07高等数学讲义汪诚义第七章

第七章 多元函数积分学
§ 二重积分
(甲) 内容要点
一、在直角坐标系中化二重积分为累次积分以及交换积分顺序序问题
模型I ：设有界闭区域
{})()(,),(21x y x b x a y x D ϕϕ≤≤≤≤=
其中12(),()x x ϕϕ在[,]a b 上连续，(,)f x y 在
D 上连续，则
⎰⎰⎰⎰⎰⎰==D
b
a
x x D
dy
y x f dx dxdy y x f d y x f )
()
(21),(),(),(ϕϕσ
模型II ：设有界闭区域
{})()(,),(21y x y d y c y x D ϕϕ≤≤≤≤=
其中12(),()y y ϕϕ在[,]c d 上连续，(,)f x y 在D 上连续
则
21()
()
(,)(,)(,)y d
D
D
c
y f x y d f x y dxdy dy f x y dx ϕϕσ==⎰⎰⎰⎰⎰⎰
关于二重积分的计算主要根据模型I 或模型II ，把二重积分化为累次积分从而进行计算，
对于比较复杂的区域D 如果既不符合模型I 中关于D 的要求，又不符合模型II 中关于D 的要求，那么就需要把D 分解成一些小区域，使得每一个小区域能够符合模型I 或模型II 中关于区域的要求，利用二重积分性质，把大区域上二重积分等于这些小区域上二重积分之和，而每个小区域上的二重积分则可以化为累次积分进行计算。

在直角坐标系中两种不同顺序的累次积分的互相转化是一种很重要的手段，具体做法是先把给定的累次积分反过来化为二重积分，求出它的积分区域D ，然后根据D 再把二重积分化为另外一种顺序的累次积分。

二、在极坐标系中化二重积分为累次积分
在极坐标系中一般只考虑一种顺序的累次积分，也即先固定θ对γ进行积分，然后再对
θ进行积分，由于区域D 的不同类型，也有几种常用的模型。

模型I 设有界闭区域
{}12(,),()()D γθαθβϕθγϕθ=≤≤≤≤
其中12(),()ϕθϕθ在[,]αβ上连续，(,)(cos ,sin )f x y f γθγθ=在D 上连续。

则
21()
(
)
(,)(cos ,sin )(cos ,sin )D
D
f x y d f d d d f d ϕθβ
αϕθ
σγθγθγγθθγθγθγγ==⎰⎰⎰⎰⎰⎰
模型II 设有界闭区域
{})(0,),(θϕγβθαθγ≤≤≤≤=D 其中
()ϕθ在[,]αβ上连续，
(,)(cos ,sin )f x y f γθγθ=在D 上连续。

则
⎰⎰⎰⎰⎰⎰==D
D
d f d d d f d y x f β
αθϕγγθγθγθθγγθγθγσ)
(0
)sin ,cos ()sin ,cos (),(
（乙）典型例题
一、二重积分的计算 例1 计算
2
y
D
e dxdy -⎰⎰，其中D 由y =x ,y =1和y 轴所围区域 解： 如果
2
2
1
1
y y D x
e
dxdy dx e dy --=⎰⎰⎰⎰
那么先对2
y e
-求原函数就不行，故考虑另一种顺序的累
次积分。

