抚宁区实验中学2018-2019学年高二上学期第二次月考试卷数学

抚宁区实验中学2018-2019学年高二上学期第二次月考试卷数学 班级__________ 姓名__________ 分数__________
一、选择题
1． 垂直于同一条直线的两条直线一定（ ）
A ．平行
B ．相交
C ．异面
D ．以上都有可能
2． 下列式子表示正确的是（ ）
A 、{}00,2,3⊆
B 、{}{}22,3∈
C 、{}1,2φ∈
D 、{}0φ⊆
3． 如图，在正方体1111ABCD A B C D -中，P 是侧面11BB C C 内一动点，若P 到直线BC 与直线11C D 的距离相等，则动点P 的轨迹所在的曲线是（ ）
A 1
C
A.直线
B.圆
C.双曲线
D.抛物线
【命题意图】本题考查立体几何中的动态问题等基础知识知识，意在考查空间想象能力.
4． 已知α是△ABC 的一个内角，tan α=，则cos （α+）等于（ ）
A ．
B ．
C ．
D ．
5． 已知函数f （x ）=x 2﹣2x+3在[0，a]上有最大值3，最小值2，则a 的取值范围（ ）
A ．[1，+∞）
B ．[0.2}
C ．[1，2]
D ．（﹣∞，2]
6． 若某几何体的三视图 （单位：cm ） 如图所示，则此几何体的体积是（ ）cm 3
A ．π
B ．2π
C ．3π
D ．4π
7． 已知函数()2sin()f x x ωϕ=+(0)2
π
ϕ<<与y 轴的交点为(0,1)，且图像上两对称轴之间的最
小距离为
2π
，则使()()0f x t f x t +--+=成立的t 的最小值为（ ）1111] A ．6π B ．3π C ．2
π D ．23π
8． 已知抛物线C ：y x 82=的焦点为F ，准线为l ，P 是l 上一点，Q 是直线PF 与C 的一个交点，若2=，则=QF （ ）
A ．6
B ．3
C ．
3
8 D ．
3
4 第Ⅱ卷（非选择题，共100分）
9． 已知向量=（1，1，0），=（﹣1，0，2）且k +与2﹣互相垂直，则k 的值是（ ）
A ．1
B ．
C ．
D ．
10．设△ABC 的三边长分别为a 、b 、c ，△ABC 的面积为S ，内切圆半径为r ，则，类比这个结论可
知：四面体S ﹣ABC 的四个面的面积分别为S 1、S 2、S 3、S 4，内切球半径为r ，四面体S ﹣ABC 的体积为V ，
则r=（ ）
A ．
B ．
C ．
D ．
11．下列函数中，在区间（0，+∞）上为增函数的是（ ）
A ．y=x ﹣1
B ．y=（）x
C ．y=x+
D ．y=ln （x+1）
12．有下列四个命题：
①“若a 2+b 2=0，则a ，b 全为0”的逆否命题； ②“全等三角形的面积相等”的否命题； ③“若“q ≤1”，则x 2+2x+q=0有实根”的逆否命题；
④“矩形的对角线相等”的逆命题． 其中真命题为（ ）
A ．①②
B ．①③
C ．②③
D ．③④
二、填空题
13．若在圆C ：x 2+（y ﹣a ）2=4上有且仅有两个点到原点O 距离为1，则实数a 的取值范围是 ．
14．定义在R 上的可导函数()f x ，已知()
f x y e =′的图象如图所示，则()y f x =的增区间是 ▲ ．
的球完全装入底面边长为6的正四棱柱容器中，则正四棱柱容器的高的最
a ，
b ，
c ，sinA ，sinB ，sinC 依次成等比数列，c=2a 且•=24，
的面积是 ．17．已知面积为
的△ABC 中，∠A=
若点D 为BC 边上的一点，且满足
=
，则当AD 取最小时，
BD 的长为 ．
18．已知奇函数f （x ）的定义域为[﹣2，2]，且在定义域上单调递减，则满足不等式f （1﹣m ）+f （1﹣2m ）＜0的实数m 的取值范围是 ．
