2019-2020学年高中数学人教A版必修4课件:2.2.3 向量数乘运算及其几何意义

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方法归纳 向量线性运算的基本方法
(1)向量的数乘运算可类似于代数多项式的运算.例如实数运算 中的去括号、移项、合并同类项、提取公因式等变形手段在数与向 量的乘积中同样适用,但是在这里的“同类项”“公因式”指向 量,实数看作是向量的系数.
(2)向量也可以通过列方程来解,把所求向量当作未知数,利用 代数方程的方法求解,同时在运算过程中要多注意观察,恰当运用 运算律,简化运算.
方法归纳 向量共线定理的应用
(1)若 b=λa(a≠0),且 b 与 a 所在的直线无公共点,则这两条 直线平行.
(2)若 b=λa(a≠0),且 b 与 a 所在的直线有公共点,则这两条 直线重合.例如,若A→B=λA→C,则A→B与A→C共线,又A→B与A→C有公共 点 A,从而 A,B,C 三点共线,这是证明三点共线的重要方法.
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【解析】 (1)①原式=4a+4b-3a+3b-8a=-7a+7b. ②原式=5a-4b+c-6a+4b-2c=-a-c. (2)原式=13a-b-a+23b+2b-a=13-1-1a+-1+23+2b= -53a+53b=-53(3i+2j)+53(2i-j)=-5+130i+-130-53j=-53i- 5j.
解析:因为M→N=M→D+D→A+A→N,M→N=M→C+C→B+B→N,所以 2M→N=(M→D+M→C)+D→A+C→B+(A→N+B→N).
又因为 M,N 分别是 DC,AB 的中点,所以M→D+M→C=0,A→N +B→N=0.
所以 2M→N=D→A+C→B,所以M→N=12(-A→D-B→C)=-12e2-12e1. 结合图形,在梯形 ABCD 中,M→N=M→D+D→A+A→N,再用→e 1, →e 2 表示M→N.
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方法归纳 (1)直接法
用已知向量表示其他向量的两种方法
(2)方程法 当直接表示比较困难时,可以首先利用三角形法则和平行四边 形法则建立关于所求向量和已知向量的等量关系,然后解关于所求 向量的方程.
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跟踪训练 3 在本例中,若条件改为B→C=e1,A→D=e2,试用 e1, e2 表示向量M→N.
(1)由→a ,→b 共线,得→a =m→b ,建立等式求 λ. (2)A、B、D 三点共线,设A→B=λB→D,建立等式求 k .
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类型三 用已知向量表示其他向量 例 3 如图,ABCD 是一个梯形,A→B∥C→D且|A→B|=2|C→D|,M, N 分别是 DC,AB 的中点,已知A→B=e1,A→D=e2,试用 e1,e2 表示 下列向量. (1)A→C=________; (2)M→N=________.
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[小试身手] 1.判断下列命题是否正确. (正确的打“√”,错误的打“×”) (1)实数 λ 与向量 a,则 λ+a 与 λ-a 的和是向量.( × ) (2)对于非零向量 a,向量-3a 与向量 a 方向相反.( √ ) (3)对于非零向量 a,向量-6a 的模是向量 3a 的模的 2 倍.( √ ) (4)若 b 与 a 共线,则存在实数 λ,使得 b=λa.( × )
3.化简:13122a+8b-4a-2b=(
)
A.2a-b B.2b-a
C.b-a D.a-b
解析:原式=13[(a+4b)-(4a-2b)]=13(-3a+6b)=2b-a,选
B. 答案:B
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4.已知 a=e1+2e2,b=3e1-2e2,则 3a-b=( )
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考试标准
课标要点
学考要求 高考要求
向量的数乘运算
c
c
向量数乘运算的几何意义
b
b
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知识导图
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学法指导 1.与实数乘法的运算律类似,向量数乘也有“结合律”、“分 配律”.运用向量数乘的运算律时,要注重其几何意义. 2.向量的加法、减法及数乘运算统称为向量的线性运算,其 中,向量的减法运算、数乘运算都以加法运算为基础. 3.向量共线的条件实际上是由向量数乘推出的,它可以判断 几何中三点共线和两直线平行,注意区别向量平行与直线平行. 4.学习了向量的线性运算,平面中的点、线段(直线)就可以用 向量表示,这就为用向量法解决几何问题奠定了基础.
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【解析】 因为A→B∥C→D,|A→B|=2|C→D|,所以 A→B=2D→C,D→C= 12A→B.
(1)A→C=A→D+D→C=e2+12e1. (2)M→N=M→D+D→A+A→N=-12D→C-A→D+12A→B=-14e1-e2+12e1 =14e1-e2. 【答案】 (1)e2+12e1 (2)14e1-e2 结合图形:由已知得A→B=2D→C,分别用→e 1,→e 2 表示A→C,M→N.
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(1)欲证三点 A,B,D 共线,即证存在实数 λ,使A→B=λB→D, 只要由已知条件求出 λ 即可.
(2)由两向量共线,列出关于→e 1、→e 2 的等式,再由→e 1 与→e 2 不 共线知,若 λ→e 1=μ→e 2,则 λ=μ=0.
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第二十二页,编辑于星期日:点 十四分。
解析:(1)由 a,b 共线知 a=mb,m∈R,于是 2e1-3e2=m(λe1 +6e2),即(2-mλ)e1=(6m+3)e2.
由于 e1,e2 不共线,所以62m-+mλ3==00,, 所以 λ=-4. (2)因为 A,B,D 三点共线,所以A→B=λB→D=λ(C→D-C→B),所以 a-kb=λ(3a-b-2a-b)=λ(a-2b),所以 λ=1,k=2. 答案:(1)B (2)C
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状元随笔 向量共线定理的理解注意点及主要应用 (1)定理中→a ≠ →0 不能漏掉. 若→a =→b = →0 ,则实数 λ 可以是 任意实数;若→a =0,→b ≠ →0 ,则不存在实数 λ,使得→b =λ→a . (2)这个定理可以用一般形式给出:若存在不全为 0 的一对实数 t,s,使 t→a +s→b = →0 ,则→a 与→b 共线;若两个非零向量→a 与→b 不 共线,且 t→a +s→b = →0 ,则必有 t=s=0.
A.4e2
B.4e1
C.3e1+6e2 D.8e2
解析:3a-b=3(e1+2e2)-(3e1-2e2)=3e1+6e2-3e1+2e2=
8e2. 答案:D
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类型一 向量的线性运算 例 1 (1)计算: ①4(a+b)-3(a-b)-8a; ②(5a-4b+c)-2(3a-2b+c). (2)设向量 a=3i+2j,b=2i-j,求13a-b-a-32b+(2b-a).
第十八页,编辑于星期日:点 十四分。
【解析】 (1)证明:因为A→B=e1+e2,B→D=B→C+C→D=2e1+8e2 +3e1-3e2=5(e1+e2)=5A→B.
所以A→B,B→D共线,且有公共点 B, 所以 A,B,D 三点共线. (2)因为 ke1+e2 与 e1+ke2 共线, 所以存在实数 λ,使 ke1+e2=λ(e1+ke2), 则(k-λ)e1=(λk-1)e2, 由于 e1 与 e2 不共线, 只能有kλk--λ= 1=0, 0, 所以 k=±1.
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跟踪训练 1 化简: (1)123a+2b-a+12b-212a+38b; (2)234a-3b+13b-416a-7b.
解析:(1)原式=122a+32b-a-34b=a+
4a-3b+13b-32a+74b=234

