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第八章 多元函数微积分
本章主要知识点
● 一阶偏导数计算 ● 可微与全微分 ● 二阶偏导数
● 二重积分—直角坐标系 ● 二重积分—极坐标系
一、一阶偏导数计算
多元函数一阶偏导数计算主要有下面问题：（1）显式函数一阶偏导。

（2）复合函数一阶偏导。

（3）隐函数一阶偏导数。

1．显函数的一阶偏导数
例8.1．2
sin()
x y u xe
=，求
,u u x y
∂∂∂∂。

解：
()22sin 2sin 2cos()1cos x y x y xy u
e xy x y e xy x y e x
∂=+=+∂ 23sin 2cos x y u
x e x y y
∂=∂ 例8.2．()y y z
u x y zx =++，求
,,u u u x y z
∂∂∂∂∂∂。

解：()1
1110y y y y y u yx y zx z yx yz x x ----∂=++=+∂，
()()zx zy zy x x y u y
z y ln ln 1++=∂∂-， 11ln ln 0--+=++=∂∂y y z y y z z yx y y z y x y y z
u
， 例8.3
．(ln z x =＋y
x ，求
,u u x y
∂∂∂∂。

解：111y y u yx yx x --⎛⎫
∂=
+=∂，
ln ln y y z x x x x y ∂=+=∂。

2．复合函数的求偏导
我们用具体的例子来说明复合函数的求偏导的解题步骤。

例如()x xy y x f u sin ,,+=，其中f 为已知可微三元函数，求
z
u
y u x u ∂∂∂∂∂∂,,。

第一步：变量z y x ,,的关系网络图
12
3x y x u y x ⎧∨→⎪
∆⎪⎪∨⎪
→⎨∆⎪
⎪→→∨⎪⎪⎩
其中1，2，3分别表示x xy y x sin ,,+
第二步：寻找与x 对应的路径()∨，计算的过程可以总结为“路中用乘，路间用加”
1231231cos cos u
f f y f x f f y f x x
∂''''''=⋅+⋅+=+⋅+∂ 同理，寻找与y 对应的路径()∆，
12121u
f f x f f x y
∂''''=⋅+⋅=+⋅∂。

例8.4．()22sin(),x y
u f xy e +=，求,u u x y
∂
∂∂∂。

解：22212cos()x y u
f xy y f e x +∂''=⋅⋅+⋅∂ 22122cos()2x y u
f xy xy f e y
+∂''=⋅⋅+⋅∂ 例8.5．2(,sin(23),)xyz
u f xz z y ze =+求z
u y u x u ∂∂∂∂∂∂,,。

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解：
12
3x z y u f z x y z ⎧⎪∨⎪→⎪∆⎪*
⎪=→⎨∆⎪⎪∨⎪→*⎪⎪∆
⎩
2213xyz u
f z f z ye x ∂''=⋅+⋅∂ 2233cos(23)xyz u
f z y f xz e y ∂''=⋅++⋅∂ 12322cos(23)(1)xyz u
f xz f z y f e xyz z
∂'''=⋅+⋅++⋅+∂。

3．隐函数一阶偏导
由方程0),,(=z y x F 决定隐函数),(y x z z =。

求偏导公式为：
x z F z
x F '∂=-'∂，y z F z y F '∂=-'
∂ 例8.6．),(y x z z =由方程132222+=++++z
y x e z y x 决定，求
y
z
x z ∂∂∂∂,。

解： 2
2
2
231x y z
F x y z e
++=++--
2323232x y z x x y z
z F z
x e x F e z ++++'∂-=-='∂- 23232232x y z y x y z
z F z y e y F e z
++++'∂-=-='∂-. 例8.7．1)2sin(2
2+=++z yz y x x ，求y
z
x z ∂∂∂∂,。

解：2
2
sin(2)1F x x y yz z =++--
222
sin(2)2cos(2)cos(2)2x z F z
x y yz x x y yz x F xy x y yz z
'∂-++-++=-='∂++- 22
(2)cos(2)cos(2)2y z F z
x y z x y yz y F xy x y yz z '∂-+++=-='∂++-。

二、全微分
),(y x f u =，全微分dy y f
dx x f du ∂∂+∂∂=
),,(z y x f u =，全微分dz z
f dy y f dx x f du ∂∂+∂∂+∂∂= 例8.8．tan x
u xy y
=，求du 。