三、解答题
19．已知函数f （x ）=ax 3+2x ﹣a ， （Ⅰ）求函数f （x ）的单调递增区间；
（Ⅱ）若a=n 且n ∈N *，设x n 是函数f n （x ）=nx 3
+2x ﹣n 的零点．
（i ）证明：n ≥2时存在唯一x n 且
；
（i i ）若b n =（1﹣x n ）（1﹣x n+1），记S n =b 1+b 2+…+b n ，证明：S n ＜1．
20．已知复数z=
．
（1）求z 的共轭复数；
（2）若az+b=1﹣i ，求实数a ，b 的值．
21．某实验室一天的温度（单位：）随时间（单位;h）的变化近似满足函数关系；
(1) 求实验室这一天的最大温差；
(2) 若要求实验室温度不高于，则在哪段时间实验室需要降温？
22．已知p：x∈A={x|x2﹣2x﹣3≤0，x∈R}，q：x∈B={x|x2﹣2mx+m2﹣4≤0，x∈R，m∈R} （1）若A∩B=[0，3]，求实数m的值；
（2）若p是￢q的充分条件，求实数m的取值范围．
23．已知函数f（x）的定义域为{x|x≠kπ，k∈Z}，且对定义域内的任意x，y都有f（x﹣y）=
成立，且f（1）=1，当0＜x＜2时，f（x）＞0．
（1）证明：函数f（x）是奇函数；
（2）试求f（2），f（3）的值，并求出函数f（x）在[2，3]上的最值．
24．如图，在三棱锥 P ABC -中，,,,E F G H 分别是,,,AB AC PC BC 的中点，且
,PA PB AC BC ==.
（1）证明： AB PC ⊥； （2）证明：平面 PAB 平面 FGH .
抚宁区实验中学2018-2019学年高二上学期第二次月考试卷数学（参考答案）一、选择题
1．【答案】D
【解析】解：分两种情况：①在同一平面内，垂直于同一条直线的两条直线平行；
②在空间内垂直于同一条直线的两条直线可以平行、相交或异面．
故选D
【点评】本题主要考查在空间内两条直线的位置关系．
2．【答案】D
【解析】
试题分析：空集是任意集合的子集。

故选D。

考点：1.元素与集合的关系；2.集合与集合的关系。

3．【答案】D.
第Ⅱ卷（共110分）
4．【答案】B
【解析】解：由于α是△ABC的一个内角，tanα=，
则=，又sin2α+cos2α=1，
解得sinα=，cosα=（负值舍去）．
则cos（α+）=cos cosα﹣sin sinα=×（﹣）=．
故选B．
【点评】本题考查三角函数的求值，考查同角的平方关系和商数关系，考查两角和的余弦公式，考查运算能力，属于基础题．
5． 【答案】C
【解析】解：f （x ）=x 2﹣2x+3=（x ﹣1）2
+2，对称轴为x=1．
所以当x=1时，函数的最小值为2． 当x=0时，f （0）=3．
由f （x ）=3得x 2
﹣2x+3=3，即x 2
﹣2x=0，解得x=0或x=2．
∴要使函数f （x ）=x 2
﹣2x+3在[0，a]上有最大值3，最小值2，则1≤a ≤2．
故选C ．
【点评】本题主要考查二次函数的图象和性质，利用配方法是解决二次 函数的基本方法．
6． 【答案】B
【解析】解：由三视图可知：此几何体为圆锥的一半，
∴此几何体的体积==2π．
故选：B ．
7． 【答案】A 【解析】
考
点：三角函数的图象性质． 8． 【答案】A
解析：抛物线C ：y x 82
的焦点为F （0，2），准线为l ：y=﹣2，
设P （a ，﹣2），B （m ，），则=（﹣a ，4），=（m ，﹣2），
∵
，∴2m=﹣a ，4=
﹣4，∴m 2=32，由抛物线的定义可得|QF|=
+2=4+2=6．故选A ．
9． 【答案】D
【解析】解：∵ =（1，1，0），=（﹣1，0，2），
∴k +=k （1，1，0）+（﹣1，0，2）=（k ﹣1，k ，2），
