高三数学 周练八 试题

高三数学周练
制卷人：歐陽文化、歐陽理複；制卷時間：二O 二二年二月七日
参考公式：
1．样本数据123,,,n x x x x ⋅⋅⋅的方差2
21
1()n
i i s x x n ==-∑，其中x 是这组数据的平均数．
2．柱体、锥体体积公式：1
,3
V Sh V Sh ==柱体锥体，，其中S 是柱(锥)体的底面面积，h 是高．
一、填空题：〔本大题一一共14小题，每一小题5分，一共70分〕1．集合2
{|1},{|4}P x x Q x x =<==，那么P
Q =____________．
2．在复平面内，复数(1)i i -对应的点在第____________象限．
3．甲、乙两种冬小麦试验品种连续5年的平均单位面积产量如下〔单位：t / hm 2
〕
其中产量比拟稳定的小麦品种是 ．
4．函数sin()4
y x π
=-
在[0,]π上的单调递增区间是____________．
5．执行右边的流程图，最后输出的n 的值是 ．
6．在一个袋子中装有分别标注数字1,2,3,4,5的五个小球,这些小球除标注的数字外完全一样.现从中随机取出两个小球,那么取出的小球上标注的数字之和为5或者7的概率是____________．
7．,41
)6sin(=+
π
x 那么)3
(sin )65sin(2x x -+-ππ=________． 〔第5题图〕
开场 n ←1 n ←n ＋1
2n ＞n 2 输出n 完毕
Y
图1
8．点(2,)P t 在不等式组40
30
x y x y --≤⎧⎨
+-≤⎩表示的平面区域内，那么点(2,)P t 到直线
34100x y ++=间隔 的最大值为____________．
9．将一边长为4的正方形纸片按照图中的虚线所示的方法剪开后拼接 为一正四棱锥,那么该正四棱锥的体积为 .
10．在数列{}n a 中，111a =，且*
1332()n n a a n +=-∈N ，那么该数列中相邻两项乘积的
最小值为__________.
11．点1F ，2F 分别是双曲线22
22 1 (0,0)x y a b a b
-=>>的左、右焦点，过F 1且垂直于x 轴
的直线与双曲线交于A ，B 两点，假设2ABF ∆是锐角三角形，那么该双曲线离心率的取值范围是____________．
12．设O 为坐标原点,给定一个定点(4,3)A , 而点)0,(x B 在x 正半轴上挪动,)(x l 表示
AB 的长,那么△OAB 中两边长的比值
)
(x l x
的最大值为 ． 13．假设对[],1,2x y ∈且2xy =总有不等式24a
x y
-≥
-成立，那么实数a 的取值范围是__________．14．假如对于函数()f x 定义域内任意的两个自变量的值12,x x ，当12x x <时,都有
12()()f x f x ≤，且存在两个不相等的自变量值12,m m ,使得12()()f m f m =,就称
()f x 为定义域上的不严格的增函数．函数()g x 的定义域、值域分别为A 、B ，
{1,2,3}A =,B A ⊆, 且()g x 为定义域A 上的不严格的增函数，那么这样的()g x 一
共有____________个．
二、解答题：〔本大题一一共6小题，一共计90分，解答时应写出文字说明、证明或者演算步骤〕
15、〔本小题满分是14分〕设(2cos sin
)2
2
a αβ
αβ
+-=，，(cos
3sin
)2
2
b αβ
αβ
+-=，，
其中(0,)αβπ∈、．
(1)假设3
2π
βα=
+，且2a b =，求βα、的值； (2)假设5
2
a b ⋅=，求βαtan tan 的值．
16．〔本小题满分是14分〕
如图，四棱锥P-ABCD 中，底面ABCD 为菱形， 且60BAD ∠=，侧面PAD 是正三角形，
其所在的平面垂直于底面ABCD ，点G 为AD 的中点. 〔1〕求证：BG ⊥面PAD ；
〔2〕E 是BC 的中点，在PC 上求一点F ， 使得PG //面DEF . 17．〔本小题满分是15分〕