3 2
第九页,编辑于星期日:点 十四分。
2.存在两个非零向量 a,b,满足 b=-3a,则有( )
A.a 与 b 方向相同 B.a 与 b 方向相反
C.|a|=|3b|
D.|a|=|b|
解析:因为-3<0,所以 a 与-3a 方向相反.且|-3a|=3|a|, 即|b|=3|a|,故选 B.
答案:B
第十页,编辑于星期日:点 十四分。
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1.向量数乘运算 实数 λ 与向量 a 的积是一个_向__量__,这种运算叫作向量的_数__乘__, 记作_λ_a_,它的长度与方向规定如下: (1)|λa|=|λ||a|. (2)当 λ>0 时,λa 的方向与 a 的方向_相__同__; 当 λ<0 时,λa 的方向与 a 的方向_相__反__. (3)当 λ=0 时,λa=0.
第五页,编辑于星期日:点 十四分。
状元随笔 理解数乘向量应注意的问题 (1)向量数乘的结果依然是向量,要从长度与方向加以理解. (2)实数与向量可以相乘,但是不能相加、减,如 λ+→a ,λ-→a 均没有意义.
第六页,编辑于星期日:点 十四分。
2.数乘向量的运算律 (1)λ(μa)=(λμ)a. (2)(λ+μ)a=λa+μa. (3)λ(a+b)=λa+λb. 特别地,有(-λ)a=-(λa)=λ(-a);λ(a-b)=λa-λb. 3.共线向量定理 向量 a(a≠0)与 b 共线,当且仅当有唯一一个实数 λ,使b_=__λ_a_.
第二十一页,编辑于星期日:点 十四分。
跟踪训练 2 (1)已知 e1,e2 是平面内不共线的两个向量,a=2e1 -3e2,b=λe1+6e2,若 a,b 共线,则 λ 等于( )
A.-9 B.-4 C.4 D.9 (2)设 a,b 为不共线的两个非零向量,已知向量A→B=a-kb,C→B =2a+b,C→D=3a-b,若 A,B,D 三点共线,则实数 k 的值等于( ) A.10 B.-10 C.2 D.-2
a


3

1 3

7 4
b=23
52a-1112b=53a-1118b.
先由运算律去括号,再进行数乘运算.
第十七页,编辑于星期日:点 十四分。
类型二 向量共线条件的应用 例 2 已知非零向量 e1,e2 不共线. (1)如果A→B=e1+e2,B→C=2e1+8e2,C→D=3(e1-e2),求证 A,B, D 三点共线; (2)欲使 ke1+e2 和 e1+ke2 共线,试确定实数 k 的值.
第十四页,编辑于星期日:点 十四分。
状元随笔 (1)向量的数乘运算类似于代数多项式的运算,主 要是“合并同类项”“提取公因式”,但这里的“同类项”“公因 式”指向量,实数看作是向量的系数.
(2)对于向量的线性运算,关键是把握运算顺序,即先根据运算 律去括号,再进行数乘运算,最后进行向量的加减.
第十五页,编辑于星期日:点 十四分。
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