高三数学精品教案：专题1：函数专题(理科)
最新版高中数学函数教案
最新版高中数学函数教案
一、教学内容：
本课程将主要讲解高中数学中的函数相关内容，包括函数的概念、性质、图像、极限等内容。
二、教学目标：
1. 掌握函数的定义和性质；
2. 理解函数图像的基本特征；
3. 掌握函数的极限概念及其应用。
三、教学重点：
1. 函数的定义和性质；
2. 函数图像的基本特征；
3. 函数极限的计算和应用。
四、教学步骤：
1. 引言（5分钟）：介绍本节课的教学内容和目标；
2. 函数的定义和性质（15分钟）：讲解函数的定义和性质，包括定义域、值域等；
3. 函数图像的基本特征（20分钟）：讲解函数图像的基本特征，包括对称性、奇偶性等；
4. 函数极限的计算和应用（20分钟）：讲解函数极限的计算方法和应用场景；
5. 练习与作业（10分钟）：布置相关练习，并检查学生的掌握情况。
五、教学工具：
1. 教材
2. 黑板
3. 彩色粉笔
4. 练习册
六、教学评估：
1. 学生课堂表现评价；
2. 练习和作业质量评价；
3. 学生能力提升情况评价。
七、教学反思：
1. 教学内容是否清晰易懂；
2. 学生的知识掌握情况如何；
3. 是否需要对某些知识点进行强化讲解。
以上为本节课程的教案范本，希朧能对您的教学工作有所帮助。
祝您教学顺利！。
高中数学专题函数教案设计
高中数学专题函数教案设计
1. 知识与技能：学生能够掌握函数的定义、性质和图像，并能够灵活运用函数进行求解问题。
2. 情感态度与价值观：培养学生对数学的兴趣和自信心，激发学生对数学的探究欲望。
二、教学重难点
1. 函数的定义和性质。
2. 函数的图像及其性质。
三、教学过程
1. 导入新课（5分钟）
- 通过引入实际生活中的问题，让学生了解函数的实际意义。
- 提出问题：如果一个人跑步的速度是一个关于时间的函数，那么这个函数的图像会是什么样子？
2. 讲解函数定义及性质（15分钟）
- 介绍函数的定义和符号表示。
- 讲解函数的性质：奇函数、偶函数、周期函数等。
3. 练习与讨论（20分钟）
- 给学生几道练习题，让他们通过计算来加深对函数的理解。
- 让学生讨论不同函数的特点和性质。
4. 函数图像的绘制（20分钟）
- 讲解如何根据函数的性质来绘制函数图像。
- 让学生尝试绘制一些简单函数的图像。
5. 拓展应用（10分钟）
- 给学生一些更复杂的问题，让他们灵活运用函数进行求解。
- 鼓励学生思考如何将数学知识应用到实际生活中。
6. 总结（5分钟）
- 对本节课学习的内容进行总结，并对下节课内容进行铺垫。
四、教学反思
本节课采用了案例引导和实践操作相结合的教学方法，通过引入实际问题和练习题的方式来引发学生的学习兴趣，并通过绘制函数图像来帮助学生更深入地理解函数的性质。
在设计教学过程中，需要注意设置适量的练习和拓展应用，引导学生主动思考和探索，使他们在实践中真正掌握函数的相关知识和技能。
高中数学函数教案优秀教案
高中数学函数教案优秀教案教学内容: 函数的定义、函数的性质、函数的图像、函数的运算、复合函数教学目标:1. 了解函数的定义和性质，掌握函数的基本概念；2. 能够根据函数的图像进行函数的分析和运算；3. 能够熟练地进行函数的运算和复合函数的求解。
教学步骤:一、引入导入: (5分钟)1. 引入函数的概念，让学生通过举例子来理解什么是函数；2. 通过实际生活中的例子，让学生了解函数的作用和重要性。
二、函数的定义和性质的讲解: (15分钟)1. 给出函数的定义，让学生理解函数的概念；2. 讲解函数的性质，包括定义域、值域、奇偶性等；3. 通过例题让学生掌握函数的性质和特点。
三、函数的图像及运算: (20分钟)1. 给出不同类型函数的图像，让学生通过观察和分析来学习函数的特点；2. 讲解函数的运算规则，包括加减乘除、复合函数等；3. 通过练习题来巩固学生对函数的运算能力。
四、复合函数的求解: (15分钟)1. 讲解复合函数的概念和求解方法；2. 通过例题让学生掌握复合函数的求解技巧；3. 提出挑战性问题，让学生运用所学知识解决问题。
五、课堂练习及总结: (10分钟)1. 分发练习题，让学生独立进行练习；2. 在学生完成练习后，进行讲解和答疑；3. 总结本节课的重点内容，梳理函数的知识点。
教学反思:通过本节课的教学，学生对函数的概念、性质、图像、运算和复合函数等方面有了更深入的了解。
在教学中，通过举例、讲解和练习相结合的方式，提高了学生对函数学习的兴趣和理解能力。
希望学生能够在课后继续进行复习和巩固，进一步提高对函数的理解和运用能力。
以上是本节课的教案内容，希朥对教学有所帮助。
高中数学函数教学设计（精选5篇）
高中数学函数教学设计（精选5篇）一、函数的概念在一个变化过程中，发生变化的量叫变量（数学中，变量为x，而y则随x值的变化而变化），有些数值是不随变量而改变的，我们称它们为常量。
自变量（函数）：一个与它量有关联的变量，这一量中的任何一值都能在它量中找到对应的固定值。
因变量（函数）：随着自变量的变化而变化，且自变量取唯一值时，因变量（函数）有且只有唯一值与其相对应。
函数值：在y是x的函数中，x确定一个值，y就随之确定一个值，当x取a时，y就随之确定为b，b就叫做a的函数值。
二、高中数学函数教学设计（精选5篇）作为一名默默奉献的教育工作者，总归要编写教学设计，教学设计是一个系统化规划教学系统的过程。
我们该怎么去写教学设计呢？下面是小编收集整理的高中数学函数教学设计（精选5篇），仅供参考，大家一起来看看吧。
高中数学函数教学设计1教学目标1、通过对幂函数概念的学习以及对幂函数图象和性质的归纳与概括，让学生体验数学概念的形成过程，培养学生的抽象概括能力。
2、使学生理解并掌握幂函数的图象与性质，并能初步运用所学知识解决有关问题，培养学生的灵活思维能力。
3、培养学生观察、分析、归纳能力。
了解类比法在研究问题中的作用。
教学重点、难点重点：幂函数的性质及运用难点：幂函数图象和性质的发现过程教学方法：问题探究法教具：多媒体教学过程一、创设情景，引入新课问题1：如果张红购买了每千克1元的水果w千克，那么她需要付的钱数p(元)和购买的水果量w(千克)之间有何关系?(总结：根据函数的定义可知，这里p是w的函数)问题2：如果正方形的边长为a，那么正方形的面积，这里S是a 的函数。
问题3：如果正方体的边长为a，那么正方体的体积,这里V是a的函数。
问题4：如果正方形场地面积为S，那么正方形的边长,这里a是S 的函数。
问题5：如果某人s内骑车行进了km，那么他骑车的速度，这里v是t的函数。
以上是我们生活中经常遇到的几个数学模型，你能发现以上几个函数解析式有什么共同点吗?(右边指数式，且底数都是变量)这只是我们生活中常用到的一类函数的几个具体代表，如果让你给他们起一个名字的话，你将会给他们起个什么名字呢?(变量在底数位置，解析式右边都是幂的形式)(适当引导：从自变量所处的位置这个角度)(引入新课，书写课题)二、新课讲解由学生讨论，(教师可提示p=w可看成p=w1)总结，即可得出：p=w,s=a2,a=s,v=t-1都是自变量的若干次幂的形式。
