中考数学一轮复习 第3因式分解

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题型五 因式分解(yīn shì fēn jiě)的应用
【例 5】 (1)若 a＋b＝ 4，则 a2＋2ab ＋b2的值是 ( B )
A． 8
B ．16
C ．2
D ．4
解析(jiaě2＋xī2)a：b ＋b2＝ (a＋b)2＝42＝ 16，选 B.
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(2) 已知 a2＋b2＋ 6a－ 10b＋34 ＝0，求 a＋b的值． 解：∵ a 2＋b2＋6a －10b＋34 ＝0， ∴a 2＋6a＋ 9＋ b2－10 b＋25＝0， (a＋3)2＋ (b－5) 2＝0， ∴a ＋ 3＝ 0且 b－ 5＝ 0 ， ∴ a ＝－ 3，b＝ 5， ∴ a＋b＝－ 3＋5＝2.
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题型分类 深度剖析
题型一 因式分解(yīn shì fēn jiě)的意义
【例 1】 下列(xiàliè)各式从左到右的变形是因式分解( 的D是) A．(a＋b)2＝ a 2＋2ab ＋b2
B．a2＋2a－1＝ a (a ＋1)－ 1
C
．
a
2＋
1
＝
a
?
?a
?
＋1a???
D．－ a2＋b2＝(－a ＋b)(a＋b)
(2) 分解因式： (x＋y)2－3(x＋y)． 答案： (x＋y)2 － 3(x＋y)＝(x＋y)(x＋y－3)
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题型三 运用(yùnyòng)公式法分解因式
【例 3】 (1) 下列多项式中，能用公式(gōngshì)法分解因式(的是C )
A．x2－ xy
B． x2＋xy
C ．x2－ y2
式，可将这个多项式看作一个整体，分解后注意合并同类项 .
2. 用完全平方公式分解因式时，其关键是掌握公式的特征．
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知能迁移(q3iān分yí解) (fēnjiě)因式： (1)4 a 2－ 1；
解：原式＝ 4a2－1＝(2a ＋1)(2 a －1) (2)25( x＋y)2－9(x－y)2；
(2) 分解(fēnjiě)因式：
①－ 4x3y2＋28x2y－ 2xy＝ －2xy(2 x2y－14x＋1) ； ②6a2(x－ y)2－3a (y－x)3＝ 3a (x－y)2(2a＋x－ y) .
解析(jiě xī4)x：3y①2＋－28x2y－ 2xy ＝－ (4x3y2－28x2y＋ 2xy) ＝－ 2xy (2 x2y－ 14 x＋1) ．
分解因式必须分解到不能再分解为止，特别是一些比较隐晦
的，或者在解答过程中新出现的公因式要引起重视．解题结
果的简单明了是解题的基本要求之一，这样才可能使解题的 答案具有唯一性，所以因式分解的结果中的每一个因式必须
是最简形式．
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基础自测
1．(2011 ·河北()h下é列b(ěxii)àliè)分解因式正确(的是D )
② 6a 2(x－ y)2－3a(y－ x)3 ＝6a2(x－ y)2＋ 3a(x－y)3 ＝3a(x－ y)2·[2a＋(x－y)] ＝ 3a(x－ y)2(2a＋x－y)．
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探究(tànjiū)提高 1. 当某项正好(zhènghǎo)为公因式时，提取公因式后，该项应1为， 不可(bùkě.)漏掉 2.首项系数为负数时，一般公因式的系数取负数，使括
确的是 ( A )
A．a (x－ 2) 2
B．a (x＋ 2) 2
C ．a (x－4) 2
D．a(x＋2)(x－ 2)
解析(jiaěx2x－ī)4：ax ＋ 4a＝ a(x2－ 4x＋4)＝a (x－2) 2.
3．(2011 年北京四中模拟 )把 a 3－ab 2分解因式的正确结果是 ( C )
A． (a ＋ ab )( a－ab ) B．a(a2－b2)
解析(jiě ax2ī＋)：b2－＝b2－a2＝ (b＋ a )(b－a)，平方差公式分解因式．
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探究(tànjiū)提高 熟练地掌握(zhǎngwò)因式分解的意义．因式分解是将一个多项式化
成几个(jǐ ɡè)整式积的形式的恒等变形，若结果不是积的形式，
则不是因式分解．
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号内首项系数为正 .
