高级微观经济学课件 (12)

(四) 马歇尔需求的瓦尔拉定律
n 瓦尔拉定律 设 是 X 上无满足的凸偏好，则对任何( p, r) 及
xD( p, r)，都有 p x = r 。这一定律可写作 pD( p, r) = r。 证明：设 xD( p, r)，取 yX 使 y x。用反证
法，假如 p x < r。则在连接 x 与 y 的直线段上必有
是非空有界闭集 。
二、马歇尔需求
效用最大化是指消费者在预算约束下进行最满意的消费。马歇
尔从效用最大化出发，导出了消费者需求，即预算集合中消费者认
为最好的消费方案，这个方案就是消费者最终决定的消费方案，称
为马歇尔需求(向量)，简称为需求(向量)。 准确地讲，设消费集合为 X ，偏好关系为 。在价格体系 p 和
合到消费集合的对应(取值非空集合的集值映射)D : X ，称为 需求对应或需求集映。
(三) 马歇尔需求的唯一性
n 定理 设 X 为消费集合，p 为价格体系，r 为收入， 为偏好。 (1) 如果X 是凸集， 是严格凸偏好，则D( p, r)是单点集或空集。 (2) 如果X 是凸集， 内部严格凸，D( p, r) X ，则D( p, r)是单点集
我们已经看到了严格凸偏好在确定消费者需求函数中的重要作
用，假设HC和HP描述的消费者理性更强：选择明确，毫不含糊。
四、间接效用函数
l 马歇尔需求决定消费者的实际生活水平。
名义收入的高低不能真正反映消费者实际生活水平的高低，因 为与高名义收入相伴随的高价格，可能并不改变消费者的选择：马 歇尔需求的零阶齐次性。因此，经济学中不是用名义收入而是用需 求向量来代表消费者的实际收入水平(即实际生活水平)。 l 价格与收入决定消费者的效用水平：间接效用函数
( p, r)
0 pi (xi – ai) p (x – a) r – p a，从而 pi xi r – p a+ pi ai ( i = 1,2,, )。可见， a x b
(预算集合)
= (b1, b2,, b)，这就证明了 ( p, r)的有界性。至于 ( p, r)的闭性，则
回答这些问题，涉及到关于价格收入组合的两个重要集合：
{( p, r) R R : ( p 0) (r I ( p))} {( p, r) R R : ( p 0) (r I ( p))}
集合 叫做价格收入集合。 º则是 的内部。
最低生活保障制度是一种保证收入 r 不低于 I( p) 的制度。条件 r I( p) 就叫做最低生活保障或最低收入条件或最低支出条件。
定理 设 X 为消费集合，p 为价格体系，r 为消费者收入。
(1) 如果 X 且 r > I( p)，则 ( p, r) ； (2) 如果 X 是非空下有界闭集，p≫0 且 r I( p)，则预算集合 ( p, r)
y
一点 z 满足 p z = r，如右图所示，故 z ( p, r)。偏
z
好的凸性保证了 z x，这与 xD( p, r) 相矛盾。可 x
见，p x < r 不能成立，故只有 p x = r。
瓦尔拉定律说明，要想实现效用最大化，必须把钱花光。 然而，现实生活中人们不会把钱花光。这种现象是违背瓦尔拉 定律呢，还是效用最大化理论错了？其实，货币也是商品，也具有 效用：流动性偏好。当把货币加入到所考虑的商品行列时，瓦尔拉 定律说的正是这种现象：为了效用最大化，不要把钱花光。
或空集。 • 如果X 是非空下有界凸闭集, 是连续的严格凸偏好, 则对任何
( p, r)，D( p, r) 都是单点集，即马歇尔需求唯一存在。 (1) 如果X 是非空下有界凸闭集, 是连续的内部严格凸偏好, 则对
任何 ( p, r)，只要D( p, r) X ，D( p, r) 就是单点集。
三、需求映射与需求函数
n 定理 在假设HC和HP下，对任何( p, r)，D( p, r)都是单点集。 这说明，在假设HC和HP下，马歇尔需求集映D : X 唯一地