高中数学专题函数教案模板
一、教案标题《高中数学专题函数》二、教学目标1. 知识与技能目标：（1）理解函数的基本概念，掌握函数的定义域、值域、对应法则等基本属性。
（2）熟练运用函数性质分析函数图像，解决实际问题。
（3）掌握函数的单调性、奇偶性、周期性等特性，并能进行判断和证明。
2. 过程与方法目标：（1）通过实例分析，培养学生观察、分析、归纳的能力。
（2）通过小组合作，提高学生的沟通与协作能力。
（3）运用数形结合的思想，培养学生的直观思维能力。
3. 情感、态度与价值观目标：（1）激发学生对数学学习的兴趣，培养数学思维。
（2）培养学生勇于探索、善于总结的精神。
（3）树立正确的价值观，认识到数学在生活中的应用。
三、教学重难点1. 教学重点：（1）函数的基本概念及性质。
（2）函数图像的分析与应用。
（3）函数的单调性、奇偶性、周期性的判断与证明。
2. 教学难点：（1）从具体实例中抽象出函数概念。
（2）函数图像的解析与应用。
（3）函数单调性、奇偶性、周期性的证明。
四、教学过程（一）导入新课1. 复习初中阶段函数的概念，如一次函数、二次函数等。
2. 引导学生回顾函数的定义域、值域、对应法则等基本属性。
3. 提出问题：如何将实际问题转化为函数问题？（二）讲解新知1. 利用多媒体展示实例，如加油站储油罐的储油量和高度的关系、高速公路总里程与年份的关系等。
2. 引导学生分析归纳以上实例，变量分别是谁、变量的范围是什么、变量之间存在的关系是什么、这些例子有什么共同特点。
3. 介绍函数的基本概念，如定义域、值域、对应法则等。
4. 讲解函数图像的基本性质，如函数图像的上升、下降、拐点等。
（三）巩固练习1. 练习1：判断以下函数的定义域、值域和对应法则。
2. 练习2：分析以下函数图像，并回答相关问题。
3. 练习3：证明以下函数的单调性、奇偶性、周期性。
（四）课堂小结1. 总结本节课所学内容，强调函数的基本概念、性质及图像分析。
2. 引导学生回顾本节课的重点和难点，并提出问题。
高中数学专题函数教案模板
高中数学专题函数教案模板
一、教学目标：
1. 理解函数的基本概念；
2. 掌握函数的定义和性质；
3. 能够求解函数的定义域、值域和单调性；
4. 能够绘制函数的图像。
二、教学重点：
1. 函数的定义和性质；
2. 函数的图像绘制。
三、教学难点：
1. 函数的单调性；
2. 函数的图像绘制。
四、教学准备：
1. 课件、教材、作业本；
2. 黑板、彩色粉笔；
3. 实验器材。
五、教学过程：
1. 导入：通过举例引入函数的概念，让学生了解函数的意义；
2. 讲解：讲解函数的定义和性质，重点讲解函数的单调性；
3. 实验：让学生通过实验验证函数的性质，如函数的定义域和值域；
4. 练习：让学生通过练习巩固所学内容，并解决相关问题；
5. 辅导：对学生提出的问题进行解答和辅导；
6. 总结：对本节课的内容进行总结，并布置下节课的作业。
六、教学反思：
1. 学生的学习情况：学生是否理解了函数的定义和性质；
2. 教学方法的效果：教师采用的教学方法是否得当；
3. 改进措施：针对学生的学习情况和教学效果，进行相应的改进措施。
七、作业布置：
1. 完成课堂练习；
2. 阅读教材相关章节。
以上就是本次高中数学专题函数教案的模板范本，可根据实际情况进行调整和完善。
希望对您有所帮助！。
高中数学函数专题课教案
高中数学函数专题课教案
一、课时安排
本专题课共分为2个课时，每节课45分钟。
二、教学目标
1. 理解函数的定义、性质和分类；
2. 掌握常见函数的图象、性质和变化规律；
3. 培养学生分析和解决问题的能力。
三、教学内容
1. 函数的定义和性质；
2. 常见函数的图象和性质；
3. 函数的分类和变化规律。
四、教学重点
1. 函数的定义和性质；
2. 常见函数的图象和性质。
五、教学步骤
第一课时：
1. 引入：通过一个生活中的例子引出函数的概念，让学生了解函数的定义；
2. 讲解函数的性质，包括定义域、值域、单调性、奇偶性等；
3. 讲解常见函数：一次函数、二次函数、指数函数、对数函数等的图象和性质；
4. 练习：让学生做一些相关题目，巩固所学内容。
第二课时：
1. 复习上节课内容；
2. 讲解不同类型函数的分类和变化规律；
3. 分组讨论：让学生在小组内分析给定函数的性质，并说明所属类型；
4. 结束：进行一次小结，梳理本专题课的重要知识点。
六、教学资源
1. 教科书；
2. 课件；
3. 录播课程。
七、课后作业
1. 完成相关练习题，巩固所学知识；
2. 思考如何应用所学知识解决实际生活中的问题。
八、反馈与评价
1. 收集学生对本专题课的反馈意见，做好教学总结；
2. 根据学生的表现评价他们的学习情况，及时给予建议和指导。
以上就是本次数学函数专题课教案的具体安排，希朥对您有所帮助。
高中数学函数教案设计
高中数学函数教案设计教学目标：
1. 理解数学函数的定义和基本属性；
2. 掌握函数的分类和图像表示方法；
3. 能够解决与函数相关的实际问题。
教学重点：
1. 函数的定义；
2. 函数的性质；
3. 函数的图像表示。
教学难点：
1. 函数的符号表示和含义；
2. 函数的性质和应用。
教学内容和安排：
一、函数的引入和定义（30分钟）
1. 介绍函数的概念和意义；
2. 讨论函数的定义和符号表示；
3. 示例解析函数的应用。
二、函数的性质与分类（40分钟）
1. 函数的奇偶性和周期性；
2. 线性函数、二次函数、指数函数等的分类；
3. 练习掌握函数的性质。
三、函数的图像表示（30分钟）
1. 函数的图像与坐标系；
2. 函数的图像性质及应用；
3. 实例演练函数的图像表示。
四、综合应用与拓展（20分钟）
1. 拓展函数的应用领域；
2. 解决函数相关的实际问题；
3. 总结学习内容并展示学习成果。
教学方法：
1. 教师讲解与学生互动；
2. 小组讨论与展示；
3. 个人练习与总结。
教具准备：
1. 教科书、笔记本电脑；
2. 黑板、彩色粉笔；
3. 典型函数图像示意图。
教学评估：
1. 定期小测验；
2. 课堂练习与讨论；
3. 课后作业与反馈。
高中数学函数教案
高中数学函数教案教案标题：高中数学函数教案教案目标：1. 理解函数的定义及其在数学中的重要性。
2. 掌握常见的函数类型和函数图像的特征。
3. 学会使用函数的性质和图像解决实际问题。
4. 培养学生的逻辑思维和问题解决能力。
教案概述：本教案旨在帮助高中学生全面理解和掌握数学函数的概念、性质和应用。
通过引导学生进行实际问题的分析和解决，培养学生的数学思维和创造力。
教案将分为以下几个部分：函数的定义及基本性质、常见函数类型和图像、函数的应用、综合练习和评估。
教案详细内容：一、函数的定义及基本性质1. 引入函数的概念，解释自变量和因变量的关系。
2. 解释函数的定义及其符号表示。