3.公因式也可以是多项式．
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知能迁移(2qiā(n1y)í把) 多项式 (m＋1)( m－1) ＋(m－1)提公因式
(m－ 1) 后，余下(yúxià)的部(分是D )
A． m ＋ 1
B． 2m
C．2
D．m＋ 2
解析(jiě xī)：提取公因式后，前项余m下＋1，后项余下 1， (m ＋ 1)＋1＝ m＋2.
③16 x4－ 72 x2y2＋ 81 y4 解：原式＝ (4 x2－9y2)2 ＝[(2 x＋3y)(2 x－ 3y)] 2 ＝(2x＋3y)2(2 x－3y)2.
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探究(tànjiū)提高
1.用平方差公式(gōngshì)分解因式，其关键是将多项式a转2－化b为2
的形式，需注意对所给多项式要善于观察，并作适当(shìdàng)变形，使 之符合平方差公式的特点，公式中的“ a”“ b”也可以是多项
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题型四 综合运用多种方法(fāngfǎ)分解因式
【例 4】 给出三个多项式： 1 x2＋x－1； x2＋3x＋ 1；1x2－ x，
2
2
2
请你选择(xuǎnzé)其中两个进行加法运算，并把结果分解因式．
解题(jiě t—í)—示规范范步骤，该得的分，一分不丢！
解： ( 1 x2＋x－1)＋( 1 x2＋ 3x＋1) ＝ x2＋ 4x＝ x(x＋ 4)；
D． x2＋ y2
解析(jixě2－xīy)2：＝ (x＋y)( x－y)，符合平方差公式，选 C .
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(2) 分解(fēnjiě)以下各多项式： ①9x2－ 16 y2
解：原式＝ (3 x)2－ (4y)2 ＝(3x＋4y)(3 x－4y)．
② (x－ 1)2－ 9 解：原式＝ (x－1＋3)( x－1－3) ＝ (x＋ 2)( x－4) ．
因式分解是恒等变形．
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题型二 提取(tíqǔ)公因式法分解因式
【例 2】(1) 多项式 6xy－ 2xy2＋4xyz中各项的公因式是
解析(ji6ěxyx＝ī)2：xy·3； － 2xy 2＝2xy·(－ y)； 4xyz＝ 2xy·2 z， 各项的公因式是 2xy.
2xy ．
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理解因式分解(yīn shì fēn jiě)的意义，应注意：
(1) 因式分解(yīn shì fēn jiě)与整式乘法是个相反的过程，因式分解 边是多项式，右边是几个因式的积，不含其它运算； (2) 因式分解不含非整式的式子； (3) 因式分解是个恒等变形的过程，从左到右的变形不能 改变原式的大小．
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(3)(2011·芜湖 )因式分解(yīxn3－sh2ìx2yf＋ēnxyj2i＝ě)：x(x－y)2 ； 解析(jiě xī)：x原(式x2＝－ 2xy＋ y2)＝x(x－ y)2
(4)在实数范围(fànwéi)内分解因x4式－：4. 解：原式＝ (x2＋2)( x2－ 2) ＝(x2＋ 2)( x＋ 2 )( x－ 2 )．
要点梳理
1．因式分解(yīn shì fēn jiě)： 把一个多项式化成(huà ch整én式ɡ)积几个的形式，叫做(jiàozuò)因式分 解．因式分解与 整式乘法 是互逆运算．
2．基本方法：
(1) 提取公因式法：
ma ＋mb＋ mc＝ m(a＋ b＋c) ． (2)公式法：
运用平方差公式： a2－b2＝ (a ＋ b)(a －b) ； 运用完全平方公式： a2±2ab ＋b2＝ (a ± b)2 .
2
2
( 1 x2＋x－ 1) ＋ ( 1 x2－x)＝x2－1＝(x＋1)( x－ 1) ；
2
2
( 1 x2＋3x＋ 1)＋( 1 x2－ x)＝x2＋2x＋ 1＝(x＋1) 2.
