刍议高中数学探究性教学的生长点

刍议高中数学探究性教学的生长点南京航空航天大学苏州附属中学（215000）赵波
1.问题提出
数学探究活动是运用数学知识解决数学问题的一类综合实践活动.因其关注学生参与，有效促进学生深度学习，是提升学生核心素养的重要载体，故在课堂教学中备受推崇.能否成功开展探究性教学也成为衡量数学课优劣的重要方面.当下，课堂教学中广大教师有意识地开展探究性教学已成常态，令人备受鼓舞.但在实施探究性教学的过程也出现了令人堪忧的各种“伪探究”现象:认为让学生多讨论就是探究，认为课堂气氛热烈就是探究，以热闹代替深思；有的固化认为只有某些课型适合探究，有的狭隘认为探究就需要长时间……•
在一次课题为“点到直线的距离”（苏教版《数学2》第二章第101页第一课时）县级同课异构的优质课比赛活动中，12位参赛选手“八仙过海,各显神通”都采用探究性教学方式•然而，有的选手忽视探究的前提条件，不顾学生的基础、无视学生的真实感受，在遇到学生不同见解时不是去合理引导探究，而是硬生生地将课堂“拽回”课前预设的教学路线.例如有位参赛教师（以下简称“教师1”）在教学伊始运用从特殊到一般的方法进行教学，在学生自主解决点D（2,4）到直线AB-5x+4y-7=0的距离，并得到教材上的方法1与方法2（由于学生课前事先预习，容易理解方法1与方法2）后，教师1抛出课题"如何能快速地推导出点P（.x0,y0）到直线Z：血+By +C=0的距离？”（教师的追问想让学生选择方法2,摒弃方法1）但有些学生偏偏提出：方法2好是好，但不容易想到，能否类比方法1,先求出过定点与定直线垂直的直线方程；并与定直线方程联立方程组，求垂足的坐标；最后求两点间距离.学生的话还没有说完，教师1回答道：方法1容易想到，但计算量太大，不信，大家可以课后尝试一下！我们来探讨方法2—
—等面积法，在讲解方法2后，教师1又“马不停蹄”地引导学生学习更加灵活的二次函数求最值法和向量投影法.显然，教师1没有很好对接学生思维，学生心理的需求是什么，特别是引导学生在学习后面两种证明方法时，由于教学时间紧张，教师1采用边讲授边用多媒体展示的方法直接“塞”给学生，致使学生疲于奔命、茫然四顾，教学效果可想而知.笔者认为探究性教学应根据课堂实际情况捕捉到探究性教学的最佳生长点，这样的探究教学才会更加生动、流畅、有趣、高效•本文笔者摭谈一些认识与思考，以期抛砖引玉.
2.刍议探究性教学的生长点
数学探究性教学是指教师针对数学教学中的某个教学内容，精心设计能引发学生积极探索的教学过程，使学生在体验数学研究的过程中培养独立思考、合情推理等方面的能力⑷.要注意的是，探究性教学重在引导学生大胆“探究”，自主学习，而不仅是重在探究的“结果”•作为探究性教学的对象可以是某个重要内容，可以是教学中的某个难点，可以是学生解题的疑惑点，可以是某次作业或考试中错误率较高的试题等.因此，探究性教学的形式是灵活的、多变的，它不拘囿于整堂课都以“探究”为主线.有时仅在一个教学片断中体现探究性教学，并且是一个不露痕迹的引人入胜的“微电影”.要想让这些“微电影”的“剧情”跌宕起伏、吸引“观众”，那就要抓住“剧情”发展的生长点.
2.1以学生的现有基础或实际需求为探究性教学的生长点，发展学生的思维
数学家怀特尼说：“创造性的数学工作并非少数天才所专有，它可以是我们之中有强烈意愿与充分自主性的任何人的顺乎自然的行动”.探究性教学比其他教学法更加关注培养学生的发现式学习，它实质是一种创造性地对数学进行“再加工”学习，大多数学生都可以接受这种学习方式.众所周知，从学生的实际情况、个别差异与个性特点出发，有的放矢地进行有区别的教学是因材施教的教学原则⑵.从学生的现有基础出发进行探究性教学符合学生的认知规律，有利于学生思维的启动；反正，忽视学生的基础和真实感受进行探究性教学必然会造成纯短汲深的尴尬局面.
在教师1的教学过程中，当有学生提出：“方法2好是好，但不容易想到，能否类比方法1推出一般情
况下的点到直线距离公式？”其实由方法1求出一般情况下的点到直线距离公式是大多数学生正常能够想到的，但教师1却没有顾及学生的真实感受，“照搬教材”断然否定学生现有的想法，着实令人扼腕叹息.学生的想法有如下三个闪光点：第一，思路是自然的；第二，方法是科学的；第三，操作是可行的.只要具备扎实的计算推理能力，不难推出点Pg y0)到直线l-Ax+By+C=0的距离公式.推导过程如下：
当时，过点P(x0,y0)且与Z垂直的方程为Z'：y-y。

