的函数关系的有（B ）
A 、 0个
B 、1个
C 、2个
D 、3个
关于分段函数
例3 ()()()
()的值求已知912,0lg )0(sin 1-⋅⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎩⎨⎧<-≥=+f f x x x x x f π 参考答案：1 变式1（山东卷）函数21sin(),10,(),0.
x x x f x e x π-⎧-<<⎪=⎨≥⎪⎩，若(10()2,f f a +=则a 的所有可能值为（ C ）
（A ）1 （B
）2- （C
）1,2- （D
）1,2
练习1：考例4：()()⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≥<<--≤+=22
)21(2)1(22x x x x x x x f 已知函数
()1471=⎭⎬⎫
⎩⎨⎧⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎪⎭⎫ ⎝⎛-f f f 求()().,32的值求若a a f =6,23
练习2。

（2004. 人教版理科）设函数⎪⎩⎪⎨⎧≥--<+=1
,141,)1()(2x x x x x f ，则使得1)(≥x f 的自变量x 的取值范围为（ A ）
A 、(][]10,02, -∞-
B 、(][]1,02, -∞-
C 、(][]10,12, -∞-
D 、[)[]10,10,2 - 提高与加深
例5、{}{}1,0,1,,,-==N c b a M 设
（1） 求从M 到N 的映射的个数；27个
（2） 从M 到N 的映射满足f(a)+f(b)+f(c)=0，试确定这样的映射f 的个数。

7个
练习：设集合{}{}M x N M f N M ∈→=-=使对任意的映射,:,5,,3,2,1,0,1
都有x+f(x)+xf(x)是奇数，这样的映射f 共有（18）个。

三、小结
1.判断两个函数是否同一，要紧扣函数概念三要素：定义域、值域和从定义域到值域的对应法则。

2、映射的定义是有方向性的，即从集合A 到B 与从集合B 到A 的映射是两个不同的映射，映射是一种特殊对应关系，只有一对一、多对一的对应才是映射。

3、分段函数是重点和难点，关键是分段解决
四、作业：优化设计P 11 闯关训练
备1、下列对应是否为从A 到B 的映射？能否构成函数？
()11:,
,1+=→==x y x f R B R A ()a b a f N n n b b B N a a A 1:,,1,212=→⎭
⎬⎫⎩⎨⎧∈==⎭⎬⎫⎩⎨⎧∈=* (){}{}作矩形的外接圆内的圆平面内的矩形平面:,
,3f B A αα== 解（1）不是映射
（2）是映射，也是函数
（3）是映射，不是函数
备2.(浙江)设f (x )＝|x －1|－|x |，则f [f (2
1)]＝( D ) (A) －21 (B)0 (C)2
1 (D) 1 备3（2004.湖南理）设函数,2)2(),0()4(.0,
2,0,0,)(2-=-=-⎩⎨⎧>≤≤++=f f f x x x c bx x x f 若则关于x
的方程x x f )(解的个数为
（ C ） A ．1 B ．2 C ．3 D ．4。