3. 介绍函数的定义域、值域和对应关系。
4. 解释函数的奇偶性、单调性和周期性等基本性质。
二、常见函数类型和图像1. 介绍线性函数、二次函数、指数函数和对数函数等常见函数类型。
2. 分析每种函数类型的定义、图像和性质。
3. 引导学生通过变换函数图像来理解函数的平移、伸缩和翻转等操作。
三、函数的应用1. 引导学生通过实际问题来理解函数的应用。
2. 解释函数在数学建模、经济学和物理学等领域的应用。
3. 引导学生分析和解决实际问题，如最优化问题和函数的最大最小值等。
四、综合练习和评估1. 提供一些练习题，涵盖函数的定义、性质和应用。
2. 引导学生进行小组或个人讨论，解决综合性问题。
3. 设计一份评估测试，检验学生对函数的理解和应用能力。
教学方法和策略：1. 启发式教学法：通过引导学生思考和发现，激发他们的学习兴趣。
2. 实例演示法：通过具体的例子来解释函数的概念和性质，帮助学生更好地理解。
3. 探究式学习：鼓励学生自主探索函数的图像和性质，培养他们的问题解决能力。
教学资源：1. 教科书和课堂教材：提供理论知识和例题。
2. 多媒体资源：使用投影仪或电子白板展示函数图像和实际应用。
3. 练习题和评估测试：用于巩固和评估学生的学习效果。
教学评估：1. 课堂参与度：观察学生在课堂上的积极参与程度。
高中数学函数优秀教案
高中数学函数优秀教案课时：1课时教学目标：1. 了解函数的定义和性质2. 掌握函数的基本概念和符号表示3. 能够求解简单的函数值和函数的定义域教学重点：1. 函数的定义和性质2. 函数的符号表示和基本概念教学难点：1. 函数的概念和定义2. 函数的性质和符号表示教学准备：1. 教材《高中数学》2. 讲义和习题册3. 教学投影仪和电脑教学过程：一、导入（5分钟）教师引导学生回顾函数的概念，并提出问题引入本节课的内容：1. 什么是函数？2. 函数的性质有哪些？3. 函数的符号表示是什么？二、讲解函数的定义和性质（10分钟）1. 函数的定义：对于两个集合A和B，如果存在一对一的规则f，使得对于A中的任意元素x，都存在唯一的元素y与之对应，且y∈B，那么我们称f为从A到B的一个函数，用符号表示为：y=f(x)。
2. 函数的性质：函数的定义域、值域和图像。
三、练习与讨论（15分钟）1. 学生完成课堂练习题目，加深对函数的理解。
2. 小组讨论解答问题，引导学生探讨函数定义域和值域的关系。
四、总结（5分钟）总结本节课的重点内容：函数的定义和性质，强调函数在数学问题中的重要性和应用。
五、作业布置（5分钟）1. 完成课后习题册上的练习题目。
2. 阅读教材相关内容，准备下节课的知识点。
教学反思：通过本节课的教学，学生对函数的定义和性质有了初步的了解，基本掌握了函数的基本概念和符号表示。
在教学过程中，学生表现积极，能够主动思考和讨论问题，提高了学生的数学思维能力和解决问题的能力。
下一节课将继续深入探讨函数的应用和性质，提高学生对函数的理解和运用能力。
高三数学一轮复习精品教案1：2.1函数及其表示教学设计
2.1 函数及其表示1．函数映射的概念(1)函数的定义域、值域：在函数y＝f(x)，x∈A中，x叫做自变量，x的取值范围A叫做函数的定义域；与x的值相对应的y值叫做函数值，函数值的集合{f(x)|x∈A}叫做函数的值域．显然，值域是集合B的子集．(2)函数的三要素：定义域、值域和对应关系．(3)相等函数：如果两个函数的定义域和对应关系完全一致，则这两个函数相等，这是判断两函数相等的依据．(4)函数的表示法表示函数的常用方法有：解析法、图像法、列表法．3．分段函数若函数在其定义域内，对于定义域内的不同取值区间，有着不同的对应关系，这样的函数通常叫做分段函数．分段函数虽然由几部分组成，但它表示的是一个函数．1．解决函数的一些问题时，易忽视“定义域优先”的原则．2．易混“函数”与“映射”的概念：函数是特殊的映射，映射不一定是函数，从A到B的一个映射，A 、B 若不是数集，则这个映射便不是函数． 3．误把分段函数理解为几种函数组成． 『试一试』1．(2013·苏锡常镇一调)已知常数t 是负实数，则函数f (x )＝12t 2－tx －x 2的定义域是________． 『解析』因为f (x )＝12t 2－tx －x 2＝－x ＋3t x ＋4t ，则(－x ＋3t )(x ＋4t )≥0.又t <0，所以x ∈『3t ，－4t 』． 『答案』『3t ，－4t 』2．(2013·扬州期末)已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧log 2x ，x >0，3x ，x ≤0，则f (f (0))＝________.『解析』因为f (0)＝30＝1，所以f (f (0))＝f (1)＝log 21＝0. 『答案』0求函数解析式的四种常用方法(1)配凑法：由已知条件f (g (x ))＝F (x )，可将F (x )改写成关于g (x )的表达式，然后以x 替代g (x )，便得f (x )的表达式；(2)待定系数法：若已知函数的类型(如一次函数、二次函数)可用待定系数法；(3)换元法：已知复合函数f (g (x ))的解析式，可用换元法，此时要注意新元的取值范围； (4)解方程组法：已知关于f (x )与f ⎝⎛⎭⎫1x 或f (－x )的表达式，可根据已知条件再构造出另外一个等式组成方程组，通过解方程求出f (x )． 『练一练』1．设g (x )＝2x ＋3，g (x ＋2)＝f (x )，则f (x )等于________． 『解析』f (x )＝g (x ＋2)＝2(x ＋2)＋3＝2x ＋7. 『答案』2x ＋72．若f (x )＝x 2＋bx ＋c ，且f (1)＝0，f (3)＝0，则f (x )＝________.『解析』由题意得⎩⎪⎨⎪⎧ 1＋b ＋c ＝0，9＋3b ＋c ＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧b ＝－4，c ＝3.∴f (x )＝x 2－4x ＋3. 『答案』x 2－4x ＋3考点一函数与映射的概念1.下列四组函数中，表示同一函数的是________．(填写序号)①y ＝x －1与y ＝x －12②y ＝x －1与y ＝x －1x －1 ③y ＝4lg x 与y ＝2lg x 2 ④y ＝lg x －2与y ＝lgx 100『答案』④2．以下给出的同组函数中，是否表示同一函数？为什么？ (1)f 1：y ＝xx ；f 2：y ＝1.(2)f 1：y ＝⎩⎪⎨⎪⎧1，x ≤1，2，1<x <2，3，x ≥2；f 2：(3)f 1：y ＝2x ；f 2：如图所示．『解析』(1)不同函数．f 1(x )的定义域为{x ∈R |x ≠0}，f 2(x )的定义域为R .(2)同一函数．x 与y 的对应关系完全相同且定义域相同，它们是同一函数的不同表示方式． (3)同一函数．理由同(2)．