2
2
10
y
y y D
e
dxdy dy e dx --=⎰⎰⎰⎰
这时先对x 积分，2
y e
-当作常数处理就可以了。

原式=[]
)11(212
110
1
2
2
e
e
dy ye
y y -=
-=--⎰
例2 计算
2||102
||x y y x dxdy ≤≤≤-⎰⎰
解：原式=⎰⎰⎰-⎥⎥⎦
⎤⎢⎢⎣⎡-+-1
1022
22
2x x dy x y dy y x dx
2
2
2
33
1
12222
2
1
1
031
1
3
22
112
2
()
()33225||(2)3332
y y x y y x
x y dx y x dx
x dx x dx π==--==--=--+-=
+-=+⎰⎰⎰⎰
例3 求 22
()D
I x y y d σ=
+⎰⎰ 1
)1(4
:2
222≥++≤+y x y x D 解一： ⎰⎰⎰⎰⎰⎰
-=D
D D 大圆
小圆
222222
200
0()
163D D
x y y d x y d d r dr π
σσθπ
⎤+=
++⎦==⎰⎰
⎰⎰⎰⎰大圆
大圆
对称性
⎰
⎰⎰⎰⎰⎰
-=
=++=
θ
π
π
θ
σcos 20
22
32
D 2
29
320dr r d d y x D 小圆
小圆
(
)
)23(9
16
22-=
++∴
⎰⎰πσd y y x D
解二： 由积分区域对称性和被积函数的奇偶性可知
⎰⎰=D
0σyd
⎰⎰
⎰⎰+=+D
D d y x d y x 上
σσ22222
122222
22222002cos 2224
416162()(32)
3
399D D x y d x y d d r d d r dr πππθ
σσθγθπππ-⎡⎤=+++⎢⎥
⎢⎥⎣⎦⎡⎤⎢⎥=+⎢⎥
⎢⎥⎣⎦
⎡⎤=+-=-⎢⎥⎣⎦⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰上上原式
二、交换积分的顺序
例1 交换⎰
⎰
-a ax
x ax dy y x f dx
20
222
),(的积分顺序
解 原式=⎰⎰D
dxdy y x f ),(
其中D 由22y ax x =-和2y ax =以及
2x a =所围的区域
321UD UD D D =
由
2
222
222y a a x x ax y a y x ax y -±=-==
=解出解出
因此按另一顺序把二重积分化为累次积分对三块小区域得
原式⎰
⎰⎰⎰⎰⎰
++=-+-a
a
y a
a
a
y a a a
y a a a
y a
dx y x f dy dx y x f dy
dx y x f dy
22220
20
22
22
22
),(),(),(
例2 设证明连续，y f )('
[()(0)]()()
a
x
I dx dy f a f a x x y π'==---⎰⎰
证明：交换积分次序
⎰⎰+---'=a
y
a
y a x y a dx
y f dy I 2
20
)2
()2(
)
(
令 ,cos 2
,sin 22tdt y
a dx t y a y a x -=-=+-
则
2
002cos 2()()[()(0)]cos 2
a a a y
t I f y dy dt f y dy f a f a y t ππππ--''===--⎰⎰⎰
三、二重积分在几何上的应用 1、求空间物体的体积
例1 求两个底半径为R 的正交圆柱面所围立体的体积
解 设两正交圆柱面的方程为2
2
2
2
2
2
x y R x z R +=+=和，它们所围立体在第一卦限
中的那部分体积
dxdy x R V D
⎰⎰-=221
其中D 为 220,
0x R y R x -≤≤≤≤
因此 30
222
20
13
2)(2
2R dx x R dy x R dx
V R
x R R
=
-=-=⎰⎰
⎰- 而整个立体体积由对称性可知
3
13
168R V V =
= 例2 求球面)0(242
2
2
2
2
2
>=+=++R Rx y x R z y x 和圆柱面所围（包含原点那一部分）的体积 解 dxdy y x R V D
⎰⎰
--=222144
其中D 为xy 平面上22x Rx y -=
与x 轴所围平面区域用极坐标系进行计算
2cos 2
22
220
32330444432322(1sin )()3323
R D
V R r rdrd d R r rdr
R d R πθ
π
θθ
πθ=-=-=-=-⎰⎰⎰⎰
⎰
2、求曲面的面积（数学一）
§ 三重积分（数学一）
(甲) 内容要点
一、三重积分的计算方法 1、直角坐标系中三重积分化为累次积分 （1）设Ω是空间的有界闭区域
{}
D y x y x z z y x z z y x ∈≤≤=Ω),(),,(),(),,(21
其中D 是xy 平面上的有界闭区域，
),(),,(21y x z y x z 在D 上连续函数Ω在),,(z y x f 上连续，则
⎰⎰⎰⎰
⎰⎰Ω
=dz z y x f dxdy dv z y x f y x z y x z D
),,(),,()
,()
,(21
（2）设{}
)(),(,),,(z D y x z z y x ∈≤≤=Ωβα
其中D (z )为竖坐标为z 的平面上的有界闭区域，则
⎰⎰⎰⎰⎰
⎰Ω
=dxdy z y x f dz dv z y x f z D ),,(),,()
(β
α
2、柱坐标系中三重积分的计算
⎰⎰⎰⎰⎰⎰Ω
Ω
=dz rdrd z r r f dxdydz z y x f θθθ),sin ,cos (),,(
相当于把(x,y )化为极坐标（θ,r ）而z 保持不变
3、球坐标系中三重积分的计算
sin cos 0sin sin 0cos 02x y z ρθϕρρθϕθπρθϕπ=≥⎧⎛⎫⎪
⎪=≤≤⎨ ⎪⎪ ⎪=≤≤⎩⎝⎭
2(,,)(sin cos ,sin sin ,cos )sin f x y z dxdydz f d d d ρθϕρθϕρθρθρθϕΩ
Ω
=⎰⎰⎰
⎰⎰⎰
（乙） 典型例题
一、有关三重积分的计算
例1 计算
dxdydz z xy ⎰⎰⎰Ω