解：221tan sec tan sec u x x x x y yx y x x y y y y y
∂=+⋅=+∂ 222222tan sec tan sec tan sec u x x x x x x x x x x xy x xy x y y y y y y y y y y ∂---=+⋅=+=+∂ 2(tan sec )u u x x du dx dy y x dx x y y y
∂∂=
+=++∂∂22(tan sec )x x x x dy y y y -+ 例8.9．y
x
x
y
u x y x y =+++，求du 。

解:
1ln (1ln )y x x u
yx y y x x x -∂=+++∂ 1ln (1ln )y x y u
x x xy y y y
-∂=+++∂ 1
1(ln (1ln ))(ln (1ln ))y x x y x y du yx
y y x x dx x x xy y y dy --=+++++++
例8.10．y x y x u 2sin 2
2
++=，求)2
,1(π==y x du 。

解：
y x x u
2sin 2+=∂∂ y x y x
u
2cos 22+=∂∂
第 197 页
2cos 2,
22
,12
,1-=+=∂∂=∂∂=
==
=ππππ
π
y x y x y
u x
u
2(2)du dx dy π=+-
三、二阶偏导数
例如),(y x f u =，有四个偏导数222222
,,,u u u u
x x y y x y ∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂。

分别定义为
)(2
2x u
x x
u ∂∂∂∂=∂∂，)(2y u x y x u ∂∂∂∂=∂∂∂， )(2x u y x y u ∂∂∂∂=∂∂∂，)(22y u
y y u ∂∂∂∂=∂∂ 在连续条件下x
y u
y x u ∂∂∂=∂∂∂22。

例8.11
．已知23
x u x y y =+求u 的所有二阶偏导数．
解：2
23x x u x y y =+
23
2y x u x y =-+ 5
2
2364xx y
u xy y x
=+
+ 2
3
22
211
32xy yx x u u x y x ==-
-
2
32yy x u y
=
例8.12．)ln(2
2
y x x u ++=求y
x u
∂∂∂2。

解：
2
2
22221)1(1y
x y
x x y x x x u +=
++++=∂∂
23
322222
2
1
22
()
()
u y y x y x y x y ∂-=-⋅
=
∂∂++
例8.13．已知),(y x z z =由方程2
2
2
z ye y x z
+=+决定，求y
x z
∂∂∂2。

解：方程两边对x 求偏导得：
x z z x z ye x z
∂∂+∂∂=22 即，x
z
z ye x z ∂∂+=)2(2 （*） z
ye x x z z 22+=∂∂ 两边对y 求偏导得： y
z z y z ye
e y z
z
∂∂+∂∂+=22 z
ye e y y z z
z
22+-=∂∂ （*）两边对y 求偏导得：
y
x z z ye y z y z y z ye e z
z
z
∂∂∂++∂∂∂∂+∂∂+=2)2()2(0 z
ye y
z ye y z e y
x z
z z z
2))(2(22+∂∂+-∂∂-=∂∂∂
z
ye z
ye e y ye z ye e y e z z z z
z z z
2)
22)(2(222++-+-+-⋅-=
第 199 页
3
2
)
2()2)(2()2)(2(z ye e y ye z ye e y e z z z z z z +-+-+--=。

例8.14．2(,sin ,)y
u f xy x x e =，其中f 为已知三元函数，求2u
x y
∂∂∂。

解：
123cos 2y u
f y f x f xe x
∂'''=⋅+⋅+⋅∂ 222111
132123()cos ()y y u
f y f x f x e x f x f x e x y
∂'''''''''=+⋅+⋅+⋅+⋅∂∂ ＋2331
3322()y y
y xe f xe f x f x e '''''+⋅+⋅。

四、偏导数应用
1.曲面的切平面及法线方程
（1）(,)z f x y =在0p 的法向量0{,,1}|x y p n f f ''=-
（2）曲面方程为F(x,y,z)=0，在0p 的法向量0{,,}|x y z p n F F F '''= 2.多元函数极值
求解流程：（1）驻点00(,)x y ，0000(,)0,(,)0.x y f x y f x y ''==
（2）计算000000(,),(,),(,)xx
xy yy A f x y B f x y C f x y ''''''===； 2
,B AC ∆=-则当0∆>时，无极值；当0∆<时，A>0取极小，
A<0取极大。