『备课札记』 『类题通法』两个函数是否是同一个函数，取决于它们的定义域和对应关系是否相同，只有当两个函数的定义域和对应关系完全相同时，才表示同一函数．另外，函数的自变量习惯上用x 表示，但也可用其他字母表示，如：f (x )＝2x －1，g (t )＝2t －1，h (m )＝2m －1均表示同一函数．考点二函数的定义域问题函数的定义域是使函数有意义的自变量取值的集合，它是函数不可缺少的组成部分.归纳起来常见的命题角度有：1求给定函数解析式的定义域； 2已知f x 的定义域，求f g x 的定义域；3已知定义域确定参数问题.角度一 求给定函数解析式的定义域 1．(1)(2013·山东高考改编)函数f (x )＝1－2x ＋1x ＋3 的定义域为________． (2)(2013·安徽高考)函数y ＝ln ⎝⎛⎭⎫1＋1x ＋1－x 2的定义域为________． 『解析』(1)由题意，自变量x 应满足⎩⎪⎨⎪⎧1－2x ≥0，x ＋3>0，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ≤0，x >－3，∴－3<x ≤0.(2)要使函数有意义，需⎩⎪⎨⎪⎧ 1＋1x >0，1－x 2≥0，即⎩⎪⎨⎪⎧x ＋1x >0，x 2≤1，即⎩⎪⎨⎪⎧x <－1或x >0，－1≤x ≤1，解得0<x ≤1，所以定义域为(0,1』．『答案』(1)(－3,0』 (2)(0,1』角度二 已知f (x )的定义域，求f (g (x ))的定义域2．已知函数f (x )的定义域是『－1,1』，求f (log 2x )的定义域． 『解析』∵函数f (x )的定义域是『－1,1』，∴－1≤log 2x ≤1， ∴12≤x ≤2.故f (log 2x )的定义域为⎣⎡⎦⎤12，2. 『备课札记』 角度三 已知定义域确定参数问题 3．(2014·合肥模拟)若函数f (x )＝ 2x 2＋2ax －a －1的定义域为R ，则a 的取值范围为________．『解析』函数f (x )的定义域为R ，所以2x 2＋2ax －a －1≥0对x ∈R 恒成立，即2x 2＋2ax －a ≥1，x 2＋2ax －a ≥0恒成立，因此有Δ＝(2a )2＋4a ≤0，解得－1≤a ≤0. 『答案』『－1,0』 『类题通法』简单函数定义域的类型及求法(1)已知函数的解析式，则构造使解析式有意义的不等式(组)求解． (2)对实际问题：由实际意义及使解析式有意义构成的不等式(组)求解．(3)若已知函数f (x )的定义域为『a ，b 』，则函数f (g (x ))的定义域由不等式a ≤g (x )≤b 求出．考点三求函数的解析式『典例』 (1)已知f ⎝⎛⎭⎫x ＋1x ＝x 2＋1x 2，求f (x )的解析式． (2)已知f ⎝⎛⎭⎫2x ＋1＝lg x ，求f (x )的解析式．(3)已知f (x )是二次函数，且f (0)＝0，f (x ＋1)＝f (x )＋x ＋1，求f (x )．(4)定义在(－1,1)内的函数f (x )满足2f (x )－f (－x )＝lg(x ＋1)，求函数f (x )的解析式． 『解析』 (1)由于f ⎝⎛⎭⎫x ＋1x ＝x 2＋1x 2＝⎝⎛⎭⎫x ＋1x 2－2， 所以f (x )＝x 2－2，x ≥2或x ≤－2，故f (x )的解析式是f (x )＝x 2－2(x ≥2或x ≤－2)． (2)令2x ＋1＝t 得x ＝2t －1，代入得f (t )＝lg 2t －1，又x >0，所以t >1，故f (x )的解析式是f (x )＝lg 2x －1(x >1)．(3)设f (x )＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)， 由f (0)＝0，知c ＝0，f (x )＝ax 2＋bx ， 又由f (x ＋1)＝f (x )＋x ＋1，得a (x ＋1)2＋b (x ＋1)＝ax 2＋bx ＋x ＋1， 即ax 2＋(2a ＋b )x ＋a ＋b ＝ax 2＋(b ＋1)x ＋1，所以⎩⎪⎨⎪⎧2a ＋b ＝b ＋1，a ＋b ＝1，解得a ＝b ＝12.所以f (x )＝12x 2＋12x (x ∈R )．(4)当x ∈(－1,1)时，有 2f (x )－f (－x )＝lg(x ＋1)． ①以－x 代x ，得2f (－x )－f (x )＝lg(－x ＋1)． ② 由①②消去f (－x )，得f (x )＝23lg(x ＋1)＋13lg(1－x )，x ∈(－1,1)．『备课札记』 『类题通法』求函数解析式常用的方法有(1)待定系数法；(2)换元法(换元后要注意新元的取值范围)； (3)配凑法； (4)解方程组法． 『针对训练』1．已知f (x ＋1)＝x ＋2x ，求f (x )的解析式． 『解析』法一：设t ＝x ＋1， 则x ＝(t －1)2(t ≥1)；代入原式有f (t )＝(t －1)2＋2(t －1)＝t 2－2t ＋1＋2t －2＝t 2－1. 故f (x )＝x 2－1(x ≥1)．法二：∵x ＋2x ＝(x )2＋2x ＋1－1＝(x ＋1)2－1， ∴f (x ＋1)＝(x ＋1)2－1(x ＋1≥1)， 即f (x )＝x 2－1(x ≥1)．2．设y ＝f (x )是二次函数，方程f (x )＝0有两个相等实根，且f ′(x )＝2x ＋2，求f (x )的解析式． 『解析』设f (x )＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)， 则f ′(x )＝2ax ＋b ＝2x ＋2， ∴a ＝1，b ＝2，f (x )＝x 2＋2x ＋c . 又∵方程f (x )＝0有两个相等实根， ∴Δ＝4－4c ＝0，c ＝1，故f (x )＝x 2＋2x ＋1.考点四分段函数『典例』 (2011·江苏高考)已知实数a ≠0，函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋a ，x <1，－x －2a ，x ≥1.若f (1－a )＝f (1＋a )，则a 的值为________．『解析』 当a >0时，1－a <1,1＋a >1. 这时f (1－a )＝2(1－a )＋a ＝2－a ， f (1＋a )＝－(1＋a )－2a ＝－1－3a .由f (1－a )＝f (1＋a )得2－a ＝－1－3a ，解得a ＝－32.不合题意，舍去．当a <0时，1－a >1,1＋a <1，这时f (1－a )＝－(1－a )－2a ＝－1－a ， f (1＋a )＝2(1＋a )＋a ＝2＋3a .由f (1－a )＝f (1＋a )得－1－a ＝2＋3a ，解得a ＝－34.综上可知，a 的值为－34.『答案』 －34『备课札记』 『类题通法』分段函数“两种”题型的求解策略(1)根据分段函数解析式求函数值首先确定自变量的值属于哪个区间，其次选定相应的解析式代入求解． (2)已知函数值或函数值范围求自变量的值或范围应根据每一段的解析式分别求解，但要注意检验所求自变量的值或范围是否符合相应段的自变量的取值范围．