新教材高中数学第四章指数函数与对数函数4.2.1指数函数的概念课件新人教A版必修第一册

1
0.910
m.
【补偿训练】碳14的半衰期为5 730年，那么碳14的年衰变率为( )
A. 1 5 730
B.(1 )5 730 2
C.(
1
)
5
1 730
2
1
D.145 730
【解析】选C.设碳14的年衰变率为m，原有量为1，则m5 730=
解得m=
， (
1
)
5
1 730
2
所以碳14的年衰变率为
(
_______.
【解析】由题意知4=a2，所以a=2， 因此f(x)=2x，故f(-3)=2-3= 1 .
8
答案：1
8
类型三 函数模型y=kax的实际应用(数学建模)
角度1 指数增长变化模型
【典例】某种细菌经60分钟培养，可繁殖为原来的2倍，且知该细菌的繁殖规
律为y=10ekt，其中k为常数，t表示时间(单位：小时)，y表示细菌个数，10个
①底数a≥0；
②指数x∈N+； ③底数不为0；
④y=ax(a>0，a≠1，x∈N+).
A.0个
B.1个
C.2个
D.3个
【解析】选B.对正整数指数函数的理解正确的是，y=ax，其中底数a>0且a≠1，
指数x∈N+；所以④正确，①②③错误.
3.(教材二次开发：例题改编)若函数f(x)是指数函数，且f(3)=5，则
所以f (－1) =
2
答案：1
2
4－12＝1 . 2
4.一种放射性元素，最初的质量为500 g，按每年5%的速度衰减，则t年后， 这种放射性元素质量ω的表达式为_______. 【解析】最初的质量为500 g，经过1年，ω=500(1-5%)=500×0.951，经过 2年，ω=500×0.952，…，由此推出，t年后，ω=500×0.95t. 答案：ω=500×0.95t(t∈[0，+∞))
B.y= 2x21 D.y=ex
【解析】选D.根据指数函数的解析式，A，B，C不满足.
2.若函数y=(a2-4a+4)ax是指数函数，则a的值是 ( )
A.4
B.1或3
C.3
D.1
a 0，
【解析】选C.由题意得 a 1，
解得a=3.
a 2－4a＋4＝1，
【解题策略】
判断一个函数是指数函数的方法
4.2 指 数 函 数 4.2.1 指数函数的概念
必备知识·自主学习
导思
1.怎样定义形如y=1.11x，y=((
1
)
5
1 730
)
x
…的函数？
2.什么是指数增长模型？ 2
1.指数函数 (1)定义：函数_y_=_a_x(_a_>_0_，__且__a_≠__1_)_叫做指数函数，其中指数x是自变量， 定义域是R. (2)特征：①a>0，且a≠1；②ax的系数为1；③自变量x的系数为1.
()
(3)y=10 000× (1)x 是刻画指数增长变化规律的函数模型.
2
()
提示：(1)×.y=x4不是指数函数，指数函数的底数是常数. (2)×.指数函数的底数a>0，且a≠1. (3)×.y=10 000× (1)x是刻画指数衰减变化规律的函数模型.
2
2.下列各项对正整数指数函数的理解正确的有 ( )
(1)把握指数函数解析式的特征：①底数a>0且a≠1；②ax的系数为1；
③自变量x的系数为1.
(2)有些函数需要对解析式变形后判断，如y=
1 3x
(1)x 3
是指数函数.
类型二 指数函数的解析式及其应用(数学抽象、数学运算)
【典例】1.若点(a，27)在指数函数y=( 3 )x的图象上，则 a 的值为 ( )
【变式探究】 将本例的条件变为“细菌经60分钟培养，可繁殖为原来的3倍”，其他的条件 不变，试求经过7小时培养，细菌能达到的个数.
角度2 指数衰减变化模型
【典例】有容积相等的桶A和桶B，开始时桶A中有a升水，桶B中无水.现把桶
A的水注入桶B，t分钟后，桶A的水剩余y1=amt(升)，其中m为正常数.假设5分 钟时，桶A和桶B的水相等，要使桶A的水只有 a 升，必须再经过 ( )
【题组训练】
1.荷塘里，已知每一天荷叶覆盖水面的面积是前一天的2倍，若荷叶20天可以
完全长满荷塘水面，当荷叶刚好覆盖水面面积的 1 时，荷叶已生长了( )
16
A.10天
B.15天
C.16天
D.19天
2.为响应国家退耕还林的号召，某地的耕地面积在最近50年内减少了10%.
如果按此规律，设2015年的耕地面积为m，则2020年的耕地面积为
5.(教材二次开发：练习改编)已知函数y=f(x)，x∈R，
且f(0)=2，f(0.5)
f(0)
3，f(1) f(0.5)
3，…， f(0.5n)
f(0.5(n－1))
=3，n∈N+，
则函数f(x)的一个解析式为_______.