例8.15．求曲面3z
e z xy -+=在点P(2,1,0)处的切平面和法线方程。

解：令(,,)3z f x y z e z xy =-+-，则,,1z
x y z f y f x f e '''===-
P 点法向量(2,1,0){,,}|{1,2,0}x y z n f f f '''== 切平面为：(1)2(1)0x y -+-= 法线方程为：
11120
x y z
--==。

例8.16．求函数22
(,)(2)x f x y e x y y =++的极值。

解：由22222(2)0(22)0
x x
x f e x y y e x f e y y ∂⎧=+++=⎪∂⎪
⎨∂⎪=+=∂⎪⎩
解得驻点1(,1)2-
22224(21),2(22),2x x x xx
xy yy f e x y y f e y f e ''''''=+++=+= 2
2
20,0,2,40A e B C e B AC e =>==∆=-=-<, 点1(,1)2-取极小值，min .2
e f =-
五、累次积分
累次积分()
2211()
()
()(,)(,)b
x b x a x a x dx f x y dy f x y dy dx ϕϕϕϕ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦
⎰
⎰
⎰⎰
例8.17．计算
⎰⎰
x
x
xydy dx 21
解：原式21
2
12x
x x y
dx ⎡⎤
=⋅⎢⎥⎢⎥⎣⎦
⎰ 1
2401()2x x x dx =-⎰ 111124624
⎛⎫=-= ⎪⎝⎭ 例8.18．
⎰
⎰2
01
0sin y dx y y
dy 解：原式11
2
00sin sin y y dy y ydy y
=⋅=⎰⎰ 1
1
1
00
cos cos cos yd y y y ydy =-=-+⎰⎰
1
0cos1sin sin1cos1y =-+=-。

第
六、直角坐标下的二重积分
X
Y
例8.19解：
D
⎰⎰ 1
(=⎰1
(=⎰1
2340
31
()22x x x dx =--⎰1112410=--320=
例8.20．D 由曲线ln ,2,,y x x x e x ===轴所围的区域，计算
D
ydxdy ⎰⎰
解：
ln 2
e
x
D
ydxdy dx ydy =⎰⎰⎰⎰
2ln 02
1|2e
x y dx =⎰
221ln 2e
xdx =⎰2221
ln |ln 2e
e x x xdx =-⎰ 222
1
ln 2ln |12e
e e x x dx =--+⎰ x
21
ln 22ln 222e e e =--++- 21
ln 22ln 222
e =-+- 例8.21．D
由曲线y =
1，1
）点处切线，y =x 轴所围的区域，计算
D
xydxdy ⎰⎰
解：y '=
，(1,1)1|2
k y '==
切线方程：1
1(1)2y x -=
- 即 21x y =- 2
1
21
y
D
y xydxdy dy xydx -=⎰⎰⎰⎰
2
1
22101()|2y y y x dy -=⋅⎰
1
5201
[(21)]2y y y dy =--⎰ 1520
1
[(441)]2y y y y dy =--+⎰ 1532011141
(44)(1)22632
y y y y dy =-+-=-+-⎰0= 例8.22．D 为从1
(,1)2，1(1,)2
连线PQ ，正方形01x ≤≤，01y ≤≤去除右上角剩余部分，计算
()D
x y dxdy +⎰⎰。

解：设正方形01x ≤≤，01y ≤≤为G ，右上角部分1D ，则
1
()()()D
G
D x y dxdy x y dxdy x y dxdy +=+-+⎰⎰⎰⎰⎰⎰
11
()()G
x y dxdy dx x y dy +=+⎰⎰⎰⎰
32
y +=
图示8.4
图示8.5
第 203 页
11
21000
11
()|()22xy y dx x dx =+=+⎰⎰ 11
122
=
+= 1
1
1
132
2
()()D x x y dxdy dx x y dy -+=+⎰⎰⎰⎰
1
1
2123112
22
11313
()|[()()]22222x xy y dx x x x x dx -=+=+----⎰⎰
1
221
2
1319
[(3)]2224x x x x x dx =++---+⎰
1
212
15
()2
8x x dx =+-⎰221121153()|62816x x x =+-=
原式=313
11616
-
= 改变累次积分的积分顺序，是考查考生对二重积分定理是否掌握及掌握如何的一个重要填空题型。