某企业有两个消费车间分别在A ，B 两个位置，A 车间有100名员工，B 车间有400名员工，现要在公路AC 上找一点D ，修一条公路BD ，并在D 处建一个食堂，使得所有员工均在此食堂用餐，A ，B ，C 中任意两点间的间隔 均有1 km ，设∠BDC ＝α，所有员工从车间到食堂步行的总路程为S ．
〔1〕写出S 关于α的函数表达式，并指出α的取值范围；
〔2〕问食堂D 建在间隔 A 多远时，可使总路程S 最少？
F
E
G
D
C
B
A P
D
C
B
A
18．〔本小题满分是15分〕
如图，椭圆C 的中心在原点，焦点在x 轴上，12,F F 分别是椭圆C 的左、右焦点，M 是椭圆短轴的一个端点，过1F 的直线l 与椭圆交于,A B
两点，12MF F ∆的面积为4，2ABF ∆的周长为 〔1〕求椭圆C 的方程；
〔2〕设点Q 的坐标为(1,0)，是否存在椭圆上的点P 及以Q 为圆心的一个圆，使得该圆与直线12,PF PF 都相切，如存在，求出P 点坐标及圆的方程，如不存在，请说明理由．
19．〔本小题满分是16分〕
数列{}n a 满足：1n
a ≠±，11
2
a =，2213(1)2(1)n n a a +-=-，记数列2
1n n
b a =-，221n n n
c a a +=-〔n N *
∈〕.
〔1〕证明数列{}n b 是等比数列； 〔2〕求数列{}n c 的通项公式；
〔3〕是否存在数列{}n c 的不同项,,i j k c c c 〔i j k <<〕使之成为等差数列？假设存在恳求出这样的不同项,,i j k c c c 〔i j k <<〕；假设不存在，请说明理由．
20．〔本小题满分是16分〕
函数32(1)()ln (1)x x bx c x f x a x x ⎧-+++<=⎨≥⎩
的图象过点(1,2)-，且在点(1,(1))f --处的切
线与直线510x y -+=垂直． (1) 务实数,b c 的值；
(2) 求()f x 在[1,]e - 〔e 为自然对数的底数〕上的最大值；
(3) 对任意给定的正实数a ，曲线()y f x =上是否存在两点,P Q ，使得POQ ∆是以O
为直角顶点的直角三角形，且此三角形斜边中点在y 轴上？
高三数学周练八〔附加题〕
21．〔1〕选修4—2：矩阵与变换 变换1T 是逆时针旋转
2
π的旋转变换，对应的变换矩阵是1M ；变换2T 对应的变换矩阵是
21101M ⎡⎤
=⎢⎥⎣⎦
． 〔1〕求点(2,1)P 在变换1T 作用下的点'P 的坐标；
〔2〕求函数2
y x =的图象依次在变换1T ，2T 作用下所得曲线的方程．
22．一投掷飞碟的游戏中，飞碟投入红袋记2分，投入蓝袋记1分，未投入袋记0分．经过
屡次试验，某人投掷100个飞碟有50个入红袋，25个入蓝袋，其余不能入袋． 〔1〕求该人在4次投掷中恰有三次投入红袋的概率； 〔2〕求该人两次投掷后得分ξ的数学期望E ξ．
23．设)0,1(F ，点M 在x 轴上，点P 在 y 轴上，且PF PM MP MN ⊥=,2 〔1〕当点P 在y 轴上运动时，求点N 的轨迹C 的方程；
〔2〕设),(),,(),,(332211y x D y x B y x A 是曲线C 上的点，且|||,||,|DF BF AF 成等差数列，当AD 的垂直平分线与x 轴交于点)0,3(E 时，求B 点坐标.
参考答案：
解答题： 15．〔1〕∵32πβα=
+，∴a = (1，)3sin(πα-)，b = (2
1，)3sin(3π
α-) ……2分 由2a b =，得0)3
sin(=-
π
α，(0,)απ∈ ……4分
∴3
3
π
π
αβ=
=
，(k ∈Z) ……7分
〔2〕∵a ·b = 2cos 2
2
)cos(13)cos(12sin 3)2cos(
22βαβαβ
αβα--⨯
+++=--+ =)cos(2
3
)cos(25βαβα--++ ……10分
∴
25)cos(23)cos(25=--++βαβα，即 )cos(2
3
)cos(βαβα-=+ 整理得βαβαcos cos sin sin 5=-， ……12分
∵A ∈βα、，∴5
1
tan tan -
=βα。