=#(%-%),把它们联立方程组，求得
垂足点坐标为(叫；鷲"：
_汕阳覚_肮),点pa。

』。

)到直线i的距离d的平方为d=严;2驾-“-+
[_笃+兽_肌_订，进一步通分、提取公因式，得护=[心；2 +
「召(一彳％_By。

_C)丁2_(如+By。

+C)2
L A r VB2」二，故
d=I°丄；当A"中有一为0时，容易
验证4=少半鼻成立.
a/A2+B2
帮助与鼓励学生完成上述的推导过程，既能及时解开困扰学生的“心结”，又能给学生提供一次培养运算推导能力的契机，更能让学生收获成功的愉悦感.这正如教育家爱默生所说：“教育成功的秘诀在于尊重学生•”尊重学生的思维，可以使学生树立坚定的学好数学的信念.
2.2以学生的作业批改或考试反馈为探究性教学的生长点，提升学生的思维
对作业或试卷中需要教师重点评讲的问题，最忌讳的是教师只是按照自己事先所准备的解题思路、方法与策略展示给学生，甚至让学生对答案、对题型、套模式、练套路.而对学生解题中的困难及错误产生的缘由很少关注,结果只能是教师讲得精彩，学生听得无趣，教学发生错位,这样的讲评只能劳而无功，收获寥寥⑶•为了摸清学生错误的原因，还原 学生解题时的思维轨迹,提高讲评的针对性.一是做好作业或阅卷统计，对重点题型，错误解法等有详细地了解;二是充分发挥学生的主体作用•俗话说得好“解铃还须系铃人”，在讲评试题时教师要充分发挥学生的主体作用，让学生成为研究问题与解决问题的决策者及探索者.
案例1在AABC中，角A、B、C所对的边分别为a、b、c,若/_B=厶C,且7/+b2+c2=4石~,则AABC面积的最大值为________.
(1)试题分析
此题为填空题的压轴题，它从常见的求三角形面积最大值问题入手，通过对三角形的形状及其边长满足的条件加以包装和打造,提高了试题的难度,增加了思维含量•既突出了数学新课标“四基”的要求，又着重考查了学生的分析问题、数学建模、运算推理、等价转化等能力⑶.
(2)考情统计
笔者所带的两个班级共有102位学生，统计显示两个班级只有19位学生做出正确答案.其余学生共给出帶、*、*等16种错误答案,还有部分学生
因为时间不充分等原因而放弃.因为是填空题，看不到学生解题时的真实思维轨迹，笔者只能根据教学经验估计学生解题的主要弱点是缺乏数学建模和等价转化等能力.
(3)教学片段
教师：哪位学生愿与大家分享你解题时的想法?
生1：我的答案是警.我
是这样做的：如图1,过顶点A
作AH丄PC,垂足为则AH
（b2-才）.因为/>0,
a2
T,^AABC二/
A
#4所以S為c=图1
沪-手〉0,所以当/=沪_手时,SJ bc取得最大值，又因为7/+2b2=4方，故当/=瞬时,s爲C 最大，即(S辺J"
*=堆.
生2：我的建模方法与学生1相同，求出SJ bc= *2（戻-手）后,再结合7°2+2/=4石消去氏
得S aabc=ya2（-苧/+2/3）=-||a4+号£& e（0,攀），但在运用导数法求最值时出现运算错
误,真令人懊恼！
生3：我是采用特殊法猜的：若AABC为等边三角形，则a=6=c,又因为7a2+b2+c2=4石■，所以°2=呼^故（S4ABc）max=ya2sin y=y.
生4：受思维定式的影响，我只想到运用比扭。