提醒：当分段函数的自变量范围不确定时，应分类讨论． 『针对训练』设函数f (x )＝⎩⎨⎧2－x ，x ∈－∞，1，x 2，x ∈[1，＋∞，若f (x )>4，则x 的取值范围是______．『解析』当x <1时，由f (x )>4，得2－x >4，即x <－2； 当x ≥1时，由f (x )>4得x 2>4，所以x >2或x <－2， 由于x ≥1，所以x >2. 综上可得x <－2或x >2. 『答案』(－∞，－2)∪(2，＋∞)『课堂练通考点』1．(2013·南京一模)函数y ＝2x －x 2的定义域是________．『解析』由2x －x 2≥0得0≤x ≤2，故函数的定义域为『0,2』 『解析』『0,2』2．(2013·苏北四市二调)若函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2x ， x <0，－2－x ， x >0，则函数y ＝f (f (x ))的值域是________．『解析』当x <0时，f (x )＝2x ∈(0,1)，故y ＝f (f (x ))＝－2－f (x )∈⎝⎛⎭⎫－1，－12；当x >0时，f (x )＝－2－x ∈(－1,0)，故y ＝f (f (x ))＝2f (x )∈⎝⎛⎭⎫12，1，从而原函数的值域为⎝⎛⎭⎫－1，－12∪⎝⎛⎭⎫12，1. 『答案』⎝⎛⎭⎫－1，－12∪⎝⎛⎭⎫12，1 3．函数y ＝(x ＋1)0＋ln(－x )的定义域为________．『解析』由题意知，⎩⎪⎨⎪⎧ x ＋1≠0，－x >0，⇒⎩⎪⎨⎪⎧x ≠－1x <0⇒x ∈(－∞，－1)∪(－1,0)．『答案』(－∞，－1)∪(－1,0)4．已知f (x )＝x 2＋px ＋q 满足f (1)＝f (2)＝0，则f (－1)＝________. 『解析』由f (1)＝f (2)＝0，得⎩⎪⎨⎪⎧ 12＋p ＋q ＝0，22＋2p ＋q ＝0，所以⎩⎪⎨⎪⎧p ＝－3，q ＝2. 故f (x )＝x 2－3x ＋2.所以f (－1)＝(－1)2＋3＋2＝6. 『答案』6 5．已知f (x )＝x 2－1，g (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x －1，x >0，2－x ，x <0.(1)求f (g (2))与g (f (2))； (2)求f (g (x ))与g (f (x ))的表达式． 『解析』(1)g (2)＝1，f (g (2))＝f (1)＝0； f (2)＝3，g (f (2))＝g (3)＝2.(2)当x >0时，f (g (x ))＝f (x －1)＝(x －1)2－1＝x 2－2x ； 当x <0时，f (g (x ))＝f (2－x )＝(2－x )2－1＝x 2－4x ＋3.所以f (g (x ))＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2－2x ，x >0，x 2－4x ＋3，x <0.同理可得g (f (x ))＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2－2，x <－1或x >1，3－x 2，－1<x <1.。
高中函数教案
高中函数教案教案标题：高中函数教案教学目标：1. 理解函数的概念，并能区分函数和非函数。
2. 掌握函数的定义域、值域和图像特征的确定方法。
3. 学会应用函数解决实际问题。
教学重点：1. 函数的定义及其特性。
2. 函数的图像特征及其变化规律。
教学难点：1. 函数定义域、值域的确定和图像特征的描述。
2. 函数的实际应用。
教学准备：1. 教材：高中数学教材（函数部分）。
2. 教具：黑板、彩色粉笔、教学PPT。
教学过程：一、导入（5分钟）1. 引入函数的概念，与学生讨论生活中的例子，如人的身高与体重的关系等。
2. 引导学生思考如何将这些例子用函数的语言来描述。
二、讲授函数的定义及其特性（15分钟）1. 定义函数：函数是将一个集合的每个元素都唯一地对应到另一个集合的规则。
2. 函数的表示方法：函数的表格法、图像法和公式法。
3. 函数的特性：定义域、值域、奇偶性、单调性等。
4. 示例分析：通过具体的例子来帮助学生理解函数的定义和特性。
三、讲解函数的图像特征及其变化规律（20分钟）1. 基本函数的图像：常数函数、一次函数、二次函数等。
2. 图像特征的描述：顶点坐标、对称轴、开口方向等。
3. 图像的变换：平移、伸缩、翻折等。
四、应用函数解决实际问题（20分钟）1. 实际问题的转化：将实际问题转化为函数表达式。
2. 高中典型问题：如最值问题、速度与距离问题等。
3. 解决问题的过程：确定函数表达式、定义域、求解、解释结果。
五、巩固练习与拓展（15分钟）1. 设计一些例题，让学生进行思考和练习。
2. 鼓励学生举一反三，尝试解决其他实际问题。
六、总结与展望（5分钟）1. 总结学习内容，强调函数的重要性和应用。
2. 展望下一节课的内容，引发学生的学习兴趣。
教学评估：1. 教学过程中观察学生对函数概念理解的情况，抓住学生的问题进行解答和指导。
2. 收集学生在练习过程中的答题情况，及时反馈和纠正。
3. 针对学生的综合能力，设计一定难度的拓展题目，了解学生的学习情况。
高中数学函数教案完整版
高中数学函数教案完整版一、教学任务及对象1、教学任务本教学设计旨在指导高中学生深入理解数学函数的基本概念、性质、图像以及应用。
教学任务包括但不限于：函数的定义及其基本性质，线性函数、二次函数、指数函数、对数函数等常见函数类型的图像与特征，以及这些函数在实际问题中的应用。
此外，通过函数教学，培养学生逻辑思维能力，提高解题技能，并激发学生对数学学科的兴趣。
2、教学对象本教案适用于高中一年级或二年级的学生，他们在先前的数学学习中已经接触过基本的代数知识，具备一定的数学逻辑推理能力和问题解决能力。
学生应具备初中阶段的数学基础，如代数初步、几何初步等，以便更好地理解高中函数的概念和性质。
在教学过程中，需考虑到学生的个体差异，针对不同层次的学生设计不同难度的问题和练习，以确保每位学生都能在原有基础上得到提高，充分发挥他们的潜能。
同时，注重培养学生的团队合作能力，通过小组讨论、互帮互助等形式，促进学生间的交流与合作，共同提高数学素养。
二、教学目标1、知识与技能（1）理解并掌握函数的基本概念，包括函数的定义、函数值、定义域、值域等。
（2）学会运用不同的表示方法来表达函数，如解析法、表格法、图象法等。
（3）掌握线性函数、二次函数、指数函数、对数函数等常见函数类型的性质、图像及其变化规律。
（4）能够分析实际问题时，抽象出函数模型，并运用所学函数知识解决实际问题。
（5）通过函数学习，提高学生的逻辑推理、数学建模、数学运算等数学核心素养。