32，其中Ω由曲面0,1,,====z x x y xy z 所围的区域 解
⎰⎰⎰⎰⎰⎰=Ω
xy
x
dz z xy dy dx dxdydz z xy 0
3
20
1
3
2 3641
281411
1206510⎰⎰⎰=
==dx x dy y x dx x
例2 计算222
222()x y z dxdydz a b c Ω
++⎰⎰⎰,其中Ω由曲面2222221x y z a b c ++=所围的区域
解 令 sin cos ,sin sin ,cos x a y b z c ρθϕρθϕρθ===
则 21
2224
222000
4()sin 5x y z dxdydz abc d d d abc a b c ππϕθθρρπΩ++==⎰⎰⎰⎰⎰⎰
例3 计算
由曲面其中Ω++⎰⎰⎰
Ω
,222dxdydz z y x z z y x =++222所围的区域
解 用球坐标
10
5cos 2sin cos 412sin 0
25204
cos 0
32
20
2
22πθπθθθπρθρθ
ϕπ
π
θ
π
π
=⎥⎦⎤⎢⎣⎡-=⋅==
++⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰
Ω
d d d d dxdydz z y x
例4 计算
所围的区域由曲面其中2,2,)(2222
==+Ω+⎰⎰⎰Ω
z z y x dxdydz y x
解 ⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰-==+Ω2
2
3
2
022
03
202
2
2
)22(2)(r dr r r dz dr r d dxdydz y x πϕπ
31612220
264ππ=⎥⎦⎤⎢⎣⎡-=r r
二、在物理上的应用
例1 求 椭圆锥面)1(22
2222设密度均匀恒为围成物体的重心和平面c z c
z b y a x ==+
解 设重心坐标（z y x ,,）物体所占空间区域为Ω
由对称性可知0,0==y x
zdxdydz
z dxdydz
Ω
Ω
=
⎰⎰⎰⎰⎰⎰
由锥体体积公式可知
3
abc
dxdydz π=
⎰⎰⎰Ω
令 ct z br y ar x ===,sin ,cos θθ
而
⎰⎰⎰⎰⎰⎰Ω
=1
1
20
2
r
tdt rdr d abc zdxdydz π
θ
42)1(22
1
22
abc dr r r abc ππ=-=⎰ 因此，重心坐标4
3,0,0c
z y x =
==
例2 设有一半径为R 的球体，o P 是球表面上的一个定点，球体上任一点的密度与该
点到o P 的距离平方成正比（比例系数k >0）,求球体重心的位置 解一：设球面方程为,2
2
2
2
R z y x =++o P 为 (R, 0,0)，球体Ω的重心坐标为（z y x ,,）
由对称性可知0,0==z y
dv
z y R x k dv z y R x k x x ⎰⎰⎰⎰⎰⎰Ω
Ω
++-++-⋅=
])
[(])[(2
22
2
22
由区域的对称性和函数的奇偶性，则有
⎰⎰⎰Ω
=-02xdv R
0][2222=+++⎰⎰⎰Ω
dv z y R x x 于是
()2
222222[()
]x R y z dv x y z dv R dv Ω
Ω
Ω
-++=+++⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰
5
32
4
020153234sin R R R d d d R
ππρθρθϕππ=⋅+=⎰⎰⎰
dv x R dv z y R x x ⎰⎰⎰⎰⎰⎰Ω
Ω
-=++-2222
2])
[(
6
22215
8)(32R dv z y x R π-=++-
=⎰⎰⎰Ω 因此 )0,0,4
(,4R R x --
=重心坐标为
解二： 设球面坐标2
2
2
2
)(R R z y x =-++，
o P (0,0,0)，重心坐标（z y x ,,）
由对称性可知 0,0==y x
dv
z y x
k dv
z y x
k z z ⎰⎰⎰⎰⎰⎰Ω
Ω
++++⋅=
][][2
2
2
222
6
20
765cos 20
2
2
222
38sin cos 364sin cos 4][R d R d d d dv z y x
z R πθθθπρ
θθρθ
ϕπ
θ
ππ===++⎰⎰
⎰⎰⎰⎰⎰Ω
5
4cos 20
2
2
2
2215
32sin 4)(R d d d dv z y x R πρθρθϕθ
π
π
=
=++⎰
⎰⎰⎰⎰⎰Ω
于是 )4
5,0,0(45R R ，z 重心坐标=
§ 曲线积分（数学一）
(甲) 内容要点
一、第一类 曲线积分（对弧长的曲线积分） 参数计算公式 我们只讨论空间情形（平面情形类似）
设空间曲线L 的参数方程 )(),(),(),(βα≤≤===t t z z t y y t x x
则
[][][][]⎰
⎰'+'+'=L
dt ds z y x f β
α
2
2
2
(t)z (t)y )t (x )t (z ),t (y ),t (x f ),,(
（假设()(,,)(),,()f x y z x t y t z t '''和皆连续）这样把曲线积分化为定积分来进行计算 二、第二类 曲线积分（对坐标的曲线积分）
参数计算公式
我们只讨论空间情形（平面情形类似）
设空间有向曲线L 的参数方程对应参数为起点A t z z t y y t x x ),(),(),(===
[]{[][]},(:)(,,),(,,
),(,,),(),(),(),(,,)(,,)(,,)(),(),()()(),(),()()(),(),()()L AB
B P x y z Q x y z R x y z x t y t z t P x y z dx Q x y z dy R x y z dz
P x t y t z t x t Q x t y t z t y t R x t y t z t z t dt
β
α
αβαβαβ=<'''++'''=++⎰
⎰
始点对应参数为注意现在和的大小不一定如果皆连续又也都连续则
这样把曲线积分化为定积分来计算。