2.指数增长模型 (1)定义：设原有量为N，每次的增长率为p，经过x次增长，该量增长到y， 则y= _N_(_1_+_p_)_x(_x_∈__N_)_._ (2)应用：刻画指数增长或衰减变化规律.
【基础小测】
1.辨析记忆(对的打“√”，错的打“×”)
(1)y=x4是指数函数. ( )
(2)y=ax一定是指数函数.
()
A.(1-0.1250)m
B.
1
0.910
m
C.0.9250m
D.(1- 1 )m
0.910
【解析】选B.设每年耕地减少的百分率为a，
则有(1-a)50=1-10%，
所以a=1-
0.9
1 50
，则从2015年起，
过x年后耕地面积y与x的函数关系是y=m(1-a)x=
x
0.950
m.当x=5时，y=
A. 6
B.1
C.2 2
D.0
2.已知函数f(x)为指数函数，且 f ( 3) 3 ，则f(-2)=_______.
29
【思路导引】1.将点代入函数的解析式，求出a； 2.利用已知条件求出指数函数的解析式，再求值.
【解析】1.选A.点(a，27)在函数的图象上，
所以27=(
3 )a，即33=
a
16
A.12分钟
B.15分钟
C.20分钟
D.25分钟
【解题策略】 关于函数y=kax在实际问题中的应用
(1)函数y=kax是用来刻画指数增长或指数衰减变化规律的非常有用的函数模型， 一般当k>0时，若a>1，则刻画指数增长变化规律，若0<a<1，则刻画指数衰减 变化规律. (2)解决此类问题可利用待定系数法，根据条件确定出解析式中的系数后，利 用指数运算解题.
【思考】 当指数函数的底数a=0，a=1，a<0时，对自变量x的取值有何影响？ 提示：(1)如果a=0，当x>0时，ax恒等于0，没有研究的必要； 当x≤0时，ax无意义. (2)如果a<0，例如y=(-4)x，这时对于x= 1 , 1 ，…，该函数无意义.
24
(3)如果a=1，则y=1x是一个常量，没有研究的价值. 为了避免上述各种情况，所以规定a>0，且a≠1.
细菌经过7小时培养，细菌能达到的个数为
()
A.640
B.1 280
C.2 560
D.5 120
【思路导引】先由条件确定k值，再代入求细菌的个数.
【解析】选B.设原来的细菌数为a，由题意可得，当t=1时，y=2a， 所以2a=10ek，即ek= 2a .
10
当a=10时，ek=2，所以y=10ekt=10·2t， 若t=7，则可得此时的细菌数为y=10×27=1 280.
1个可繁殖为 ( )
A.8个
B.16个
C.32个
D.64个
【解析】选D.该种细菌分裂的个数满足指数函数y=2x，x∈N*.经过3小时，
细菌分裂6次，x=6.
细菌分裂的个数为y=26=64.
3.若指数函数f(x)的图象经过点(2，16)，则f (－1) =_______.
2
【解析】设f(x)=ax(a>0，且a≠1)，依题意有a2=16，得a=4，故f(x)=4x，
1
)
5
1 730
.
2
1，
2
课堂检测·素养达标
1.若函数y=(a-2)ax是指数函数，则 ( )
A.a=1或a=3
B.a=1
C.a=3
D.a>0且a≠1
【解析】选C.若函数y=(a-2)ax是指数函数，则a-2=1，解得：a=3.
2.某种细菌每半小时分裂一次(一个分裂为两个)，经过3小时，这种细菌由
32
，所以
a 2
=3，
解得a=6，所以 a 6 .
2.设f(x)=ax(a>0且a≠1)，
由 f ( 3)
3
得，
a
3 2
3
，所以a=3，
29
9
又f(-2)=a-2，
所以f(-2)=3-2= 1 .
9
答案：1
9
【解题策略】 求指数函数解析式的步骤
(1)设指数函数的解析式为f(x)=ax(a>0且a≠1). (2)利用已知条件求底数a. (3)写出指数函数的解析式.
【跟踪训练】
(2020·无锡高一检测)若指数函数y=f(x)的图象过点(-2，4)，则f(3)=_______.
【解析】设函数f(x)=ax(a>0且a≠1)，
把点(-2，4)代入可得a-2=4⇒a= 1；
2
所以f(x)=
( 1 )x ，所以f(3)=
2
1.
8
答案：1
8
【补偿训练】指数函数f(x)=ax的图象经过点(2，4)，则f(-3)的值是
f(-6)=_______.
【解析】由题意，设f(x)=ax(a>0且a≠1)，
则由f(3)=a3=5，得a=
1
53
，
所以f(-6)=
1
(53
)6
=5-2=
1 25
.
答案：1
25
关键能力·合作学习
类型一 指数函数的概念及应用(数学抽象)
【题组训练】
1.下列是指数函数的是 ( )
A.y=(-4)x C.y=3×2x