具体分析的思路应是：
原累次积分−−−
→还原二重积分−−−−−→改变定限方向
新累次积分 例8.23．变换下列二重积分的次序
231
3
1
()()y
y
dy f x y dx dy
f x y dx -+++=⎰⎰
⎰⎰。

解：
原累次积分(D
f x =
⎰⎰例8.241)．⎰⎰1
),(y
y
dx y x f dy
， ⎰-x ax 20
2
0>） /2x 图示8.6
3)．⎰⎰--2
10
1
1
),(x dy y x f dx
， 4)．⎰⎰x
e dy y x
f dx ln 0
1),(
解：1)
2)
2
20
22a
y y a a
a
3) 4) 0
(,D
f x α⎰⎰例8.25．D 为,0,0,12
2
≥≥≤+y x y x 计算
⎰⎰D
xydxdy
解： 原式1
2
cos sin d r r rdr πθθθ=⋅⋅⎰⎰
第 205 页
2
1
cos sin 4d π
θθθ=⎰
220
1
sin 8
π
θ=18
= 例8.26．D 为2
2
2
a y x ≤+且0≥x ，计算
22D
x y dxdy ⎰⎰ 解：原式2
2
2
2
2
2
cos sin a
d r
r rdr ππθθθ-
=
⋅⋅⎰⎰
2
2
2
22
cos
sin 6
a d ππθθθ-
=⎰ 222
24
240
(cos cos )()3
3a a d I I π
θθθ=-=-⎰ 22131()32242248
a a πππ=⋅-⋅⋅= 例8.27．:D 412
2
≤+≤y x 且0y x <≤，计算
.arctan ⎰⎰D
dxdy y x
解：原式=2
4
1
sin arctan(
)cos r d rdr r πθ
θθ
⎰⎰
2
4
1
d rdr πθθ=⋅⎰⎰2
4
210
[
]2
r d π
θθ⋅=⎰
24
2
4064
34
323πθ
θθπ
π
===⎰d 例8.28．D 为圆周ax y x 22
2
=+与x 轴在第一象限所围部分，求⎰⎰D
xydxdy 。

解：将圆周ax y x 22
2
=+化为极坐标方程,cos 2θa r =
图示8.13
图示8.15
原式＝2cos 2
cos sin a d r r rdr πθ
θ
θθ⋅⋅⎰⎰
4
2
2cos 0
[cos sin ]
4a r d π
θ
θθθ=⎰
42
50
(2)cos sin 4
a d π
θθθ=
⎰ 4
462
1
24cos 6
3
a
a π
θ
=-⋅=。

八、二重积分应用
1.物体质量 物体质量M (,)D
x y dxdy ρ=
⎰⎰，其中(,)x y ρ为面密度函数。

例8.29．物体形状为2
2
:{(,)|1,0}D x y x y x +≤≥，面密度与点到原点的距离一致，求物体的质量。

解：(,)x y ρ=
M ＝
1
2
2
.6
D
d r rdr π
ππ
θ-=⋅=
⎰⎰
2.曲顶柱体体积 (,)xy
D V f x y dxdy
=
⎰⎰，其中xy
D 为柱体在xoy 面上的投影域，(,)z f x y =为曲面方程。

3.曲面面积 xy
D S =
⎰⎰
，(,)z f x y =为曲面方程，xy D 为曲面在xoy 面上的投影域。

例8.30．旋转抛物面222z x y =--与22
z x y =+所围立体的体积。

解：交线为：2211x y z ⎧+=⎨=⎩，立体在xoy 面投影为221
x y z ⎧+=⎨=⎩
a 图示8.16
第 207 页
2222(2)()D
D
V x y d x y d σσ=---+⎰⎰⎰⎰
＝21
2
2
20
2
(1)2(1)D
x
y d d r rdr π
σθπ--=-=⎰⎰⎰⎰。

例8.31．求旋转抛物面2
2
z x y =+被圆柱面2
2
2x y +=所截的位于第一卦限的曲面面积。

解：y 2,2y x z x z =＝，积分域D:2220,x y z +≤∧=
D
D
S =
=
=
20
13
.3
d ππ=
⎰ 单元练习题8
1．z
y x u =,则=du 。

