工程优化3~4章 (陈开周)

⑥令 x1 x2 0.8328 ， f x1 0.6688
x2 a 0.618 b a 0.8754 ， f x2 0.6965
2012/11/25
西安电子科技大学-工程优化（第 3~4 章） 制作人：1204121948
f x1 f x2 ，则新区间 a, b a, x2 0.764,0.8754 ， b a 0.1
⑤令 x1 x2 0.764 ， f x1 0.6873
x2 a 0.618 b a 0.8328 ， f x2 0.6688 f x1 f x2 ，则新区间 a, b x1 , b 0.764,0.9442 ， b a 0.1
令 a b 1 ， f ' a 36 ； b a 2h 3 ， f ' b 52 ； 令 a b 3 ， f ' a 52 ； b a 4h 7 ， f ' b 684 ； ∴初始区间 a, b 3,7 。 2）三次插值迭代
a x0 x1 x2 xn b ，
计算 f xi i 0,1, 2,
, n 。求出 f xk min f xi 。若 xk 1 xk 1 ，则求出了
近似最优解为 xk ； k 0 时以 xk , xk 1 代替 a, b ； k n 时以 xk 1 , xk 代替 a, b ； 其他情形以 xk 1 , xk 1 代替 a, b 。继续仿前做下去，直到满足精度为止。试画出 算法框图。 解：
f x1 f x2 ，则新区间 a, b a, x2 0,1.236 ， b a 0.1
②令 x2 x1 0.764 ， f x2 0.6873
x1 a 0.382b 0.4722 ， f x1 1.2573
42试证在最速下降法中相邻两次搜索方向必正交即精确一维搜索得到应有制作人
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第三章
3.1 栅法： 设 f x 在 a, b 上为单峰函数， 其最小值点在 a, b 内。 对 a, b n 等分， 记分点为
⑦令 x2 x1 0.8328 ， f x2 0.6688
x1 a 0.382 b a 0.8066 ， f x1 0.6674
f x1 f x2 ， 则新区间 a, b a, x2 0.764,0.8328 ，b a 0.0688 0.1
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_
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_ _ （答： x 3.995 ， f x 155.9989515 ；准确解 x* 4 ， f x* 156 ）
解：1）确定初始区间
a 0 ， f ' a 16 ；则 b a h 1 ， f ' b 36 ；
3 2
其中 P a f a ， P b f b ， P' a f ' a ， P' b f ' b
2012/11/25
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f b b a 2 b a (i)要使 =0 ，则应满足 联立可得 ' f b 2 b a
Y
N
xk 1 xk 1 ?
Y
x xk
*
f x* f xk
结束
3.7 利用三次插值法求 f x x 4 4 x3 6 x 2 16 x 4 的最小值点和最小值，取
a 0 ， h 1 ， =0.5 （即 f ' x 0.5 ） 。
④令 x2 x1 0.764 ， f x2 0.6873
x1 a 0.382 b a 0.6525 ， f x1 0.8408 f x1 f x2 ，则新区间 a, b x1 , b 0.6525,0.9442 ， b a 0.1
u w z ' 则 x2 a b a 1 3.9973 ， f x2 0.2265 0.5 停止。 u v 2w
_ _ ∴ x x2 3.9973 ， f x 155.9997 。
3.8 在三次插值法中已给数据 f a ， f b ， f ' a ， f ' b 且 f ' a f ' b 0 ， (i) 这些数据适合什么条件时， =0 ？ (ii)当 =0 时，试证 u v 2 z 0 。 解：三次插值多项式可写成 P x x a x a x a
由 x0 : x0

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补充：用黄金分割法求函数 f x 3x 4 4 x 2 2 的极小点，给定 x0 2 ， h 1 ，
=0.1( x0 2 ， h 1 ， =0.1)。
解：1）确定初始区间 取 x0 2 ， f x0 34 f x0 h 209 ， f x0 h 1 f x0 加大步长
1 x x e e 的驻点的近似值，取 x0 1 ，x1 2 ， 2
x2 3 ， x3 4 。
解：由 z f‘ x 知 z0 根据公式(3.33) 由 x1 :
z1 z0 z z z z 2.4517 ， x2 : 2 0 4.4213 ， x3 : 3 0 8.7049 x3 x0 x21 0 知 x1 为 f x 的最优点，即迭代一次即达到最优点。 4.2 试证在最速下降法中，相邻两次搜索方向必正交，即
f x k f x k 1 0 。
T
3 f b f a 564 ① u f ' b 684 ， v f ' a 52 ， s ba
z s u v 68 ， w z 2 uv 200.4794
u w z ' 则 x1 a b a 1 4.1275 ， f x1 11.3035 0.5 u v 2w

x2 3 . 2 4 4 7
由 x3 :

x3 3 2 . 1 0 4 9
∴由 x2 : x2

x2 2 . 9 3 2 7
由 x1 : x1

x1 1 . 2 1 5 0
即 x* x0 0 . 0 3 2 8 f x 驻点近似值。
2012/11/25
f b f a f ' b f ' a ba 2
即当
f b f a f ' b f ' a 时 =0 ； ba 2
(ii)当 =0 时， u v 2 z f ' b f ' a 2 b a
停止，又 f x f x ，则 x*
1 a b 0.7984 ， f x* 0.6692 2
第四章
4.1 设 f x x1 1 x2 1 ，用最速下降法求 f x 的最小值点，取 =0.1，
e e1 e2 e2 e3 e3 e4 e4 ， z1 ， z2 ， z3 2 2 2 2

由 x2 :
x1 2 . 4 5 1 7
z z z2 z1 3.2447 ， x3 : 3 1 3.7842 x2 x1 x3 x1 z3 z2 32.1049 x3 x2 z2 2.9327 x3 z1 1.2150 x2 z0 0.0328 x1
开始
给定a0 , b0 , , n
a a0 , b b0
xi a ba i, i 0 ~ n n f xk min f xi
k 0? N
k n? N
a xk b xk 1
N
xk 1 xk ？ Y
Y
Y
a xk 1 xk xk 1 ? N b xk
② a, b a, x1 3, 4.1275
3 f b f a 80.5998 u f' b 35 v f ' a 52 ， s 1 1 . 3 0， ba
z s u v 3 9 . 9 0， 33 w z 2 uv 46.6911
f x1 f x2 ，则新区间 a, b x1 , b 0.4722,1.236 ， b a 0.1
③令 x1 x2 0.764 ， f x1 0.6873
x2 a 0.618 b a 0.9442 ， f x2 0.8183 f x1 f x2 ，则新区间 a, b a, x2 0.4722,0.9442 ， b a 0.1
f x0 2h 2 f x0 h 则初始区间 a, b x0 2h, x0 = 0, 2
2）黄金分割法 ① x1 a 0.382b 0.764 ， f x1 0.6873
x2 a 0.618b 1.236 ， f x2 2.8908
2 2
试证：任取初始点 x0 2,3 ，迭代一次即达到最优点。
T
证明：∵ f x x1 1 x2 1 ， x0 2,3
2 2
T
∴ f ( x0 ) 2, 4 ， f x0 0.1
T
第一次迭代： x1 x0 f x0 则 f x1 对 进行精确一维搜索可得 =0.5 ，∴ x1 1,1
f ' b f ' a f ' b f ' a 2 b a f ' a 2 b a
' ' =f ' b f ' a f b f a 0
得证。 3.9 用公式(3.33)计算函数 f x