确定了一个映射 : X ：对任何( p, r)，D( p, r)={ ( p, r)}。这 个映射 ( p, r)就叫做(马歇尔)需求映射。
合是空集，那么效用最大化就是空谈。 l 消费者需求是否唯一？即在 D( p, r) 非空的情况下，D( p, r) 是否是
单点集？如果 D( p, r) 不是单点集，那么就会引起消费选择上的不 确定，会让消费者“眼花缭乱”。 l 是否不把收入用完就能实现效用最大化？这是一个有关效用最大 化理论是否符合实际现象的重要问题。
证明的关键：如果说 D( p, r) 中存在两种不同方案，那么这两种 方案必然无差异，且它们的加权平均必然比这两种方案优，而加权
平均依然在预算集合中，这就出现了矛盾：预算集合中出现了比最
优方案还要优的方案。矛盾的结论说明， D( p, r)中不可能存在两种 不同的方案，即D( p, r)是单点集或空集。
证明：任意给定 x, yD( p, r)。既然
x 是 ( p, r)中最好的，而 y( p, r)，因
此 y x；同理，x y。于是，x ~ y。
预算 线
无 差
异
曲
线
( p, r)
x
D( y
p,
r)
(一) 关于马歇尔需求的基本问题
虽然从效用最大化出发导出了消费者需求，但有一些基本问题 必须回答。这些基本问题是： l 消费者需求是否存在？即需求集合D( p, r)是否非空？如果需求集
收入 r 下，消费者的(马歇尔)需求集合 D( p, r) 是指 ( p, r) 中最好的 商品向量的全体：D( p, r) = {x ( p, r): (z ( p, r))( z x )}。
n 定理 马歇尔需求集合中任何两种方
案都无差异：(x, yD( p, r))(x ~ y)。
(五) 马歇尔需求的零阶齐次性
n 定理 对任何( p, r)及任何正实数 t，都有D(tp, tr) = D( p, r)。
证明：这主要是因为 (t p, t r) = (p, r)。
零阶齐次性说明，如果所有商品价格都与消费者收入以同样比 例上升，那么消费者需求不变，从而消费者的满足程度不变。也就 是说，价格和收入的同比例上涨并不影响人们的选择和生活水平。
证明：既然 X 下有界，存在向量 a 使 得 x a = ( a1, a2,, a) 对一切 xX 成立。
令 bi = (r- pa + pi ai) / pi ( i = 1,2,, )。对任
X p x = r (预算线)
何 x ( p, r)，既然 p≫0且 x a ，我们有
高级微观经济学：消费最优化
n 效用最大化 n 支出最小化 n 效用与支出的对偶 n 消费者均衡
§1 效用最大化
任何人都希望最大化自己的效用而非最小，这是经济学的先验 命题。从重商主义、重农主义、古典经济学、新古典经济学到当代 主流经济学，无不接受、继承和发展这一命题，效用最大化问题得 到了越来越深入的研究。
(一) 预算集合
预算集合是指由预算约束确定的消费选择范围，是消费集合 X
的子集 ( p, r)={xX : p x r}。超平面 p x = r 叫做预算线。
n 定理 在X 为下有界闭子集的情况下，对任何价格体系 p≫0 及收
入 r，预算集合 ( p, r) 都是有界闭集，从而是紧集。
经济条件限制：主要是价格与收入对消费选择的限制，消费者 必须在收入许可的范围内选择理性消费者不能去偷、去抢、去骗，但可以赊账消费或借款消 费。然而这不是说可免费消费，赊账和借款相当于扩大收入，然后 在收入限制下进行消费选择，并没有没有摆脱收入约束。
预算约束：是指由客观条件限制(xX )与经济条件限制( p x r) 给消费选择造成的制约条件。预算约束可表示为：要求消费选择行 为 x 必须服从条件“(x X )( p x r)”。