= y62sinA建立目标函数，没有想到S^bc=*B C•
AH,故没有做出来.
教师：请同学们分析上述几位同学产生错误的原因.
生5：学生1是先由等号条件出发求最值，故学生1的解法是错误的.运用基本不等式求最值分三步骤进行：一正二定三相等.这三个步骤应逐一实现，且顺序不能交换.
（生6质疑在运用基本不等式求最值时，若出现和（积）不为定值，怎么办？常规的处理策略是什么？学生6的追问引起其他学生的深思和激烈的讨论）生7：运算推理能力是其他能力的载体，因此它是最基础、最重要的一种能力.如学生2因计算失误没有把正确的思路转化为分数.
生8：学生2的解法有点舍近求远、避简求繁，其实通过换元法可转化我们熟悉的二次函数在定区间上求最值问题，这样就可以大大降低因计算带来的错误风险.
生9：我和学生4想法一样，也是通过= ~^-b2sinA建立目标函数.虽没有成功，但我觉得边长
b与sinA之间一定存在某种内在联系…⑶.
教师：因为/+（沪一手）=戻+|_/不为定
值，因此不能直接运用基本不等式•那能不能通过等价变形使和为定值呢？
生10：使和为定值的依据是什么呢？
教师：尝试从条件中找找！
生10：（恍然大悟）我终于明白了！因为la+2b2=4舛为定值，所以必须使和的式子中出现7/ +262或其倍数.因为S爲c=*2（沪-^-）=
£/（402_a2），注意S爲c中含有4戻,再结合14<?+ 4戻=8岛，所以把也变形为抄（沪-手）=话土•15/（4/-a2）,再运用基本不等式，便会出现（15a2-（4b2-a2）W[应土学二也= [14/+4叮=48）和为定值，当且仅当/=
孕显然，此时AABC不是等边三角形.
教师：从学生10的解法中，我们不难得知，通过等价变形使和（积）为定值，是灵活运用基本不等式的切入点•那我们如何通过等价变形使和（积）为定值⑶？
生10：通过乘以一个项与除以一个项使和为定值;通过加上一个项与减去同一个项使积为定值.
再请学生8展示你的解法.
生8：因为S^BC=^-a2（-ya2+2胳）=-
+^~a,a e（0,^^-）.设/=%，则％e（0,^^-）,问题转化为求g（%）=+^~x,x e（0,卑3）的
最值，…，故（S4Aflc）max=y-.
教师：由此可见，换元法起到的等价转化作用，不仅仅体现在把复杂问题简单化、陌生问题熟悉化,还能规避繁琐的运算带来的风险！何乐而不为呢⑶！
教师：难道真得不能从£磁=-^b2sinA出发建
立目标函数？既然找不出6与sinA之间关系，那能不能先找出6与cosA之间关系？（在教师的循循善诱的启发下，学生9的思路豁然开朗）
生9：由余弦定理得cosA=“+£2——=卑护，因为S為°=sin2A=+沪（1-
cos2A)，消去cosA,便可建立目标函数，….
生11：设厶HAC=0,通过S^bc=*F sin20=匚tan。