2、过程与方法（1）采用以退为进的教学策略，引导学生从已知的数学知识出发，逐步深入探索函数的内涵和外延。
（2）通过以点带面的方法，让学生从具体的函数实例中抽象出函数的一般性质，培养学生从特殊到一般的归纳总结能力。
（3）采用以动带静的教学手段，结合现代信息技术，如动态软件、网络资源等，使学生在动态过程中观察函数图像的变化，增强空间想象力和直观感受。
（4）通过小组合作、讨论、交流等学习方式，培养学生团队合作能力和问题解决能力。
高中理科数学知识讲解教案
高中理科数学知识讲解教案
年级：高中
主题：函数的定义和性质
时长：40分钟
教学目标：
1. 了解函数的定义和符号表示。
2. 掌握函数的性质，包括单调性、奇偶性和周期性。
3. 能够应用函数的性质解决实际问题。
教学准备：
1. PowerPoint 等教学工具。
2. 课件包括函数的定义、图像、单调性、奇偶性和周期性的相关内容。
3. 练习题和实际问题，以便学生巩固和应用所学知识。
教学流程：
1. 引入：介绍函数的概念和定义，引出本节课的主题。
2. 讲解：依次介绍函数的性质，包括单调性、奇偶性和周期性，并通过例题演示如何判断和应用这些性质。
3. 练习：让学生通过练习题巩固所学的内容，有针对性地帮助他们提升解题能力。
4. 应用：设计一些实际问题，让学生运用函数的性质去解决，培养他们的应用能力。
5. 总结：回顾本节课的重点内容，强化学生对函数性质的掌握。
6. 作业：布置相关练习题，鼓励学生在家继续复习和巩固所学知识。
教学反思：
通过本节课的教学，学生将能够熟练掌握函数的性质，提高解题能力和应用能力。
同时，通过实际问题的应用，可以提高学生对数学知识的理解和运用能力，培养他们的数学思维和创新能力。
高中数学函数部分讲解教案
高中数学函数部分讲解教案教学目标：1. 理解函数的定义和性质；2. 掌握常见函数的图像和性质；3. 能够解决与函数相关的问题。
教学重点：1. 函数的定义和性质；2. 常见函数的图像和性质。
教学难点：1. 函数的复合运算和逆运算；2. 函数的极限和连续性。
教学准备：1. 教师准备PPT课件，包含函数的定义、性质、常见函数的图像等内容；2. 教师准备白板和彩色笔，方便做示范；3. 教师准备习题册，供学生练习。
教学过程：一、引入教师通过一道问题引入函数的概念，让学生理解函数的定义及其应用，激发学生学习的兴趣。
二、讲解函数的定义和性质1. 介绍函数的定义：函数是一个或多个自变量通过运算得到一个值的规则。
2. 讲解函数的性质：单调性、奇偶性、周期性等。
三、常见函数的图像和性质1. 讲解线性函数、二次函数、指数函数、对数函数、三角函数等的图像和性质。
2. 示范如何求解这些函数的性质，如定义域、值域、奇偶性等。
四、函数的复合运算和逆运算1. 介绍函数的复合运算和逆运算的概念；2. 做一些例题让学生掌握这两种运算的方法。
五、函数的极限和连续性1. 讲解函数极限的定义和性质；2. 讲解函数连续性的概念和判定方法；3. 带领学生做相关练习。
六、总结和作业教师对本节课的内容进行总结，并布置相关作业，巩固学生的学习成果。
教学反思：本节课主要围绕函数的定义、性质以及常见函数的图像和性质展开讲解，通过引入问题激发学生的兴趣，使他们能够更深入理解函数的概念和应用。
同时，通过示范和练习，让学生掌握函数的相关知识和方法。
在教学中要注意引导学生思考和讨论，激发他们的学习热情，提高学习效果。
高考数学一轮复习理科数学 《函数》说课稿
难易度 易 易 易
中档/难 易 难 易
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2 近三年真题分析
1.题型与难度
函数考查趋于稳定，3小题1大题，共27分。小题难度整体适中，
知识点 基本初等函数比较大小
复合函数图像 函数的切线方程 函数的极值与零点 构造简单函数比较大小 分段函数、图像变换、恒成立问题 函数奇偶性求值 复合函数的单调性、零点、公切线问题 函数的切线方程
复合函数图像 利用函数奇偶性单调性比较大小 利用导数研究复合函数的单调性与最值
奇偶性、切线方程 分段函数的零点 利用导数求函数的最值
作图 用图
规律方法：函数图像问题主要考查识图、作图、用图三个方向。以形为载体来 考查学生对函数性质的理解与运用，既要考查学生的直观想象能力，又很好的 体现了数形结合的思想，更对学生的理性分析思维、作图能力、数学学科的美 学价值的理解等更深层次的学科素养提出了更高的要求。突破策略：①复习过 程中重视数形结合思想的渗透；②补充简单的极限知识；③熟练掌握常见的图 像变换；④强化训练学生的作图能力，特别要注重图像的关键点、特殊位置。
幂函
√ √数
函数y=x,y=x²,y=x³, y=1/x,y=√x的图像
√
指数函数模型的实际背景
有理指数幂的含义
指数函 数
解实数指数幂的意义 幂的运算
指数函数的概念
指数函数的单调性 指数函数图像通过特殊点
√ √
√
函数的零点与方程根的联系 √
高中数学函数类教案
高中数学函数类教案教学目标：1. 了解函数的定义和性质2. 掌握函数的基本概念和符号表示法3. 熟练运用函数的四则运算4. 掌握函数的图像和性质5. 解决实际问题中与函数相关的计算和应用教学内容：1. 函数的定义和基本性质2. 函数的表示形式和符号表示法3. 函数的四则运算4. 函数的图像和性质5. 函数在实际生活中的应用教学准备：1. 教师准备PPT演示2. 教师准备作业练习题3. 教师准备实例题目及解答教学过程：一、导入新知识（10分钟）教师通过引入实际问题，引发学生对函数的认识和兴趣。
二、解释函数的定义和性质（15分钟）教师通过PPT演示，详细解释函数的定义和性质，并举例说明。
三、练习函数的表示形式和符号表示法（15分钟）教师设计一些练习题，让学生练习函数的表示形式和符号表示法，加深理解。
四、进行函数的四则运算（20分钟）教师讲解函数的四则运算规则，然后让学生进行相关练习。
五、讨论函数的图像和性质（20分钟）教师讲解函数的图像和性质，通过实例题目展示相关知识点。
六、应用函数解决实际问题（20分钟）教师设计一些实际问题，让学生运用所学知识解决。
七、总结和作业布置（10分钟）教师总结本节课的重点内容，布置相关作业，并提醒学生复习。
教学反思：通过本节课的教学，学生能够初步了解函数的定义和性质，掌握相关的基本概念和运算方法。
同时，通过实例练习和应用题目，学生也能够更好地理解和运用函数的知识。
在未来的教学中，可以通过更多的实际问题和案例来引发学生的兴趣和提高学习效果。
函数高中数学教案
函数高中数学教案
教学目标：
1. 了解函数的定义和表示方法。
2. 掌握函数的性质和基本运算。
3. 能够解决与函数相关的实际问题。
教学重点：
1. 函数的定义和表示。
2. 函数的性质和基本运算。
教学难点：
1. 实际问题中的函数应用。
教学准备：
1. 教材《高中数学教材》。
2. 课件和投影仪。
3. 板书工具和笔。
教学过程：
