高考数学压轴考试文科试题
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高考压轴考试文科数学试题
本套试卷分第一卷(选择题)和第二卷〔非选择题〕两局部.第一卷50分,第二卷100分,卷面一共计150分,时间是120分钟.
第一卷〔选择题 一共50分〕
一、选择题:此题一共有10个小题,每一小题5分,一共50分;在每一小题给出的四个选项里
面只有一项是哪一项正确的
1.集合A 、B ,全集∪,给出以下四个命题
⑴假设A B ⊆,那么A B B =; ⑵假设A B B =,那么A B B =;
⑶假设()a A
C B ∈,那么a A ∈; ⑷假设()a C A B ∈,那么()a A B ∈
那么上述正确命题的个数为
A .1
B .2
C .3
D .4
2.设非零向量a 、b 、c ,假设a b c p a
b
c
=
+
+
,那么p 的取值范围为
A .[0,1]
B .[0,2]
C .[0,3]
D .[1,2]
3.设等差数列{}n a 的前n 项和为n S ,当1a 、d 变化时,假设4688()a a a +++1012(a a +
1416)a a ++是一个定值,那么以下各数中也为定值的是
A .7S
B .8S
C .13S
D .15S
4.设1(1,)2
OM =,(0,1)ON =,那么满足条件01OP OM ≤⋅≤,01OP ON ≤⋅≤的动点P 的
变化范围〔图中阴影局部含边界〕是
A B C D 5.在斜三角形ABC 中,sin cos cos A B C =-且tan tan 1B C =-A 的值是
A .
6π B .3
π
C .23π
D .56π
6.设两个非零向量12,e e 不一共线,假设12ke e +与12e ke +也不一共线,那么实数k 的取值范
围为
A .(,)-∞+∞
B .(,1)(1,)-∞-⋃-+∞
C .(,1)(1,)-∞⋃+∞
D .(,1)(1,1)(1,)-∞-⋃-⋃+∞
7.设A 、B 、C 、D 是半径为2的球面上四个不同的点,且满足0AB AC ⋅=,0AD AC ⋅=,
0AB AD ⋅=,那么ABC ABD ACD S S S ∆∆∆++的最大值为
A .16
B .8
C .4
D .2 8.由方程||||1x x y y +=确定的函数()y f x =在R 上是
A .奇函数
B .偶函数
C .增函数
D .减函数
9.函数2
()()(,)f x x ax b a b
R =+∈
在2x =时有极值,其图象在点(1,
(1))f 处的切线与直线
30
x y +=平行,那么函数()f x 的单调减区间为
A .〔-∞,0〕
B .〔0,2〕
C .〔2,+∞〕
D .〔-∞,+∞〕
10.定义在R 上的函数()f x 对任意的x 都有(3)()3f x f x +≤+和(2)()2f x f x +≥+且
(1)1f =,那么(2008)f 的值是
A .2021
B .2006
C .2021
D .2021
第二卷〔非选择题 一共100分〕
二、填空题:本大题一一共5小题,每一小题5分,一共25分.把答案填在题中横线上. 11.分别把写有0,1,2,3,4数字的四张纸片放入一盒中,每次取一张记数字为m ,放回后再
取一张记数字为n ,设P 〔m,n 〕为平面中的点,那么点2
2
(,){(,)|916144}P m n x y x y ∈+≤的概率为_________
12.在102)1)(1(x x x -++的展开式中,含4x 的系数为 . 13.假设111111111111
2612203042567290110132156
a =
+++++++++++
,且sin a θ=,([0,])2πθ∈,那么tan 2
θ
= .
14.一个公司有N 个员工,下设一些部门,现采用分层抽样方法从全体员工中抽取一个容量为n
的样本〔N 是n 的倍数〕,某部门被抽取m 个员工,那么这个部门的员工数为 . 15.如右图,在杨辉三角形中,从上
往下数一共有n(n ∈N *
)行,在这些数中非1的
数字之和为
三、解答题:本大题一一共6小题,一共75分,解答题应写出文字说明、证明过程或者演算步骤。
16.〔本小题满分是12分〕
函数()y f x =的图象关于直线3x =对称,当(1)320f -=
且cos sin x x -=
时,求15sin 2cos()4x f x π⎡⎤⎢⎥⎢⎥
⎢⎥+⎣⎦
的值.
