大学复变函数期末考试试卷及答案(理工科所有专业)

2．设2
2-+=
ni ni
n α),3,2,1( =n ,则=∞→n n αlim （ ）
A. 0；
B. 1；
C. -1+i ；
D. 1+i 。

3．满足不等式3211≤-+≤i z 的所有点z 构成的集合是（ ）。

A ．有界单连通区域； B. 无界单连通区域；
C ．有界复连通闭域； D.无界复连通闭域。

4．下列函数中，不在复平面内解析的函数是( )
A.1
)(+=z e
z f ； B ．-
=z z f )( ；
C ．n
z z f =)( ； D ．)sin (cos )(y i y e z f x
+=。

5
A. ∑∞
=+08)56(n n
n
i ；
C. ∑∞
=02n n i ；三．计算题（每小题71．设z 1+=
2．判定函数)2()()(222y xy i x y x z f -+--=在何处可导，在何处解析。

3．计算积分⎰
-
C
dz z z 4
)2
(sin π
4.计算积分
4=。

5.设,)1(2y x u -=试求解析函数iv u z f +=)(，使得i f -=)2(。

6.将函数)
2)(1(1
)(--=z z z f ，在圆环域21<<z 内展成洛朗级数。

四.证明函数yi
(+
=在复平面内不可导。

（7分）
)
z
x
f2
参考答案
一、填空题（本大题共8小题，每小题3 1．10
9 ， 2. 4 ，3. 0 ，4. 1，5. -3或
二、单项选择题(本大题共7小题，每小题31. B ，2. B ，3.C,4. B,5. B .
三、计算题（本大题共7小题，15-19 1.解：由i z 31+=得：)sin (cos
2π
π
i z +=, （1分）
624
(cos 23166π
π
k i z k +=+=所以)18sin 18(cos 260ππi z +=，)1813sin 1813(cos 262ππi z += ,)25sin 1825(cos 264ππi z +=,5z 7分）
2.
解
)
2()2y xy i x -+,则
(),(22y x y x u -=
y u x x u ,12=∂∂-=∂∂ 只在2
1
=
y ,x v ∂∂-（6分） 故只在2
1
=y 处可导，处处不解析。

（7分）
3z 在2=z 内解析，（2分）
C C C
1=422i ie i ππ+-，（7分） 5．解：y x y x u )1(2),(-=),(),y x iv y x +解析，（1分）
满足柯西-黎曼方程：
x u =∂∂
1(2x v --=⎰分）
)('y g y v =∂∂又1可得1=c ，（6分） (2)(-=x z f 6
．解：)(z f
（2分）
112n n z +，（4分） 6分）
23322341111
2222
z z z z z z =--------．（8分）
其中i z =2分）
)()((lim )),((Re =-=→z f i z i z f s z i z 分） 1[(lim )!12(1)1),((Re
z dz d z f s z --=→ （6分） 由留数定理得：dz e C z
⎰=)]1),(((Re )),(([(Re 2z
f s i z f s i + ][)1(22
ei e i i
i --=π（7分）
证明：),(y x u =v (4分） f (7分）。