2．0)2sin(2
=+++z x yz x ，则
=∂∂x
z。

3．),(22xy
e y x
f u =，f 为已知可微函数，则u x
∂=∂ 。

4．2,
y
u
u x x y
∂==∂∂ 。

5．改变积分⎰
⎰
π
0sin 0),(x
dy y x f dx 次序，则 。

6．改变积分
⎰⎰
1
2
3
),(x x dy y x f dx 的次序，则 。

7．z
y
x u )(=，求z
u y u x u ∂∂∂∂∂∂,,。

8．arctan
y
u x
=，求所有二阶偏导数。

9．)2sin(y x x u +=，求du 。

10．),(2
2
xy y x f z -=，求y
x z
∂∂∂2。

11．),()2(xy x g y x f z +-=，其中g f ,二阶可微，求y
x z
∂∂∂2。

12．设方程y
z
z x ln =，确定),(y x z z =，求dz 。

13．
⎰⎰
D
ydxdy ，其中D 是由直线2,0,2x y y =-==及曲线22y y x --=所围成的平面区域。

14．
66
cos y x
dy dx x ππ
⎰⎰。

15．⎰⎰⎰⎰+214222sin 2sin
x x x dy y
x
dx dy y x dx ππ。

16．{}
⎰⎰
≤+=--D
x y x y x D dxdy y x 2222),(,1。

17．
{}
⎰⎰
≤+=D
x y x y x D dxdy x 22),(,。

18 ．⎰⎰++--D
dxdy y x y x 2
22211，其中D 是0,0,12
2===+y x y x 所围区域的第一象限部分。

历年真考题
1．(2019)交换积分次序后
2
20
(,)x
x
dx f x y dy =⎰
⎰。

2．(2019)函数y
z x =的全微分z z
dz dx dy x y
∂∂=
+=∂∂ 。

3．(2019)计算二重积分2
sin D
y dxdy ⎰⎰，其中D 是由直线1,3,2x x y ===，及1y x =-所
围的区域。

4．（2019）交换积分次序
10
(,)y
e
e dy
f x y dx =⎰⎰。

5．（2019
）已知ln(z x =+，求z
x
∂∂，2z y x ∂∂∂。

6．（2019
）计算
1
+⎰
7．（2019）交换二次积分的次序
1
2330
1
(,)(,)y
y
dy f x y dx dy f x y dx -+=⎰
⎰
⎰⎰。

第 209 页
8．（2019）tan
x
z y
=的全微分。

9．（2019
）求二重积分
(1D
dxdy ⎰⎰
，其中D 为第一象限内圆222x y x +=及0y =所围成的平面区域。

10．（2019
）设arctan ,x u v y
==，则下列等式成立的是（）
A ．u v x y ∂∂=∂∂ B.u v x x
∂∂=∂∂ C. u v y x ∂∂=∂∂ D. u v y y ∂∂=∂∂ 11．（2019）交换二次积分次序：2
1
20
(,)x
x dx
f x y dy -⎰⎰
＝___________.
12．（2019）设(,),z f x y xy =-且(,)f x y 具有二阶连续偏导数，求2,z z
x x y
∂∂∂∂∂。

13．（2019）计算二重积分
sin D
y
dxdy y ⎰⎰，其中D 由曲线2,y x y x ==所围成。

14．（2019）设区域D 是xoy 平面上以点A(1,1)，B(-1,1)，C(-1,-1)为顶点的三角形区域，
区域1D 是D 在第一象限的部分，则(cos sin )D
xy x y dxdy +⎰⎰＝（）
A.1
2
cos sin D x ydxdy ⎰⎰ B.1
2D xydxdy ⎰⎰ C.1
4(cos sin )D xy x y dxdy +⎰⎰ D. 0
15．(2019)
交换二次积分的次序：
1
1
(,)x dx f x y dy -+⎰
＝______________.
16．（2019）已知函数2
(sin ,),z f x y =其中f(u,v)具有二阶连续偏导数，求2,z z
x x y
∂∂∂∂∂。