值得注意：如果曲线积分的定向相反，则第二类曲线积分的值差一个负号，而第一类曲线积分的值与定向无关，故曲线不考虑定向。

三、两类曲线积分之间的关系
空间情形：设L=AB 为空间一条逐段光滑有定向的曲线，),,(),,,(),,,(z y x R z y x Q z y x P 在L 上连续，则
[](,,)(,,)(,,)(,,)cos (,,)cos (,,)cos cos ,cos ,cos (,,).
AB
AB
P x y z dx Q x y z dy R x y z dz
P x y z Q x y z R x y z ds
AB x y z A B αβγαβγ++=++⎰
⎰
其中为曲线弧上上点处沿定向到方向的切线的方向余弦
四、格林公式
关于平面区域上的二重积分和它的边界曲线上的曲线之间的关系有一个十分重要的定理，它的结论就是格林公式。

定理1、（单连通区域情形）
设xy 平面上有界闭区域D 由一条逐段光滑闭曲线L 所围的单连通区域，当沿L 正定向移动时区域D 在L 的左边，函数),(),,(y x Q y x P 在D 上有连续的一阶偏导数，则有
(
)L
D
Q P
dxdy Pdx Qdy x y
∂∂-=+∂∂⎰⎰⎰
五、平面上曲线积分与路径无关的几个等价条件
设P ),(y x ，Q ),(y x 在单连通区域D 内有一阶连续偏导数，则下面几个条件彼此等价 1．任意曲线L=AB 在D 内
⎰+L
dx y x Q dx y x P ),(),,(与路径无关
2．D 内任意逐段光滑闭曲线C ，都有
⎰
=+C
dy y x Q dx y x p 0),(),(
3．()()()y x du dy y x Q dx y x p ,,,=+成立 4．D 内处处有
y
P
x Q ∂∂=∂∂ （乙）典型例题
一、用参数公式直接计算 例 计算曲线积分 ()()()L
I z y dx x z dy x y dz
=
-+-+-⎰，其中L 是曲线
⎩⎨
⎧=+-=+2
1
22z y x y x ，从Z 轴正向往负向看L 的方向是顺时针方向。

解：曲线L 是圆柱面12
2
=+y x 和平面2=+-z y x 的交线，是一个椭圆周，它的参数方程（不是唯一的选法）最简单可取 θcos =x ，θsin =y ，θθsin cos 22+-=+-=y x z ，根据题意规定L 的定向，则θ从π2变到0，于是
()()()()()[]⎰
+-+-+-+--=0
2cos sin sin cos cos sin cos 22sin cos 2π
θ
θθθθθθθθθd I =()[]⎰--+-
02
12cos 2cos sin 2πθθθθd
π2-=
二、用格林公式等性质来计算曲线积分 例1、求()sin cos x x L I e y b x y dx e y ax dy ⎡⎤⎡⎤=
-++-⎣⎦⎣⎦⎰，其中a ，b 为正的常数，L 为
从点()0,2a 沿曲线22x ax y -=到点（0，0）的弧
解一：用格林公式，但L 不是封闭曲线，故补上一段1L ，它为从（0，0）沿y ＝0 到()0,2a 的有向直线。

这样1L L ⋃构成封闭曲线，为逆时针方向 于是 ⎰
⋃+=
1
L L Qdy Pdx I －⎰+1
L Qdy Pdx ＝21I I -，令()[]
P y x b y e x =+-sin
[]
Q ax y e
x
=-cos ，根据格林公式
1I =
⎰⋃+1
L L Qdy Pdx ＝dxdy y P x Q D ⎰⎰⎪⎪⎭⎫ ⎝
⎛∂∂-∂∂ ()()a b a dxdy a b D
-=-=
⎰⎰
2
2
π 这里D 为由L 和1L 围成的上半圆区域。