2﹣=2（1，1，0）﹣（﹣1，0，2）=（3，2，﹣2），
又k +与2﹣互相垂直，
∴3（k ﹣1）+2k ﹣4=0，解得：k=．
故选：D ．
【点评】本题考查空间向量的数量积运算，考查向量数量积的坐标表示，是基础的计算题．
10．【答案】 C
【解析】解：设四面体的内切球的球心为O ， 则球心O 到四个面的距离都是R ， 所以四面体的体积等于以O 为顶点，
分别以四个面为底面的4个三棱锥体积的和．
则四面体的体积为
∴R= 故选C ．
【点评】类比推理是指依据两类数学对象的相似性，将已知的一类数学对象的性质类比迁移到另一类数学对象上去．一般步骤：①找出两类事物之间的相似性或者一致性．②用一类事物的性质去推测另一类事物的性质，得出一个明确的命题（或猜想）．
11．【答案】 D
【解析】解：①y=x ﹣1
在区间（0，+∞）上为减函数，
②y=（）x是减函数，
③y=x+，在（0，1）是减函数，（1，+∞）上为，增函数，
④y=lnx在区间（0，+∞）上为增函数，
∴A，B，C不正确，D正确，
故选：D
【点评】本题考查了基本的函数的单调区间，属于基本题目，关键掌握好常见的函数的单调区间．
12．【答案】B
【解析】解：①由于“若a 2+b 2
=0，则a ，b 全为0”是真命题，因此其逆否命题是真命题；
②“全等三角形的面积相等”的否命题为“不全等的三角形的面积不相等”，不正确；
③若x 2+2x+q=0有实根，则△=4﹣4q ≥0，解得q ≤1，因此“若“q ≤1”，则x 2+2x+q=0有实根”的逆否命题是真命题；
④“矩形的对角线相等”的逆命题为“对角线相等的四边形是矩形”，是假命题．
综上可得：真命题为：①③．
故选：B ．
【点评】本题考查了命题之间的关系及其真假判定方法，考查了推理能力，属于基础题．
二、填空题
13．【答案】 ﹣3＜a ＜﹣1或1＜a ＜3 ．
【解析】解：根据题意知：圆x 2+（y ﹣a ）2=4和以原点为圆心，1为半径的圆x 2+y 2
=1相交，两圆圆心距d=|a|， ∴2﹣1＜|a|＜2+1， ∴﹣3＜a ＜﹣1或1＜a ＜3． 故答案为：﹣3＜a ＜﹣1或1＜a ＜3．
【点评】本题体现了转化的数学思想，解题的关键在于将问题转化为：圆x 2+（y ﹣a ）2
=4和以原点为圆心，1为半径的圆x 2+y 2
=1相交，属中档题．
14．【答案】（﹣∞，2）
【解析】 试题分析：由()
21()0f x x e
f x '≤
≥⇒≥′时，()
21()0f x x e
f x '><⇒<′时，所以()y f x =的
增区间是（﹣∞，2） 考点：函数单调区间
15．【答案】 4+ ．
【解析】解：作出正四棱柱的对角面如图，
∵底面边长为6，∴BC=，
球O 的半径为3，球O 1 的半径为1，
则
，
在Rt △OMO 1中，OO 1=4，
，
∴=，
∴正四棱柱容器的高的最小值为4+．
故答案为：4+．
【点评】本题考查球的体积和表面积，考查空间想象能力和思维能力，是中档题．
16．【答案】4．
【解析】解：∵sinA，sinB，sinC依次成等比数列，
∴sin2B=sinAsinC，由正弦定理可得：b2=ac，
∵c=2a，可得：b=a，
∴cosB===，可得：sinB==，
∵•=24，可得：accosB=ac=24，解得：ac=32，
∴S
△ABC=acsinB==4．
故答案为：4．
17．【答案】．
【解析】解：AD取最小时即AD⊥BC时，根据题意建立如图的平面直角坐标系，根据题意，设A（0，y），C（﹣2x，0），B（x，0）（其中x＞0），
则=（﹣2x，﹣y），=（x，﹣y），
∵△ABC的面积为，
∴⇒=18，
∵=cos=9，
∴﹣2x2+y2=9，
∵AD⊥BC，
∴S=••=⇒xy=3，
由得：x=