……14分 16．〔1〕连结BD ，因为四边形ABCD 为菱形，且60BAD ∠=，
所以三角形ABD 为正三角形，又因为点G 为AD 的中点，所以BG ⊥AD ；--------4分 因为面PAD ⊥底面ABCD ，且面PAD
底面ABCD =AD ，
所以BG ⊥面PAD . -----------7分
〔2〕当点F 为PC 的中点时，PG //面DEF
连结GC 交DE 于点H
因为E 、G 分别为菱形ABCD 的边BC 、AD 的中点，所以四边形DGEC 为平行四边形 所以点H 为DE 的中点，又点F 为PC 的中点
所以FH 时三角形PGC 的中位线，所以PG //FH --------10分 因为FH ⊂面DEF ，PG ⊄面DEF 所以PG //面DEF .
综上：当点F 为PC 的中点时，PG //面DEF . ---------14分
17．〔1〕在△BCD 中，∵sin 60sin sin(120)BD BC CD αα==︒︒-，∴BD =sin(120)
sin CD αα
︒-=． 那么sin(120)
1sin AD αα
︒-=-． (4)
分
S ＝sin(120)400100[1]sin αα︒-+⋅-＝cos 450sin αα--．其中π3≤α≤2π
3
． ……7分
〔2〕2sin sin (cos 4)cos sin S ααααα-⋅--'=-＝214cos sin α
α-． ……9分 令S '＝0，得1cos 4α=
．当1
cos 4
α>时，S '＜0，S 是α的单调减函数；
当1
cos 4
α<
时，S '＞0，S 是α的单调增函数． ∴当1
cos 4
α=时，S
获得最小值．此时，sin α=， (13)
分
sin(120)111sin 2AD αα︒-=-==
＝1122-=-
．〔答略〕
(15)
分
18．〔Ⅰ〕 由题意知：,4,
422
1
==⨯⨯bc b c 22,284==a a ，解得 2==c b
∴ 椭圆的方程为14
82
2=+y x (6)
分
〔Ⅱ〕假设存在椭圆上的一点),(00y x P ，使得直线21,PF PF 与以Q 为圆心的圆相切，那么
Q 到直线21,PF PF 的间隔 相等,)0,2(),0,2(21F F -
1PF ： 02)2(000=+--y x y y x
2PF ： 02)2(000=--+y x y y x ……… 8分
22
2
002
2
001)2(|3|)2(||d y x y y x y d =++=
+-=
(9)
分
化简整理得： 08324082
002
0=++-y x x ……… 10分
∵ 点在椭圆上，∴ 822
02
0=+y x
解得：20=x 或者 80=x 〔舍〕 (13)
分
20=x 时，20±=y ，1=r ，
∴ 椭圆上存在点P ，其坐标为)2,2(或者)2,2(-，使得直线21,PF PF 与以Q 为
圆
心
的
圆
1
)1(22=+-y x 相
切 ……… 15分
19．〔1〕由)(0,1*N n b a n n ∈≠±≠ 43
1=
b
， )1(2)1(32
21n n a a -=-+，)(32*1N n b b n n ∈=+
--------3
分
所以}{n b 是43为首项，3
2
为公比的等比数列 --------5分
〔2〕)()32(43*
1N n b n n ∈⋅=- ，)()32(4311*12N n b a n n
n ∈⋅-=-=-
--------7分
)()3
2(41*1
2
21N n a a c n n n n ∈⋅=
-=-+
--------10分
〔3〕假设存在k j i c c c ,,满足题意成等差数列，
k
i j c c c +=2代入得
111)3
2
(41)32(41)32(412---⋅+⋅=⋅⋅k i j --------12分
整理得：j k i
k i
j i j ---+-=-3
23
2
1
，左整数右分数，不可能成立。