17.〔本小题满分是12分〕
某种工作元件有3个,它能正常工作的概率均为0.6,请设计成一个工作系统,使该系统正常工作的概率不低于0.7〔要求画出系统图,并计算正常工作的概率〕
18.〔本小题满分是12分〕
设函数()4f x x b =-+,不等式|()|f x c <的解集为〔-1,2〕
〔Ⅰ〕判断41
()()()2
x g x x f x =
>的单调性,并用定义证明; 〔Ⅱ〕解不等式
40()
x m
f x +>.
1
1 1
1 2
1
1
A 1
B 1
C
19.〔本小题满分是12分〕
如图,在直三棱柱ABC —A 1B 1C 1中,AC=BC=3,AA 1=1,∠ACB=90°. 〔Ⅰ〕求异面直线A 1B 与CB 1所成角的大小;
〔Ⅱ〕问:在A 1B 1边上是否存在一点Q ,使得平面QBC 与平面A 1BC 所成的角为30°,假设存在,恳求点Q 的位置,假设不存在,请说明理由.
20.〔本小题满分是13分〕
设R y x ∈,,j i
,为直角坐标平面内x 轴.y 轴正方向上的单位向量,假设
j y i x b j y i x a )2(,)2(-+=++=,且8||||=+b a
〔Ⅰ〕求动点M(x,y)的轨迹C 的方程;
〔Ⅱ〕设曲线C 上两点A .B ,满足(1)直线AB 过点〔0,3〕,(2)假设OB OA OP +=,那么OAPB 为矩形,试求AB 方程.
21.〔本小题满分是14分〕
直线)(*N n n y x ∈=+与x 轴.y 轴所围成区域内部〔不包括边界〕的整点个数为n a ,所围成区域内部〔包括边界〕的整点个数为n b ,〔整点就是横坐标,纵坐标都为整数的点〕
〔Ⅰ〕求3a 和3b 的值; 〔Ⅱ〕求n a 及n b 的表达式;
〔Ⅲ〕对n a 个整点用红.黄.蓝.白四色之一着色,其方法总 数为A n ,对n b 个整点用红.黄.两色之一着色,其方法总数为B n ,试比拟A n 与B n 的大小.
参考答案
一、选择题
1.B 2.C 3.C 4.A 5.A 6.D 7.B 8.D 9.B 10.D 二、填空题 11.
1325
12.135 13.32 14.n N
m ⋅ 15.n n 22-
三、解答题
16.解:∵523sin cos =-x x ,得5
3
)4cos(=+πx ……………2〔分〕
又∵25
7
)4(cos 21)22cos(2sin 2=+-=+-=π
πx x x ……4〔分〕
∴)7()4cos(2sin 15f x x f =⎥⎥
⎥⎥
⎦⎤
⎢⎢⎢⎢⎣
⎡+π………………………………8〔分〕
由题意)(x f y =关于直线3=x 对称
∴)3()3(x f x f -=+…………………………………………10〔分〕 即320)1(43()43()7(=-=-=+=f f f f
〔分〕 17.解法一:利用2个工作元件,系统图6〔分〕
设工作系统为N ,工作元件A
.BHY 那么系统正常工作的概率
84.0)4.04.0
(1)(1)(=⨯-=⋅-=B A P N P ……………………12〔分〕
〔或者84.06.06.04.06.06.04.0)()()()(=⨯+⨯+⨯=⋅+⋅+⋅=B A P B A P B A P N P 〕
解法二:利用3个工作元件,系统图…………6〔分〕
设工作系统为N ,工作元件A=B .CHY 那么系统正常工作的概率为
936.04.04.04.01)(1)(=⨯⨯-=⋅⋅-=C B A P N P ………………12〔分〕
解法三:利用3个工作元件,系统图………6〔分〕
设工作系统为N ,工作元件A .B .CHY 那么系统正常工作的概率为
)]()()([1)(B A C P B A C P B A C P N P ⋅⋅+⋅⋅+⋅⋅-=
744.0)4.04.04.04.06.04.06.04.04.0(1=⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯-=………………12〔分〕
18.解:∵c b x <+-|4|得
4
4c
b x
c b +<<- 又∵c x f <)(|的解集为〔-1,2〕
∴⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=+-=-24
14
c b c
b 得b=2……………………………………2〔分〕
〔Ⅰ〕函数x x
x g 424)(-=在),21(+∞上为增函数…………4〔分〕
证明:设2
1
21>
>x x 那么)
21)(21()(2)()(212121x x x x x g x g ---=
-
∵2
1
21>