，
故答案为：
．
【点评】本题考查了三角形的面积公式、利用平面向量来解三角形的知识．
18．【答案】 [﹣，] ．
【解析】解：∵函数奇函数f （x ）的定义域为[﹣2，2]，且在定义域上单调递减，
∴不等式f （1﹣m ）+f （1﹣2m ）＜0等价为f （1﹣m ）＜﹣f （1﹣2m ）=f （2m ﹣1），
即，即，得﹣≤m ≤，
故答案为：[﹣，] 【点评】本题主要考查不等式的求解，根据函数奇偶性将不等式进行转化是解决本题的关键．注意定义域的限
制．
三、解答题
19．【答案】
【解析】解：（Ⅰ）f'（x）=3ax2+2，
若a≥0，则f'（x）＞0，函数f（x）在R上单调递增；
若a＜0，令f'（x）＞0，∴或，
函数f（x）的单调递增区间为和；
（Ⅱ）（i）由（Ⅰ）得，f n（x）=nx3+2x﹣n在R上单调递增，
又f n（1）=n+2﹣n=2＞0，
f n（）==
==﹣
当n≥2时，g（n）=n2﹣n﹣1＞0，，
n≥2时存在唯一x n且
（i i）当n≥2时，，∴（零点的区间判定）
∴，（数列裂项求和）
∴，
又f1（x）=x3+2x﹣1，，（函数法定界）
，又，
∴，
∴，（不等式放缩技巧）
命题得证．
【点评】本题主要考查了导数的求单调区间的方法和利用数列的裂项求和和不等式的放缩求和技巧解题，属于难题．
20．【答案】
【解析】解：（1）．
∴=1﹣i．
（2）a（1+i）+b=1﹣i，即a+b+ai=1﹣i，
∴，
解得a=﹣1，b=2．
【点评】该题考查复数代数形式的乘除运算、复数的基本概念，属基础题，熟记相关概念是解题关键．21．【答案】
【解析】（1）∵f（t）=10﹣=10﹣2sin（t+），t∈[0，24），
∴≤t+＜，故当t+=时，函数取得最大值为10+2=12，
当t+=时，函数取得最小值为10﹣2=8，
故实验室这一天的最大温差为12﹣8=4℃。

（2）由题意可得，当f（t）＞11时，需要降温，由（Ⅰ）可得f（t）=10﹣2sin（t+），
由10﹣2sin（t+）＞11，求得sin（t+）＜﹣，即≤t+＜，
解得10＜t＜18，即在10时到18时，需要降温。

22．【答案】
【解析】解：由已知得：A={x|﹣1≤x≤3}，
B={x|m﹣2≤x≤m+2}．
（1）∵A∩B=[0，3]
∴
∴，
∴m=2；
（2）∵p是¬q的充分条件，∴A⊆∁R B，
而C R B={x|x＜m﹣2，或x＞m+2}
∴m﹣2＞3，或m+2＜﹣1，
∴m＞5，或m＜﹣3．
23．【答案】
【解析】（1）证明：函数f（x）的定义域为{x|x≠kπ，k∈Z}，关于原点对称．
又f（x﹣y）=，
所以f（﹣x）=f[（1﹣x）﹣1]===
===，
故函数f（x）奇函数．
（2）令x=1，y=﹣1，则f（2）=f[1﹣（﹣1）]==，
令x=1，y=﹣2，则f（3）=f[1﹣（﹣2）]===，
∵f（x﹣2）==，
∴f（x﹣4）=，
则函数的周期是4．
先证明f（x）在[2，3]上单调递减，先证明当2＜x＜3时，f（x）＜0，
设2＜x＜3，则0＜x﹣2＜1，
则f（x﹣2）=，即f（x）=﹣＜0，
设2≤x1≤x2≤3，
则f（x1）＜0，f（x2）＜0，f（x2﹣x1）＞0，
则f（x1）﹣f（x2）=，
∴f（x1）＞f（x2），
即函数f（x）在[2，3]上为减函数，
则函数f（x）在[2，3]上的最大值为f（2）=0，最小值为f（3）=﹣1．
【点评】本题主要考查了函数奇偶性的判断，以及函数的最值及其几何意义等有关知识，综合性较强，难度较大．
24．【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析．
【解析】
考点：平面与平面平行的判定；空间中直线与直线的位置关系.。