另外，在1L 上，y ＝0，0=dy ，故
()⎰⎰
-=-=+=1
20
222L a
b a dx bx Qdy Pdx I
于是 3221222a b a I I I ππ-⎪⎭
⎫
⎝⎛+=-=
解二：我们把所给曲线积分拆成两项
()⎰⎰-=++-+=L
L
x x I I axdy dx y x b ydy e ydx e I 43cos sin
在3I 中，由于
[][]
y e y
y e x x
x sin cos ∂∂=∂∂，故积分与路径无关 又看出 [
][
][
]
dy y e dx y e y e d x
x
x
cos sin sin += 因此 ()
()
00,20,0sin 3==a y
e I x 而在4I 中，取L 的参数方程 ,sin ,cos t a y t a a x =+=t 从0到π 于是 ()
⎰++---=π
2332
2
2
2
4cos cos sin
cos sin sin dt t a t a t b a t t b a t b a I
b a a 23222⎪⎭
⎫ ⎝⎛+-=
ππ
因此，3243222a b a I I I ππ-⎪⎭
⎫
⎝⎛+=-=
例2、计算曲线积分⎰+-L
y x ydx
xdy 224，其中L 是以（1，0）为圆心，R （>1）为半径的圆周,取逆时针方向. 解 令2
2224,4y
x x
Q y x y P +=+-=
当()()0,0,≠y x 时,
Q p
x y
∂∂=∂∂成立 因此,不能在L 的内部区域用格林公式
设法用曲线C 在L 的内部又包含原点在C 的内部,这样在C 与L 围成的二连通区域内可以用格林公式
今取曲线C:⎪⎩⎪⎨⎧==θ
δθ
δsin cos 2
y x ()1-<R δ θ从π2到0为顺时针方向
令C 与L 围成区域为D(二连通区域) 根据格林公式
0L C D Q p dxdy pdx Qdy pdx Qdy x y ⎛⎫∂∂=-=+++ ⎪∂∂⎝
⎭⎰⎰⎰⎰
(逆时针) (顺时针) 于是 ⎰⎰⎰
-+=+-=+=
C
C
L
Qdy pdx Qdy pdx Qdy pdx I
(顺时针) (逆时针)
用C 的参数公式代入后，得
⎰
==π
πθδ
δ20
2
221d I [注：这里取C 为上述椭圆周，最后计算最简单，如果取C 为θδθδsin ,cos ==y x 的圆周，那么最后的积分就比较复杂[]
θθθδδπ
d I ⎰
+=
20
2
222
sin cos 4] 例3、设函数()y ϕ具有连续导数，在围绕原点的任意分段光滑简单闭曲线L 上，曲线积分
()24
22L
y dx xydy
x y ϕ++⎰
的值恒为同一常数。

()I 证明：对右半平面x>0内的任意分段光滑简单闭曲线C ，有()⎰=++C y
x xydy
dx y 0224
2ϕ； ()II 求函数()y ϕ的表达式。

()I 证 如图，设C 是半平面x>0内的任一分段光滑简单闭曲线，在C 上任意取定两点M,N ，
作围绕原点的闭曲线MQNRM ,同时得到另一围绕原点的闭曲线MQNPM . 根据题设可知
()()24
24
22022MQNRM
MQNPM
y dx xydy
y dx xydy
x y x y ϕϕ++-
=++⎰
⎰
根据第二类曲线积分得性质，利用上式可得
()24
22c
y dx xydy
x y ϕ++⎰
＝
()()24
24
2222NRM
MPN
y dx xydy
y dx xydy
x y x y ϕϕ+++
++⎰⎰
＝
()()2
4
2
4
2222NRM NPM
y dx xydy
y dx xydy
x y
x y
ϕϕ++-
++⎰
⎰
＝()()24
24
2222MQNRM
MQNPM
y dx xydy
y dx xydy
x y x y ϕϕ++-
++⎰
⎰
＝0
()II 解：设P ＝
()
24
24
2,22y xy
Q x y
x y ϕ=++，P,Q 在单连通区域x>0内具有一阶连续偏导数。

由()I 知，曲线积分
()⎰
++L
y x xydy
dx 4
222γϕ在该区域内与路径无关，故当x>0时，总有
y
P
x Q ∂∂=∂∂。

()()()24
25
22242422424222y x y x xy Q x y y x x y x y +-⋅∂-+==∂++ ， ① ()()()()()()()()
243
243222424242422y x y y y
x y y y y y P y x y x y ϕϕϕϕϕ'+-''+-∂==
∂++ ， ② 比较①、②两式的右端，得
()()()435
2,
(3)
42(4)
y y y y y y y ϕϕϕ'=-⎧⎪⎨'-=⎪⎩
由③得
()2y y c ϕ=-+ ，将()y ϕ代入④得 535242,y cy y -=
所以()2
0,c y y ϕ==-从而
三、应用
例 在变力F yzi zx j xyk =++的作用下一质点由原点沿直线到椭球面222
2221
x y z a b c
++=上第一卦限的点 (),,M ξηζ问,,ξηζ取何值时，F 作功W 最大，并求max W 。