一、引入（5分钟）
通过举例引入函数的概念，引出函数的定义和表示方法。
二、示例讲解（15分钟）
1. 讲解函数的定义和符号表示。
2. 分析函数的性质和基本运算。
3. 解释函数在实际问题中的应用。
三、练习（20分钟）
1. 带领学生做一些函数的基础练习。
2. 帮助学生理解函数的性质和运算规则。
四、讲解扩展知识（10分钟）
介绍一些与函数相关的扩展知识，如复合函数、反函数等。
五、实际应用（10分钟）
通过实际问题引导学生应用函数的概念解决问题。
六、总结（5分钟）
总结本节课的重点内容，并强调函数的重要性和实用性。
七、作业布置（5分钟）
布置一些与函数相关的作业，鼓励学生课后练习。
教学反思：
本节课主要介绍了函数的基本概念和性质，通过示例讲解和练习，学生能够更好地理解函数的定义和运算规则。
在实际应用环节，通过解决问题让学生感受到了函数在现实生活中的应用价值，增强了他们对函数的认识和理解。
在今后的教学中，应继续强调函数的重要性和实用性，帮助学生深入理解和应用函数知识。
高中函数数学教案
高中函数数学教案教学内容: 函数的概念和性质教学目标:1. 理解函数的定义和基本概念2. 掌握函数的性质和操作规则3. 能够应用函数解决实际问题教学重点:1. 函数的定义和基本性质2. 函数的图像和性质3. 函数的运算和复合函数教学难点:1. 函数的定义和概念理解2. 复合函数的运算教学过程:一、导入新知识 (5分钟)教师通过提问或小组讨论的方式引入函数的概念，让学生根据自己的理解和经验说出函数的定义和基本特征。
二、整体讲解 (15分钟)1. 函数的定义和性质2. 函数的图像和性质3. 函数的运算和复合函数4. 实例讲解和演示三、练习与讨论 (20分钟)1. 学生个别练习2. 小组讨论和合作练习3. 整体讨论及解答疑惑4. 拓展应用题解析四、知识巩固与拓展 (10分钟)1. 布置作业和自学任务2. 搜集有关函数的实际应用题目3. 学生交流分享解题思路五、课堂总结与反思 (5分钟)教师对本节课的教学内容进行总结，并引导学生思考实际问题中如何运用函数解决问题，激发学生的学习兴趣和思考能力。
教学资源:1. 讲台、黑板、彩色粉笔2. 教材和课件3. 习题册和实例题目4. 计算器和数学工具书教学评估:1. 课堂参与度与表现2. 课后作业的完成质量3. 知识运用能力和解题思路4. 各类评测和测试成绩教学反馈:1. 及时总结课堂教学情况2. 查漏补缺，帮助学生消化和吸收知识3. 鼓励学生勇于提问和探索，注重学生学习方法和思维能力的培养教学改进:1. 收集学生反馈意见和建议2. 结合课堂教学实际，不断调整和优化教学方法和手段3. 建立有效的学习评估和反馈机制，促进教学效果的不断提升。
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专题1 函数(理科)一、考点回顾1.理解函数的概念，了解映射的概念.2.了解函数的单调性的概念，掌握判断一些简单函数的单调性的方法.3.了解反函数的概念及互为反函数的函数图象间的关系，会求一些简单函数的反函数.4.理解分数指数幂的概念，掌握有理指数幂的运算性质，掌握指数函数的概念、图象和性质.5.理解对数的概念，掌握对数的运算性质，掌握对数函数的概念、图象和性质.6.能够运用函数的性质、指数函数和对数函数的性质解决某些简单的实际问题.二、经典例题剖析考点一：函数的性质与图象函数的性质是研究初等函数的基石，也是高考考查的重点内容．在复习中要肯于在对定义的深入理解上下功夫．复习函数的性质，可以从“数”和“形”两个方面，从理解函数的单调性和奇偶性的定义入手，在判断和证明函数的性质的问题中得以巩固，在求复合函数的单调区间、函数的最值及应用问题的过程中得以深化．具体要求是：1．正确理解函数单调性和奇偶性的定义，能准确判断函数的奇偶性，以及函数在某一区间的单调性，能熟练运用定义证明函数的单调性和奇偶性．2．从数形结合的角度认识函数的单调性和奇偶性，深化对函数性质几何特征的理解和运用，归纳总结求函数最大值和最小值的常用方法．3．培养学生用运动变化的观点分析问题，提高学生用换元、转化、数形结合等数学思想方法解决问题的能力．这部分内容的重点是对函数单调性和奇偶性定义的深入理解．函数的单调性只能在函数的定义域内来讨论．函数y＝f(x)在给定区间上的单调性，反映了函数在区间上函数值的变化趋势，是函数在区间上的整体性质，但不一定是函数在定义域上的整体性质．函数的单调性是对某个区间而言的，所以要受到区间的限制．对函数奇偶性定义的理解，不能只停留在f(－x)＝f(x)和f(－x)＝－f(x)这两个等式上，要明确对定义域内任意一个x，都有f(－x)＝f(x)，f(－x)＝－f(x)的实质是：函数的定义域关于原点对称．这是函数具备奇偶性的必要条件．稍加推广，可得函数f (x )的图象关于直线x ＝a 对称的充要条件是对定义域内的任意x ，都有f (x ＋a )＝f (a －x )成立．函数的奇偶性是其相应图象的特殊的对称性的反映．这部分的难点是函数的单调性和奇偶性的综合运用．根据已知条件，调动相关知识，选择恰当的方法解决问题，是对学生能力的较高要求．函数的图象是函数性质的直观载体，函数的性质可以通过函数的图像直观地表现出来。
因此，掌握函数的图像是学好函数性质的关键，这也正是“数形结合思想”的体现。
复习函数图像要注意以下方面。
1．掌握描绘函数图象的两种基本方法——描点法和图象变换法．2．会利用函数图象，进一步研究函数的性质，解决方程、不等式中的问题． 3．用数形结合的思想、分类讨论的思想和转化变换的思想分析解决数学问题． 4．掌握知识之间的联系，进一步培养观察、分析、归纳、概括和综合分析能力． 以解析式表示的函数作图象的方法有两种，即列表描点法和图象变换法，掌握这两种方法是本节的重点．运用描点法作图象应避免描点前的盲目性，也应避免盲目地连点成线．要把表列在关键处，要把线连在恰当处．这就要求对所要画图象的存在范围、大致特征、变化趋势等作一个大概的研究．而这个研究要借助于函数性质、方程、不等式等理论和手段，是一个难点．用图象变换法作函数图象要确定以哪一种函数的图象为基础进行变换，以及确定怎样的变换．这也是个难点．例1设a ＞0，求函数)ln()(a x x x f +-=(x ∈(0，＋∞))的单调区间．分析：欲求函数的单调区间，则须解不等式()0f x '≥(递增)及()0f x '<(递减)。