>x x ∴0,0)21)(21(2121>->--x x x x ∴0)()(21>-x g x g 即)()(21x g x g > ∴函数x x x g 424)(-=在⎪⎭
⎫
⎝⎛+∞,21上为增函数………………6〔分〕 〔Ⅱ〕由0244>+-+x m x 得0214<⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎭⎫ ⎝
⎛
+x m x ……………………8〔分〕
①当214>-m ,即2-<m 时,421m
x -<< ②当2
1
4=-m ,即2-=m 时,无解 ③当214<-
m ,即2->m 时,2
14<<-x m ∴当2-<m 时,解集为⎪⎭
⎫ ⎝⎛-
4,21
m 当2-=m 时,解集为空集 当2->m 时,解集为⎪⎭
⎫
⎝⎛-
21,4m …………………………12〔分〕 19.建立如示空间直角坐标系,那么
)0,3,0(),1,0,3(11B A
)1,3,0(),0,0,0(B C
7||),1,3,3(11=--=B A B A 2||),1,3,0(11==CB CB
7
77
22|
|||cos 111111=
=
⋅>=
⋅<CB B A CB B A CB B A 异面直线A 1B 与CB 1所成的角为7
7
arccos
………………6〔分〕 〔Ⅱ〕答:存在这样的点Q ,使得面QBC 与面A 1BC 成30°角. 解:∵是直三棱柱,又∠ACB=90°,∴BC ⊥CA 1,BC ⊥CC 1
∴∠A 1CC 1是二面角A 1-BC -C 1所成的平面角
在Rt ΔA 1C 1C 中,∠A 1CC 1=60°……………………………8〔分〕 在A 1B 1边上取一点Q ,在平面A 1B 1C 1中作QP ∥B 1C 1,交A 1C 1于P ,连PC 过证P .Q .B .C 一共面
∴∠A 1CP 就是Q —BC —A 1的平面角为30°…………………10〔分〕 ∵30°<60°,故有在点P ,在角A 1CC 1的平分线上 在Rt ΔPC 1C 中,可得3
31=
PC 又A 1B 1=6,由相似比可得,Q 在距点A 362处〔或者距B 1点3
6
处〕……12〔分〕 20.〔Ⅰ〕解:令)2,0(),2,0(),,(21F F y x M -
那么M F b M F a 21,== 即||||||||21M F M F b a +=+
即8||||21=+M F M F
又∵C F F 2421== ∴12,4,22===b a c ……………………3〔分〕 所求轨迹方程为112
162
2=+x y …………………………………………6〔分〕
〔Ⅱ〕解:由条件〔2〕可知OAB 不一共线,故直线AB 的斜率存在 设AB 方程为),(),,(,32211y x B y x A kx y +=
那么02118)43(112
163222
2=-++⇒⎪
⎩⎪
⎨⎧=++=kx x k x y kx y ………………………8〔分〕 4
3182
21+-
=+k k x x 4
3212
21+-=
⋅k x x
4
34839)(3)3)(3(2
221212
2121+-=
+++=++=⋅k k b x x k x x k kx kx y y
∵OAPB 为矩形,∴OA ⊥OB 0=⋅OB OA ……………………10〔分〕
z
∴02121=+y y x x 得4
5±=k 所求直线方程为34
5
+±
=x y ……………………………12〔分〕 21.〔Ⅰ〕解:n=3时,直线x=0上有〔0,0〕〔0,1〕〔0,2〕〔0,3〕个点,直线x=1上有〔1,
0〕〔1,1〕〔1,2〕,直线x=2上有〔2,0〕〔2,1〕,直线x=3上有〔3,0〕 所以101234,133=+++==b a ……………………………4〔分〕 〔Ⅱ〕解:n=1时,b 1=3, a 1=0 n=2时,b 1=6, a 2=0
当n ≥3时,2
)
2)(1(12)1()1(++=+++-+++=n n n n n b n 2
)
2)(1(3)1(3--=++-=n n n b a n n
当n=1.2时也满足
所以)(2
2
3,223*22N n n n b n n a n n ∈++=+-=……………9〔分〕
〔Ⅲ〕对于n a 个整点中的每一个点都有4种着色方法,故22
324+-=n n n A
对于n b 个整点中的每一个点都有2种着色方法,故2
2322++=n n n B ……11〔分〕
2465)29(2
2922
3)23(22222
22
-
-+-++-
+-=
=
=
n n n n n n n n
n B A
当n=1.2.3.4.5.6.7.8时n n B A <
当n ≥9且n ∈N *
时,n n B A >…………………………………14〔分〕。