17．（2019）设f(x)为连续函数，且f(2)=1,1
()()u
u
y
F u dy f x dx =
⎰
⎰，
（u>1） （1）交换F(u)的积分次序；
（2）求(2).F ' 本章测试题 1．221y x xy z +-
+=，则
34
___________x y z
x
==∂=∂。

2．x
y
z arctan
=，则______=dz 。

3．)1ln(2
+=y x z ，则
__________2=∂∂∂y
x z。

4．更换积分次序
()()2
2
88
1
2
,,x x
x
dx f x y dy dx f x y dy +⎰⎰
⎰⎰= 。

5．更换积分次序
()220
2,a
a x a
dx f x y dy -=⎰
⎰ 。

6．xy
z e =，则dz =（ ）
A ．xy
e dx B ．[]xy
xdy ydx e + C ．xdy ydx + D ．()xy
x y e +
7．设二重积分的积分域D 是22
4x y +≤，则
D
dxdy =⎰⎰（ ）
A ．π
B ．4π
C ．3π
D ．5π 8．ln z x z y ⎛⎫
=
⎪⎝⎭
,求dz 。

9． 计算：
dxdy y
x
D
⎰⎰。

设{}
22(,)2D x y x y ay =+≤。

10．设(,,)z z x y =是3
31z xyz -=所确定的隐含数，求dz 。

11．计算
22
ln()D
x y dxdy +⎰⎰
,其中2224:D e x y e ≤+≤。

12．设z
e yz x y x =-++222
2
，求
,z z
x y
∂∂∂∂。

13．设22
()z f x y =+且f 可微。

证明：0=∂∂-∂∂y
z x x z y 。

单元练习题8答案
1．121ln ln y y y
z z
z y y du x dx x xdy x x dz z z z
--=++⋅
2．()2cos 2120z z x y
x z x x ∂∂⎛
⎫++++= ⎪∂∂⎝
⎭，()()2cos 22cos 2x x z z x y x z --+∂=∂++ 3．
2122xy u
f xy f e y x
∂''=⋅+⋅⋅∂
第 211 页
4．21
11,ln y y y u u yx x yx x x x y
---∂∂==+∂∂∂ 5．
原式
1arcsin 0
arcsin x
x
dy f π-=⎰⎰
6．
原式(1
,dy f x =
⎰7．解：
1
,z z u zx u x y
y -∂∂==∂∂8．解：2211y u x x y x x -
∂==∂⎛⎫++ ⎪ ⎪
⎝⎭⎝⎭ ()()()()
22
22222
222222222222,x y y y u xy u u y x x x y y x x y x y x y -++⋅∂∂∂-====∂∂∂∂∂+++ 9.
()()y x x y x x u
+++=∂∂2cos 22sin ()y x x y
u
+=∂∂2cos ()()[]()dy y x x dx y x x y x dy y u dx x u du +++++=∂∂+∂∂=∴2cos 2cos 22sin 10. 122z f x f y x
∂''=⋅+∂
()()()()
2111222122222u
x f y f x f y f y f x x y
∂'''''''=⋅-+⋅++-+⋅∂∂ 2
2
111222122422xyf x f f y f xyf '''''''''=-++-+
11. 解:
122z
f g g y x
∂'''=⋅++⋅∂
()()
21222221z
f g x g y g x x y
∂'''''''=⋅-+⋅++∂∂ 图示8.18
122222f xg g xyg '''''''=-+++ 12. ()y z z x ln ln -=
对x 求偏导: ()⎪⎭
⎫ ⎝⎛-∂∂⋅+-∂∂=
01ln ln 1x z z z y z x z
11ln =⎪⎪⎭
⎫
⎝⎛+∂∂y z x z ，故 11z x x z ∂⎛⎫⋅+= ⎪∂⎝⎭， z z x x z ∂=∂+ 对y 求偏导：⎪⎪⎭
⎫ ⎝⎛-∂∂+∂∂=
y y z z z y z
y z 11ln 0 ()z x y z y z y z z x y z +=∂∂=⎪⎭
⎫ ⎝⎛+∂∂2
,
1 ()
2
z z du dx dy x z y x z =+++
13．解法一： 原式⎰⎰
---=
2
022
2
y y ydy dy
20
(2)y dy =⎰
⎰⎰----
=2
202
1()1(12
12y d
y ydy ⎰---
=1
1
22
2
121
du u y
⎰--=222cos 214π
πtdt ⎰-+-=222
2cos 1214π
πdt t
24π-=
解法二：
原式⎰
⎰⎰
⎰-⋅-=
2
2
sin 20
2
sin π
π
θ
θθrdr r d ydy dx
⎰-=ππθθθ23sin sin 384d 22143384π⋅⋅⋅-=2
4π
-= 14．积分次序
x
图示8.19
第 213 页
原式⎰
⎰
=
60
0cos π
x
dy x x
dx
⎰⋅=6
cos π
xdx x
x
⎰=60cos πxdx 60
sin π
x
=12
=
15．原式2
2
1
sin
2y y
x
dy dx y
π=⎰⎰
2
2
12cos 2y y y x dy y ππ⎛⎫=- ⎪⎝
⎭⎰
2
12cos cos 22y y y dy πππ⎛⎫=-- ⎪⎝⎭⎰
2
1
cos
2
2
y
y dy π
π=-
⎰ 2
1
222sin yd y ππ
π
=-⋅⎰
2
2
2
2
1
1
4
4
sin
sin 2
2y y ydy π
π
π
π
=-
+
⎰
2
22233
14
424848
(cos )2y ππππππππ-=+⋅-=-=
16．解：原式rdr r d ⎰⎰
--=
22
cos 0
21π
πθ
θ
⎰--⋅-=22
cos 0
2
32])1(32
21[π
πθ
θd r 32011
2(sin )33
d π
θθ=-⎰
22
()323
π=
-。