一方面，人们的欲望无止境，其需要没有满足的时候，经济学 无法对如何满足人们无止境的欲望问题作出解释。另一方面，任何 人都处在一定的客观环境中，客观条件必然对人们的选择行为带来 一定限制。比如，人们需要商品，但必须能够卖得起。人们受到的 这些种种限制，虽然影响着人们的选择，但这些限制却使得效用最 大化问题有了解决途径——服从约束条件的效用最大化。
从 ( p, r) X {x R : px r} 可知。这样， ( p, r) 是有界闭集。
(二) 最低生活保障
国家为了维护人民生活，建立了最低生活保障制度。这项制度 有利于社会稳定，有利于促进经济均衡。现在，我们先从预算集合 角度，考察一下最低生活保障制度的含义。
为了保证消费者在收入限制下选择到生活需要品，消费者收入 就应不低于最低收入标准。所谓最低收入标准，是指在既定价格体 系 p 下消费集合X 中的最低支出 I( p) = inf { p x: xX }。
理性消费者正是在服从种种条件限制的情况下, 选择自己最满 意的消费方案。这就是效用最大化。
一、预算约束
设消费集合为X R，价格体系为 pR，消费者收入为 r。消
费者进行选择时，要受到两方面条件限制：客观条件与经济条件。 客观条件限制：包括政策、法规、生理状态、自然环境等非经
济因素对消费选择的制约，这些制约因素划出了允许消费者选择的 范围，即消费集合X 。因此，客观条件限制可表示为 x X 。
D( p, r)是非空的闭集。
证明的关键：一是D( p, r) ( p, r) {zX : z x} ，二是连 x ( p,r )
续偏好在任何有界非空闭集中都有满足。具体证明留作练习。
由此定理可知： l 对任何价格收入组合 ( p, r)，理性消费者的马歇尔需求都是存
在的，即D( p, r) ，从而马歇尔需求确定了一个从价格收入集
(二) 马歇尔需求的存在性
n 定理 设 X 为消费集合，p 为价格体系，r 为收入， 为偏好。 (1) 如果X 是闭集， 是连续偏好，则D( p, r)是闭集。 (2) 如果X 是凸集， 是弱凸偏好，则D( p, r)是凸集。 • 如果X 是非空下有界闭集， 是连续偏好，p >>0 且 r I( p)，则
如果消费者偏好 是通过效用函数 u 来表达的，那么需求向量 的效用值(即效用水平)便代表着消费者的实际生活水平。需求向量 是由价格和收入决定的，因此价格与收入决定着消费者的实际生活 水平。这就确定了一个定义在价格收入集合 上的函数 u : R ：
(( p, r))( u( p, r) u(( p, r)) ) 这个函数 u : R 叫做消费者的间接效用函数，其中 ( p, r) 为消费
消费者收入：来自提供生产要素得到报酬。所有商品价格同比 例上涨，意味着消费者收入同比例上升。生产者方面的情况又怎样 呢？以后要讲述的生产者理论给出的回答是：所有商品价格同比例 上升并不影响生产选择，产品供应和要素需求不会变化，而生产者 的利润要同比例提高。由此可见，所有商品价格同比例上升，既不 会改变消费选择，也不改变生产选择，反而使利润上升，刺激和促 进了生产。这就是零阶齐次性蕴含的通货膨胀效应。
把 ( p, r) 写成分量形式：ξ( p, r) (ξ1( p, r),ξ2 ( p, r),, ξ ( p, r)) 则就得到了定义在 上的个函数 ξi ( p, r)(i 1,2,,) ，称为消费者
的(马歇尔)需求函数。
n 定理 在假设HC和HP下，需求映射 : X 具有下述性质： (1) 效用最大化：对任何( p, r) 及 xX ，若 x ( p, r)，则 px > r ； n 零阶齐次性：对任何( p, r)及实数 t >0, 都有(tp, tr)=( p, r)； (1) 瓦尔拉定律：对任何( p, r)，都有 p ( p, r) = r。