解：)0(121)(>+-='x ax xx f ． 当a ＞0，x ＞0时 f '(x )＞0x 2＋(2a －4)x ＋a 2＞0， f '(x )＜0x 2＋(2a －4)x ＋a 2＜0．(ⅰ)当a ＞ 1时，对所有x ＞ 0，有 x 2＋(2a －4)x ＋a 2＞0，即f '(x )＞0，此时f (x )在(0，＋∞)内单调递增．(ⅱ)当a ＝1时，对x ≠1，有 x 2＋(2a －4)x ＋a 2＞0，即f '(x )＞0，此时f (x )在(0，1)内单调递增，在(1，＋∞)内单调递增． 又知函数f (x )在x ＝1处连续，因此，函数f (x )在(0，＋∞)内单调递增． (ⅲ)当0＜a ＜1时，令f '(x )＞0，即 x 2＋(2a －4)x ＋a 2＞0，解得a a x ---<122，或a a x -+->122．因此，函数f (x )在区间），a a ---1220(内单调递增，在区间），∞+-+-a a 122(内也单调递增．令f '(x )＜0，即x 2＋(2a －4)x ＋a 2 ＜ 0， 解得 ：a a x a a -+-<<---122122．因此，函数f (x )在区间），a a a a -+----122122(内单调递减．点评：本小题主要考查导数的概念和计算，应用导数研究函数性质的方法及推理和运算能力．例2 已知0>a ，函数),0(,1)(+∞∈-=x x ax x f 。
设ax 201<<，记曲线)(x f y =在点))(,(11x f x M 处的切线为l 。
(Ⅰ)求l 的方程；(Ⅱ)设l 与x 轴交点为)0,(2x 。
证明： ① ax 102≤<； ② 若a x 11<，则ax x 121<< (Ⅰ)分析：欲求切线l 的方程，则须求出它的斜率，根据切线斜率的几何意义便不难发现，问题归结为求曲线)(x f y =在点))(,(11x f x M 的一阶导数值。
解：求)(x f 的导数：2'1)(xx f -=，由此得切线l 的方程： )(1)1(1211x x xx ax y --=--。
(Ⅱ)分析：①要求2x 的变化范围，则须找到使2x 产生变化的原因，显然，2x 变化的根本原因可归结为1x 的变化，因此，找到2x 与1x 的等量关系式，就成；② 欲比较2x 与1x 的大小关系，判断它们的差的符号即可。
证：依题意，切线方程中令y ＝0，ax ax x x ax x x 20)2()1(1111112<<-=+-=，其中. ① 由a a x a x x ax x x a x 1)1(,0),2(,2021221121+--=>-=<<及有 a x a x a x 11,10212==≤∴时，当且仅当〈.②ax x ax x x ax a x 1)2(112111211<>-=<<，且由①，，因此，时，当ax x 121<<所以。
点评：本小题主要考查利用导数求曲线切线的方法，考查不等式的基本性质，以及分析和解决问题的能力。
例3、 函数y ＝1－11-x 的图象是( )解析一：该题考查对f (x )＝x 1图象以及对坐标平移公式的理解，将函数y ＝x1的图形变形到y ＝11-x ，即向右平移一个单位，再变形到y ＝－11-x 即将前面图形沿x 轴翻转，再变形到y ＝－11-x ＋1，从而得到答案B . 解析二：可利用特殊值法，取x ＝0，此时y ＝1，取x ＝2，此时y ＝0.因此选B . 答案：B点评：1、选择题要注意利用特值排除法、估值排除法等。
2、处理函数图像的平移变换及伸缩变化等问题的一般方法为：先判断出函数的标准模型，并用换元法将问题复合、化归为所确定的标准模型。
考点二：二次函数二次函数是中学代数的基本内容之一，它既简单又具有丰富的内涵和外延. 作为最基本的初等函数，可以以它为素材来研究函数的单调性、奇偶性、最值等性质，还可建立起函数、方程、不等式之间的有机联系；作为抛物线，可以联系其它平面曲线讨论相互之间关系. 这些纵横联系，使得围绕二次函数可以编制出层出不穷、灵活多变的数学问题. 同时，有关二次函数的内容又与近、现代数学发展紧密联系，是学生进入高校继续深造的重要知识基础. 因此，从这个意义上说，有关二次函数的问题在高考中频繁出现，也就不足为奇了.学习二次函数，可以从两个方面入手：一是解析式，二是图像特征. 从解析式出发，可以进行纯粹的代数推理，这种代数推理、论证的能力反映出一个人的基本数学素养；从图像特征出发，可以实现数与形的自然结合，这正是中学数学中一种非常重要的思想方法.例４ 设二次函数()()f x ax bx c a =++>20，方程()f x x -=0的两个根x x 12,满足0112<<<x x a. 当()x x ∈01,时，证明()x f x x <<1. 分析：在已知方程()f x x -=0两根的情况下，根据函数与方程根的关系，可以写出函数()x x f -的表达式，从而得到函数)(x f 的表达式.证明：由题意可知))(()(21x x x x a x x f --=-.ax x x 1021<<<<Θ， ∴ 0))((21>--x x x x a ， ∴ 当()x x ∈01,时，x x f >)(.又)1)(())(()(211211+--=-+--=-ax ax x x x x x x x x a x x f ， ,011,0221>->+-<-ax ax ax x x 且∴ 1)(x x f <，综上可知，所给问题获证.点评：本题主要利用函数与方程根的关系，写出二次函数的零点式()().21x x x x a y --=。
例5 已知二次函数)0,,(1)(2>∈++=a R b a bx ax x f ，设方程x x f =)(的两个实数根为1x 和2x .(1)如果4221<<<x x ，设函数)(x f 的对称轴为0x x =，求证：10->x ； (2)如果21<x ，212=-x x ，求b 的取值范围.分析：条件4221<<<x x 实际上给出了x x f =)(的两个实数根所在的区间，因此可以考虑利用上述图像特征去等价转化.解：设1)1()()(2+-+=-=x b ax x x f x g ，则0)(=x g 的二根为1x 和2x .(1)由0>a 及4221<<<x x ，可得 ⎩⎨⎧><0)4(0)2(g g ，即⎩⎨⎧>-+<-+034160124b a b a ，即⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧<+⋅--<-⋅+,043224,043233a a b aa b两式相加得12<ab，所以，10->x ; (2)由aa b x x 4)1()(2221--=-， 可得 1)1(122+-=+b a .又0121>=ax x ，所以21,x x 同号.∴ 21<x ，212=-x x 等价于⎪⎩⎪⎨⎧+-=+<<<1)1(1220221b a x x 或⎪⎩⎪⎨⎧+-=+<<-<1)1(1202212b a x x ， 即 ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+-=+>>1)1(120)0(0)2(2b a g g 或⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+-=+>>-1)1(120)0(0)2(2b a g g解之得 41<b 或47>b . 点评：在处理一元二次方程根的问题时，考察该方程所对应的二次函数图像特征的充要条件是解决问题的关键。