2
2
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探究(tànjiū)提高 1. 具有(jùyǒu)一定的开放性．
2. 灵活运用多种方法分解(fēnjiě)因式，其一般顺序是：首先提 取公因式，然后再考虑用公式，最后结果一定要分解到
不能再分解为止．
知能迁移 4 因式分解： (1)a 5－ a 解：原式＝ a (a4－1) ＝a (a2＋1)( a 2－ 1) ＝a (a2＋1)(a＋1)(a－1)
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(2)( x＋2)( x＋ 4) ＋x2－4 解：原式＝ x2＋6x＋8＋x2－ 4 ＝2x2＋ 6x＋4 ＝ 2(x2＋3x＋2) ＝ 2( x＋1)( x ＋2) 或 原式＝ (x＋2)( x＋4)＋(x＋2)( x－2) ＝(x＋2)[( x＋4)＋(x－ 2)] ＝(x＋2)(2 x＋2)＝2(x＋ 2)( x＋1)
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3．因式分解的一般(yībān)步骤： (1) 如果(rúguǒ)多项式的各项有公因式，那么先提取公因式；
(2) 如果各项没有(méi yǒu)公因式，那么尽可能尝试用公式来分解；
(3)分解因式必须分解到不能再分解为止，每个因式的内部不
再有括号，且同类项合并完毕，若有相同因式写成幂的形
解：原式＝ [5( x＋y)＋3(x－y)][5( x＋y)－3( x－y)] ＝(8x＋ 2y)(2x＋8y) ＝4(4 x＋y)(x＋4y)
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(3) 1a2＋ a＋1
4
解：原式＝
????12a
??
??
2＋
2
×????12a
??×
??
1＋
1
2
＝ ????12a＋ 1????2
(4) x3－ 6x2＋9x 解：原式＝ x(x2－ 6x＋9) ＝x(x－3) 2
C ．a (a＋b)(a － b)
D． a(a －b)2
解析： a 3－ ab 2＝a (a2－ b2)＝a (a＋b)( a －b)．
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4．(2011·金华()j下īn列h各uá式) 能用完全平方(píngfāng)公式进行分解因
式的是 (D )
A．x2＋1
B．x2 ＋ 2 x－ 1
A．x＋ y＋z＝0
B．x＋y－ 2z＝0
C．y＋z－2x＝0 D． z＋x－2y＝0
解析：左边＝ [(x－y)＋(y－z)]2－4( x－y)( y－z) ＝(x－ y)2－ 2( x－ y)(y－z)＋(y－ z)2 ＝[( x－ y)－ (y－z)]2
故 (x－y)－ ( y－ z)＝ 0， x－2 y＋z＝ 0.
知能迁移(1qiān下yí列) (xiàliè)多项式的分解因式，正确(的是B ) A．8abx －12a2x2＝ 4abx (2－3ax ) B．－ 6x3＋6x2－ 12x＝－ 6x(x2－x＋2) C ． 4x2－6xy＋2x＝ 2x(2 x－ 3y) D．－ 3a2y＋9ay －6y＝－ 3y(a2＋ 3a－2) 解析(jiě x6īx)(：x2－ x＋2)＝－6x3＋6x2－ 12x，
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2．注意提取公因式法、运用公式(gōngshì)法的要点 多项式因式分解往往需要(xūyào)对一些隐含的公(因如式互为相反数
的因式()y进īn行sh调ì整) 变形，其依据是乘方的符号法则，变形时一
般要进行观察，需要调整项的标准有两个： (1) 使需要调整的 项尽量少； (2) 尽量调整指数为偶数的项，这样可以减少符号 变化带来的麻烦及错误；平方差公式主要运用于二项式的因 式分解，完全平方公式主要运用于三项式的因式分解．
式，这些统称分解彻底．
(4)注意因式分解中的范围，如 x4－4＝ (x2＋2)( x2－2)，在实 数范围内分解因式， x4－4＝ (x2＋ 2)( x＋ 2 )(x－ 2 )，
题目不作说明的，表明是在有理数范围内因式分解．
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[难点正本 疑点清源 ]
1．正确理解因式分解(yīn shì fēn jiě)的意义
A．－ a＋ a 3＝－a (1＋a2) B． 2a－ 4b＋2＝2( a －2b)
C ．a2－4＝(a －2)2
D． a 2－2a＋1＝(a－1)2
解析(jiaě2－xī2)a：＋1＝ a 2－2· a ·1＋ 12＝(a－1)2， 是完全平方公式．
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2．(2011·天门(t)i把ān代m数én式) ax 2－4ax ＋4a分解因式，下列结果(jiē guǒ)中
C ． x2＋ x＋ 1
D．x2＋4x＋4
解析(jiě xī)x：2＋只4有x＋ 4＝x2＋2·2 x＋ 22＝ (x＋2)2是完全
平方式．
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5 ．(2011·天津(t)i若ān实j数īn)(xs、hìys、hùz)满足((mxǎ－nzúz)2 － 4( x －y)( y－ z)
＝ 0，则下列式子一定成立的是 ( D )