图示8.20
图示8.21
17．原式rdr r d ⎰⎰
-=
22
cos 0
cos π
πθ
θθ⎰⋅⋅=20cos 0
2
5]5
2
cos [2πθ
θθd r ⎰⋅=2
3cos 5
2
2π
θθd ⎰⋅=203
cos 54π
θθd 13254⋅⋅=158=
18． 原式2
12
20011r d r dr r πθ-=+⎰⎰dr r r r ⎰-+=102
)12(2π
]2
)1[ln(210
21
02
r r -+=π
)2
12(ln 2-=
π。

本章测试答案 1.
17
5
2. dy y x x dx y x y 2
222+++- 3. 21x y + 4.
(
)()4
81
4
2
,,y y
dy f x y dx dy f x y dx +⎰
⎰⎰
5.
(
)(
)20
2
,,a a a
dy f x y dx dy f x y dx +⎰
⎰
6．Ｂ 7.B 8．11ln z y y z z x z z y x ∂∂=
+⋅⋅⋅∂∂ x z y z ∂∂+=)1(ln 1， 11ln z z
x y
∂=∂+
20ln ln z y z
z y y z z z z y z y z z y y y y y
∂-∂∂∂∂=+⋅⋅=+-∂∂∂
y
z y z y
z ln
1+=∂∂ ，故11ln
1ln z dz dx dy z z y y
y =
+
⎛
⎫++ ⎪⎝
⎭
9． 原式=
rdr r r d a ⎰
⎰
θ
π
θ
θθsin 20
sin cos =rdr d a ⎰⎰θπθθsin 200)cot(=()2sin 200cot a r θπθ⎰
=
220
cot()4sin a d π
θθθ⎰
=20
4cos sin a d πθθθ⎰=220
2sin 0a d π
θθ=
第 215 页
10．0)(332
=∂∂+-∂∂x
z
x z y x z z
，
xy z yz x z 3332+=∂∂，同理xy z xz y z 3332+=∂∂ 22333333yz xz
dz dx dy z xy z xy =
+++
11．原式=22422222
01ln()2ln()ln()2e e e e e
e d r rdr r dr u du πθππ=⋅=⎰⎰⎰⎰
4
42
2424242ln 42(3)e e e e
u u
du e e e e e e πππ⎡
⎤
⎡⎤=-=--+=-⎢⎥⎣
⎦⎣
⎦
⎰ 12．x
z e x z y
x z
∂∂=∂∂-+222，y e x x z
z 222++=∂∂，y z e y y z z y z ∂∂=∂∂+-)(22，y e z y y z z 222+-=∂∂ 13．x f x
z
2⋅'=∂∂，
y f y z 2⋅'=∂∂， 022='-'=∂∂-∂∂f xy f xy y z x x z y。