江苏省滨海县八滩中学高三数学上学期周练试题(2)苏教

(第5题图)
八滩中学2013届高三数学周练习2
班级____________________姓名__________________________
一．填空题
1．已知集合A ＝{x |x 2
＜3x ＋4，x ∈R }，则A ∩Z 中元素的个数为____4_____。

2．若(1－2i)i ＝a ＋b i （a ，b ∈R ，i 为虚数单位），则ab ＝3．某工厂生产A ，B ，C 三种不同型号的产品，产品数量之比 依次为2:3:5，现用分层抽样方法抽出一个容量为n 的样本，样 本中A 种型号的产品有16件，那么此样本的容量n ＝__80___。

4．在大小相同的4个小球中，2个是红球，2机抽取2个球，则所抽取的球中至少有一个红球的概率是__6
5
___5．已知某算法的流程图如图所示，则程序运行结束时输出的结果为__)3,9(-____。

6．已知π2
cos(
)23α-=，则cos α＝___9
1______。

7．已知一个正六棱锥的高为10cm ，底面边长为6cm ，则这个正
六棱锥的体积为___3180______cm 3。

8．已知各项均为正数的等比数列{a n }的前n 项和为S n ，若a 3＝18，
S 3＝26，则{a n }的公比q ＝____3_____。

9．在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，已知a ＝1，A ＝60°，c ＝
3
3
， 则△ABC 的面积为_____
6
3
______。

10．已知函数2
()f x x bx c =++，（,b c R ∈），()
()x
f x F x e '=
，若()F x 图象在0x =处的切线方程为2y x c =-+，则函数()f x 的最小值是______0_____。

11．已知直线
y ＝a 与函数x
x f 2)(=及函数x
x g 23)(⋅=的图象分别相交于A ，B 两点，则
A ，
B 两点之间的距离为_____3log 2_______。

12．如图，A ，B 是半径为1的圆O 上两点，且∠AOB ＝
π
3。

若点C C
B 是圆O 上任意一点，则→OA ▪→B
C 的取值范围为__2
1
,23[-___。

提示：建立坐标系
13．已知过点)3,9(P 的直线l 与x 轴正半轴、y 轴正半轴分别交于A 、B 两点，则距离AB 最小值为
提示：设角α=∠BAO ，则α
αcos 9
sin 3+=
AB ， 14．已知,,x y z R ∈，且2
2
2
1,3x y z x y z ++=++=，则xyz 的最大值是 27
5。

提示：设b a y b a x -=+=,，则188)(2
3
-+-==a a xyz a f 二．解答题
15．已知平面向量)3,cos 5(),sin 2,1(θθ==b a 。

(1)若a ∥b ，求sin2θ的值； (2)若a ⊥b ，求tan(θ＋π
4)的值。

sin2θ＝35 tan(θ＋π4)= 1
11
16．如图，已知斜三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，AB ＝AC ，D 为BC 的中点。

(1)若平面ABC ⊥平面BCC 1B 1，求证：AD ⊥DC 1； (2)求证：A 1B//平面ADC 1。

17．在一个矩形体育馆的一角MAN 内（如图所示），用长为a 的围栏设置一个运动器材储存区域，已知B 是墙角线AM 上的一点，C 是墙角线AN 上的一点。

(1)若BC ＝a ＝10，求储存区域三角形ABC 面积的最大值；25
(2)若AB ＝AC ＝10，在折线MBCN 内选一点D ，使DB ＋DC ＝a ＝20，求储存区域四边形DBAC 面积的最大值。

提示：建立适当的坐标系，
得D 的轨迹方程：
150
1002
2=+y x A
B
C D A 1
B 1
C 1
DBC ABC S S S ∆∆+=
18．已知函数2
2()ln ()a f x x a x a x
=+-∈R 。

(1)讨论函数()y f x =的单调区间；
(2)设2()24ln 2g x x bx =-+-，当a ＝1时，若对任意的x 1，x 2∈[1,e]（e 是自然对数的底数），12()()f x g x ≥，求实数b 的取值范围。

提示：当0=a 时，x x f =)(。

当0>a 时，)(x f 在),2(+∞a 上是增函数，在)2,0(a 上是减函数。

当0<a 时，)(x f 在),(+∞-a 上是增函数，在),0(a -上是减函数。

19．设()2012()k k k f n c c n c n c n k =+++⋅⋅⋅+∈N ，其中012,,,,k c c c c ⋅⋅⋅为非零常数，数列{a n }的首项a 1＝1，前n 项和为S n ，对于任意的正整数n ，a n ＋S n ＝()k f n 。

(1)若k ＝0，求证：数列{a n }是等比数列；
(2)试确定所有的自然数k ，使得数列{a n }能成等差数列。

提示：若k=0，由（1）知，不符题意，舍去． 若k=1，设c bn n f +=)(1（c b ,为常数）， 当2≥n 时，c bn S a n n +=+，③
c n b S a n n +-=+--)1(11，④
…………
20．已知椭圆22221(0)x y a b a b
+=>>
的离心率为2,
且过点1(
)22P , 记椭圆的左顶点为A 。

(1)求椭圆的方程；
(2)设垂直于y 轴的直线l 交椭圆于,B C 两点, 试求ABC ∆面积的最大值；
(3)过点A 作两条斜率分别为12,k k 的直线交椭圆于,D E 两点, 且122k k =, 求证: 直线
DE 恒过一个定点。

(1)椭圆C 的方程为22
21x y += (2)设(,)B m n ,(,)C m n -,则
1
2||||||||2
ABC S m n m n ∆=⨯⨯=⋅
又2212|||m n m n =+≥=⋅,
所以||||m n ⋅≤
当且仅当|||m n =
时取等号，从而ABC S ∆≤
, 即ABC ∆
(3) 因为A(－1,0),所以12:(1),:(1)AB y k x AC y k x =+=+,
由122(1)21y k x x y =+⎧⎨+=⎩,消去y,得2222111(12)4210k x k x k +++-=,解得x=－1或212
1
1212k x k -=+, ∴点211
22
11122(,)1212k k B k k -++……………11分 同理,有222
2222122(,)1212k k C k k -++,而122k k =,
∴211
22
11
84(,)88k k C k k -++…12分 ∴直线BC 的方程为11
222
11112222
1111
22
1142281212()8121212812k k k k k k y x k k k k k k -
++--=⋅---++-
++, 即2
111222
1112312()122(2)12k k k y x k k k --=⋅-+++,
即11
22
11352(2)2(2)
k k y x k k =+++………………………14分 所以2
112(35)0yk x k y +++=,则由0350
y x =⎧⎨
+=⎩,得直线BC 恒过定点5
(,0)3-。