解：设线段OM 的参数方程 (),,,01x t y t z t t ξηζ===≤≤，则F 在OM 上作功
()
OM
OM
W F dxi dy j dzk yzdx zxdy xydz =⋅++=++⎰
⎰
1
20
3t dt ξηζξηζ=
=⎰
用拉格朗日乘子法求条件极值。

构造函数()222222,,,1G a b
c ξηζξηζλξηζλ⎛⎫
=+--- ⎪⎝⎭
220G a ξλ
ηζξ'=-= （1） 220G b η
λ
ξζη'=-= （2） 220G c ζ
λ
ξηζ'=-= （3） 22
2
2
2
2
10G a
b
c
λ
ξηζ'=--
-
= （4）
()()()123ξηζ⨯+⨯+⨯得 ()3210ξηζλ+-= （5）
由()1得 22a
ληζξ=代入（5）得 22
3a ξ=，则 ξ=，
同理得 ,ηζ=
=， 3
max
W abc ==⎝⎭
故原点到⎫
⎪⎪⎝⎭
作功最大，最大功为9abc
§ 曲面积分 （数学一）
（甲）内容要点
一、第一类曲面积分（对面积的曲面积分） 基本计算公式
设曲面S 的方程 ()(),,
,z z x y x y D =∈
(),z x y 在
D 上有连续偏导数，
(),,f x y z 在
S 上连续，则
()(
),,,,,S
D
f x y z ds f x y z x y =⎡⎣⎰⎰⎰⎰
这样把第一类曲面积分化为二重积分进行计算
二、第二类曲面积分（对坐标的曲面积分） 基本计算公式
如果曲面S 的方程 ()(),,
,xy z z x y x y D =∈
()xy ,Z x y D 在上连续，(),,R x y z 在S 上连续，则
()(),,,,,xy
S
D R x y z dxdy R x y z x y dxdy =±⎡
⎤⎣⎦⎰⎰⎰⎰ 若曲面S 指定一侧的法向量与Z 轴正向成锐角取正号，成钝角取负号，这样把这部分曲面积
分化为xy 平面上的二重积分，其它两部分类似地处理。

三、两类曲面积分之间的关系
[]cos cos cos S
S
pdydz Qdzdx Rdxdy p Q R dS αβγ++=++⎰⎰⎰⎰
其中()cos ,cos ,cos ,,S x y z αβγ为曲面在点处根据定向指定一侧的法向量的三个方向余弦
{}{}
00,,,cos ,cos ,cos S
S
F P Q R n Pdydz Qdzdx Rdxdy F n ds
αβγ==++=⎰⎰⎰⎰令
四、高斯公式
定理 设Ω是由分块光滑曲面
S 围成的单连通有界闭区域，
()()(),,,,,,,,P x y z Q x y z R x y z 在Ω上有连续的一阶偏导数，则
S
P Q R dv Pdydz Qdzdx Rdxdy x y z Ω⎛⎫
∂∂∂++=++ ⎪∂∂∂⎝⎭⎰⎰⎰⎰⎰ []cos cos cos S
P Q R dS αβγ=
++⎰⎰
其中cos ,cos ,cos αβγ为S 在点(),,x y z 处的法向量的方向余弦
五、斯托克斯公式
定理：设L 是逐段光滑有向闭曲线，S 是以L 为边界的分块光滑有向曲面，L 的正向与S 的侧（取法向量的指向）符合右手法则，函数()()(),,,,,,,,P x y z Q x y z R x y z 在包含S 的一个空间区域内有连续的一阶偏导数，则有
L
S
dydz dzdx dxdy
Pdx Qdy Rdz x y z P Q R
∂∂∂
++=∂∂∂⎰
⎰⎰
S R Q P R Q P dydz dzdx dxdy y z z x x y ⎛⎫⎛⎫∂∂∂∂∂∂⎛⎫=-+-+- ⎪ ⎪ ⎪
∂∂∂∂∂∂⎝⎭⎝
⎭⎝⎭⎰⎰ 也可用第一类曲面积分
cos cos cos L
S
Pdx Qdy Rdz dS x y z P
Q
R
αβγ∂∂
∂
++=∂∂∂⎰
⎰⎰
六、梯度、散度和旋度
1、梯度 设(),,,,,u u u u u x y z gradu x y z ⎛⎫
∂∂∂==
⎪∂∂∂⎝
⎭则 称为u 的梯度 ，令,,x y z ⎛⎫
∂∂∂∇= ⎪∂∂∂⎝⎭
是算子 则 gradu u =∇
2、散度 设()()()()
,,,,,,,,F P x y z Q x y z R x y z = 则 P Q R divF F x y z
∂∂∂=
++=∇⋅∂∂∂ 称为F 的散度
(外侧)
高斯公式可写成
S
divFdv F n dS Ω
=⎰⎰⎰⎰⎰
（外侧）
其中()0cos ,cos ,cos n αβγ=为外侧单位法向量 3、旋度
()()()()
,,,,,,,,F P x y z Q x y z R x y z i
j k rotF F x y z P
Q
R
=∂
∂∂=∇⨯=
∂∂∂设
R Q P R Q P i j k y z z x x y ⎛⎫⎛⎫∂∂∂∂∂∂⎛⎫-+-+- ⎪ ⎪ ⎪∂∂∂∂∂∂⎝⎭⎝⎭⎝⎭
＝ 称为F 的旋度。