所以假设不成立，这样三项不存在。

--16分
20．〔1〕当1x <时，2
'()32f x x x b =-++， ………1分
由题意得：(1)2'(1)5f f -=⎧⎨
-=-⎩，即22
325
b c b -+=⎧⎨--+=-⎩， ………3分
解得：0b c ==。

………4分
〔2〕由〔1〕知：32(1)
()ln (1)x x x f x a x x ⎧-+<=⎨≥⎩
①当11x -≤<时，'()(32)f x x x =--，
解'()0f x >得203
x <<；解'()0f x <得10x -<<或者213
x <<
∴()f x 在(10)-，和2(,1)3上单减，在2(0)3
，上单增， 由'()(32)0f x x x =--=得：0x =或者2
3
x =， ………6分
∵ 24
(1)2()(0)0(1)0327
f f f f -==
==，，，， ∴()f x 在[1,1)-上的最大值为2。

………7分
②当1x e ≤≤时，()ln f x a x =，
当0a ≤时，()0f x ≤；当0a >时，()f x 在[1,]e 单调递增；
∴()f x 在[1,]e 上的最大值为a 。

……9分
∴当2a ≥时，()f x 在[1,]e -上的最大值为a ；
当2a <时，()f x 在[1,]e -上的最大值为2。

…………10分
〔3〕假设曲线()y f x =上存在两点,P Q 满足题意，那么,P Q 只能在y 轴两侧，不妨设
(,())(0)P t f t t >，那么32(,)Q t t t -+，且1t ≠。

∵POQ 是以O 为直角顶点的直角三角形
∴0OP OQ =，即232
()()0t f t t t -++= 〔*〕 ……11分
是否存在,P Q 等价于方程〔*〕是否有解。

①假设01t <<，那么32()f t t t =-+，代入方程〔*〕得：23232
()()0t t t t t -+-++=， 即：4
2
10t t -+=，而此方程无实数解，从而1t >， ………12分
∴()ln f t a t =，代入方程〔*〕得：2
3
2
ln ()0t a t t t -++=， 即：1
(1)ln t t a
=+， ………14分
设()(1)ln (1)h x x x x =+≥，那么1
'()ln 10h x x x
=+
+>在[1,)+∞恒成立， ∴()h x 在[1,)+∞上单调递增，从而()(1)0h x h ≥=，那么()h x 的值域为[0,)+∞。

∴当0a >时，方程
1
(1)ln t t a
=+有解，即方程〔*〕有解。

∴对任意给定的正实数a ，曲线()y f x =上总存在两点,P Q ，使得POQ 是以O 为直角顶点的直角三角形，且此三角形斜边中点在y 轴
上。

……16分
第二局部〔加试局部〕
21．1解：〔1〕10110M -⎡⎤=⎢
⎥⎣⎦，12012111012M --⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎡⎤
==⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎣⎦
所以点(2,1)P 在1T 作用下的点'P 的坐标是'(1,2)P -。

…………………………5分 〔2〕211110M M M -⎡⎤
==⎢
⎥
⎣⎦
，
设x y ⎡⎤⎢⎥⎣⎦是变换后图像上任一点，与之对应的变换前的点是00x y ⎡⎤
⎢
⎥⎣⎦
， 那么00x x M y y ⎡⎤⎡⎤=⎢
⎥⎢⎥⎣⎦
⎣⎦， 也就是⎧⎨⎩000x y x x y -==，即⎧⎨⎩00
x y
y y x ==-，
所以，所求曲线的方程是2
y x y -=。

……………………………………………10分
2
解：1sin 32π
ρθρθθ-由sin(-)=3得:()=3
660y y ∴-=-+= ……………………3分
由2cos 2sin x y θθ
=⎧⎨
=⎩得22
4x y += ……………………6分
∴圆心到直线l 的间隔 6
32
d == ……………………8分
所以，P 到直线l 的间隔 的最大值为5d r += (10)
分
22．〔1〕“飞碟投入红袋〞，“飞碟投入蓝袋〞，“飞碟不入袋〞分别记为事件A ，B ，C ． 那么4
1
10025)()(,2110050)(=====
C P B P A P 因每次投掷飞碟为互相HY 事件，故4次投掷中恰有三次投入红袋的概率为
4
1)211()21()3(3
344=
-=C P
------------------4分
〔2〕两次投掷得分ξ的得分可取值为0，1，2，3，4那么：16
1
)()()0(=
==C P C P P ξ 8
141412)()()1(12=⨯⨯===C P B P C P ξ 165)()()()()2(12=+==B P B P C P A P C P ξ
41)()()3(1
2=
==C P A P C P ξ；4
1
)()()4(===A P A P P ξ 2
5
41441316528111610=⨯+⨯+⨯+⨯+⨯
=∴ξE
-----------------10分
23．〔1〕设(,)N x y ，那么由2MN MP =得P 为MN 中点，所以)2
,0(),0,(y
P x M - 又PF PM ⊥得0PM PF ⋅=，)2
,1(),2,(y PF y x PM -=-
-=， 所
以
x y 42=〔
≠x 〕
------------------4分
〔2〕由〔1〕知)0,1(F 为曲线C 的焦点，由抛物线定义知，抛物线上任一点),(000y x P 到F
的间隔 等于其到准线的间隔 ，即2
||00p
x F P +
=，所以2
||,2||,2||321p x DF p x BF p x AF +=+=+
=， 根据|||,||,|DF BF AF 成等差数列，得2312x x x =+， 直线AD 的斜率为
3
12
1231313134
4
4y y y y y y x x y y +=--=--， 所以AD 中垂线方程为)3(4
3
1-+-
=x y y y ，
制卷人：歐陽文化、歐陽理複；制卷時間：二O二二年二月七日。