斯托克斯公式可写成
()
0L
S
F dr rotF n dS ⋅=⋅⎰
⎰⎰
其中()()0,,,cos ,cos ,cos dr dx dy dz n αβγ==
（乙）典型例题
一、用基本公式直接计算曲面积分
例1、设S 为椭球面22
2122
x y z ++=的上半部分，点(),,,P x y z S π∈为 S 在点P 处的切平面，(),,x y z ρ为原点到π的距离，求
(),,S
z
ds x y z ρ⎰⎰ 解：先求出()(),,,,,x y z X Y Z ρππ设为上任一点，则的方程为
()()()20x X x y Y y z Z z -+-+-=
即
1022
x y
X Y zZ ++-= ()1
,,1x y z ρ==
由S 的方程z =
2
2
222
2
41212
2x y z z ds d x y x y σσ--⎛⎫
∂∂⎛⎫=++=
⎪ ⎪∂∂⎝⎭⎝⎭
⎛⎫-+ ⎪
⎝⎭
这样
()()221
4,,4S
D
z dS x y d x y z σρ=--⎰⎰⎰⎰ 区域D:2
2
2
2x y +≤
所以
原式＝)222
0013442
d r rdr πθπ-=⎰
二 用高斯公式计算曲面积分 例1 计算()⎰⎰
++++=
s
z
y x dxdy
a z axdydz I 2
222
（0>a 常数）
其中2
2
2
:(0)S z a x y a =--->上侧
解：令曲面下侧⎩⎨⎧=≤+0
:2
221z a y x S
于是S S 1为闭下半球面的内侧
设其内部区域为Ω，令D 为xy 平面上圆域2
2
2
a y x ≤+
11222
S 244204
3
0011()11(32)2212
S SUS D a a r I axdydz z a dxdy a a a z dv a dxdy a zdv a a a a d rdr a a πππππθΩ
Ω--⎡⎤⎡⎤=++=-⎢⎥⎣⎦⎢⎥⎣⎦
⎡
⎤⎡⎤=-++=--+⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦
⎡⎤=--=-⎢⎥⎣⎦⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰则
例2 计算[]
⎰⎰
-+-+--+-+-=
S z y x dxdy
z dzdx y dydz x I 2
3
2
22
)
1()1()
1()1()1()1(其中S 是不通过点（1，1，1）的球
面2
2
2
2
R z y x =++的外侧 解：设0=∂∂+∂∂+∂∂++=
⎰⎰z
R
y Q x P Rdxdy Qdzdx Pdydz I S
通过计算可知
（1） 当S 的内部不包含点（1，1，1）时，根据高斯公式可知I = 0
（2） 当S 的内部包含点（1，1，1）时，作曲面
内侧2
2221)1()1()1(:a z y x S =-+-+-
选a 充分大，使1S S 在的内部，于是1S S 和是二连通区域Ω的边界曲面，现在
0P =⎪⎪⎭⎫ ⎝
⎛∂∂+∂∂+∂∂⎰⎰⎰Ωdv z R y Q x
根据高斯公式（二连通区域）
⎰⎰
⎰⎰=+
)
()
(10外侧内侧S
S
于是⎰⎰
⎰⎰
⎰⎰-
=-
==
)
()
()(11外侧外侧内侧S S S I
在2
222
1)1()1()1()(a z y x S =-+-+--上外侧，故积分可以化简
⎰⎰
--+-+-=
)
(3
1)1()1()1(外侧S a
dxdy
z dzdx y dydz x I 令1Ω是以-
1S （外侧）为边界的空间区域2
2
2
2
)1()1()1(a z y x ≤-+-+-再用高斯公式
1
3
3
3134343
I dv a a a ππΩ=
=
⋅=⎰⎰⎰ 例3 设对x > 0内任意光滑有向闭曲面S 都有
⎰⎰=--S
x
zdxdy e dzdx x xyf dydz x xf 0)()(2 其中),0()(+∞在x f 内有一阶连续导数，且,1)(lim 0
=+→x f x 求f (x )
解：设为由曲面ΩS 包围的空间区域，由题设和高斯公式得 []
0)()()(2=--+'±⎰⎰⎰Ω
dv e x xf x f x f x x
由于S 的任意性，可知0)()()(02=--+'>x
e x x
f x f x f x x 时
即微分方程：)0(1)(11)(2>=⎪⎭
⎫
⎝⎛-+'x e x x f x x f x
得出通解
)()(c e x
e x
f x
x +=
由0)(lim 1lim 2020=+=+++
→→x x x x
x x ce e x
ce e 则
得1,01-==+c c
则)1()(-=x
x e x
e x f
三、用斯托克斯公式
例1 设2222
23,9F yi x j z k S x y z =+-++=曲面为的上半部，求0
S
I rotF n ds =
⋅⎰⎰
解：根据斯托克斯公式223L
L
I F dr ydx xdy z dz =
⋅=+-⎰
⎰其中L 为S 的边界曲线
⎩⎨
⎧==+0
9
22z y x （逆时针方向） 取L 的参数方程πθθθ20,0,sin 3,cos 3到由===z y x 则πππθθθθπ
π
92718)cos 9(3)sin 9(2
220
2
20
=+-=-+-=⎰
⎰
d d I
例2 计算⎰-+-+-=
L
L dz y x dy x z dx z y
I 是平面其中,)3()2()(222222
2=++z y x
例3 与柱面1||||=+y x 的交线，从z 轴正向看去，L 为逆时针方向。

解：记S 为平面2=++z y x 上L 所围成部分的上侧，D 为S 在xy 坐标平面上的投影，由
斯托克斯公式得
)3)()(1(24
12)6(2)324(32
)22()62()42(22
dxdy dxdy z z ds dxdy dxdy y x ds z y x dxdy
y x dzdx x z dydz z y I y x D
D
S
S
=
'+'+=-=-=+--=++-
=--+--+--=⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰
四、曲面积分的应用
例 设有一高度为h (t ) (t 为时间)的雪堆在融化过程中，其侧面满足方程
)
()
(2)(22t h y x t h z +-=（设长度单位为厘米，时间单位为小时），已知体积减少的速率
与侧面积成正比（比例系数），问高度为130(厘米)的雪堆全部融化需多少时间？ 解：记V 为雪堆体积，S 为雪堆的侧面积，则 [][]),(4)()(2132)(0)()(21)(0222t h dz z t h t h dxdy dz V t h z t h t h y x t h ππ=
-==⎰
⎰⎰⎰
-≤+
222222()
2
()
2
1222022()16()13()12
h t x y h t x y S h t r rdr h t h t π
π+≤+≤==⎤=+⎦=⎰⎰
⎰⎰
由题意知
.10
13)(,1013)(,9.0C t t h dt t dh S dt dV +-=-=-=因此所以 由 ).(100,0)(.1301013)(,130)0(小时得令得==+-==t t h t t h h 因此高度为130厘米的雪堆全部融化所需时间为100小时。

五、梯度、散度和旋度
例1 设,||,()[()]0r xi y j zk r r f r div gradf r =++==求使 解：()(),x y z gradf r f r i j k r r r ⎡⎤'=+
+⎢⎥⎣⎦
,02)()()]([='+''=r r f r f r gradf div
求出微分方程的通解 2121,,)(C C r C C r f 其中+=为任意常数
例2 设222ln z y x u ++=，计算
（1）gradu
（2）div (gradu ) （3）rot (gradu ) 解：（1）);,,(1,,),ln(21222222z y x z
y x z u y u x u gradu z y x u ++=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂∂∂∂∂=++=则
（2）22222222222
2222222222222222222)(21)(21,)(21z y x z z y x z u z y x y z y x y u z y x x z y x x u ++-++=∂∂++-++=∂∂++-++=∂∂
于是.1)()(23)()()()(2222222222222222222z y x z y x z y x z y x z
u y u x u z u z y u y x u x gradu div ++=++++-++=∂∂+∂∂+∂∂=∂∂∂∂+∂∂∂∂+∂∂∂∂= 222222(3)()0i j k rot gradu x
y
z u u
u x y z
u u u u u u i j k z y y z x z z x y x x y ∂
∂∂=∂∂∂∂∂∂∂∂∂⎛⎫⎛⎫⎛⎫∂∂∂∂∂∂=-+-+-= ⎪ ⎪ ⎪∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂⎝⎭⎝⎭⎝⎭。