也能建立目标函数，….
1+tan0
教师：其实不论从(S»bc=*B C•AH,S^bc= y62sinA)哪个公式入手，根据算两次思想，最终的
目标表达式必定是一样的，正所谓“殊途同归”.
教育家第斯多惠说过：“一个坏老师奉送给学生真理，一个好老师则教学生发现真理.”讲评问题时应着力于启发学生分析题干可能允许的解题范围、角度与方法，认清题干中的侧重点，辨析题目中设置的迷惑点，重点评析学生解答中的错误，要让学生在错误中学会思考，在失败中积累经验⑶.教师要在学生思维卡壳处提供“脚手架”，为学生创造更多的自我解决问题的契机，激发学生更大问题的纠正欲、探究欲、解决欲,提升学生的分析问题能力与解决问题能力⑶.
2.3以变式题组或问题延伸为探究性教学的生长点，拓深学生的思维
习题教学时，数学探究性教学效果与如何设计变式题组或问题延伸有着密不可分的关系，设计时要遵循以某个重点或难点问题为线索，将知识点转变为探索性问题串，以设疑质疑的方式展现出来•横向通过对知识点的梳理巩固学生的“四基”；纵向通过对知识点的深挖，瞄准学生思维的薄弱环节强打“补丁”，促使学生对数学本质的探究.
案例2已知/<小=-2%+4,g仏)=2“，・=min[/(兀),g(%)}(x e R).求h(x)的最大值.
问题延伸1已知a M3,函数
F(久)二min{2\x-1\,x2-lax+4a-2},其中
min[p,g}=|P，P°9,
iq,q
(I)求使得等式F(%)=x-lax+4a-2成立％的取值范围；
(D)(1)求F(%)得最小值m(a);(2)求F仏)在区间[0,6]上的最大值M(a).
问题延伸2已知函数/(%)=x+ax+土,
g(x)=-lnx.
(I)当a为何值时严轴为曲线y=f(x)的切
线;(II)用minj表示m,n中的最小值，设函数h(x)=min[/O),g(力)}(x>0),讨论h{x}零点的个数.
考查新定义问题是高考数学的一大亮点，是学生比较发便的一种题型•在进行有关新定义教学时，要遵循由简单到复杂、由具体到抽象的螺旋式上升的原则.笔者在设置含新定义"min{m,n「的函数压轴题教学时就是遵循了这样的原则，首先设置一个学生比较熟悉的试题，便于学生“纳故接新”，紧接又借助两道复杂的试题，把学生的思维逐步引向深入，让学生充分体验数学研究的过程，逐渐形成发现问题的知识及拓深学生思维的深刻度.
2.4以教学预设或“教学意外”为探究性教学的生长点，优化学生的思维
叶澜教授说："课堂应是向未知方向挺进的旅程，随时都有可能发现意外的通道和美丽的图景，而不是一切都必须遵循固定线路而没有激情的行程•”在教学中教师在关注学生数学学习的过程、结果、理解问题的深刻、情感态度的变化等时要学会打破教学预设，审时度势地设计教学的路线.对于学生的易错点、疑难点、“意外点”，教师要根据教学的实际需求创设“元认知冲突”的问题情境，揭示学生在认知上矛盾，使之处于一种“元认知失衡”的愤烽状态，促使学生“刨根究底”剖析形成错误的缘由，并给出正确的解法，实现学生的“元认知平衡”.
案例3已知函数/(%)=1/-4%+3丨，若。

< b<2,且/(a)=/(6),求证：4<2ab+a+b<8-3#.
经过短暂的思考后，有位
学生指出此题的结论是错误
的.他的理由如下：
/(%)=I X2-4%+3I的
两个零点为％=1严=3；令
f(x)=丨/-4%+3丨=1,得
x=2,x=2±^/2,
因为于(a)=/(6),a<b
<2,结合图2可知2-Q<a<1<b<2,故3-Q<a+b<3.又y(a)=/(5),得/-4a+3= -(62-46+3),Kp a2+b2=4(a+6)-6,故lab =(a+5)2-(a2+62)=(a+6)2-4(a+6)+6,即2ab+a+b=(a+6)2-3(a+5)+6,因为3-<a+b<3,所以8—<2ab+a+b<6.故
要证的结论是错误的.
学生的这种证法是笔者始料未及的，但笔者并没有急于一语道破天机，而是决定充分挖掘这种证法的示错价值和教育价值.经过大家的交流、讨论、尝试、思辨、探索，终于使这位学生豁然开朗地认识到原问题与“已知a,6e且3-Q<a+6<3,求（a+6）2-3（a+6）+6的取值范围”不等价.因为由图2可知，当a无限趋近于2时,6无限趋近于2,而不是无限趋近于1,也就是说a,6是一对相互制约的“双控”变量，而不是一对毫无关联的“自由”变量，故3-#<a+6<3不正确，所以导致把求证的结果范围扩大了.
由a2+b2=4(a+6)-
6得(a-2)2+(0-2)2=2,
又因为2--/l<a<1<b<
2,故如图3所示点(a,b)的轨
迹是以(2,2)为圆心，以Q为
半径，以A(2
图3
1）为端点的
*圆弧（不包括
端点）•设a+b二由直线6=-a+t与圆弧有交点，可得2<t<3—匹，故4<lab+a+6<8 -3#.随后，又有学生指出，因为点（a,6）的轨迹是以A（2-72,2）,B（1,1）为端点的
*圆弧（不包括端点），故可设a=2+Q cos0,6=2+Qsin0,（77< 0<-|-77），再利用sinQcosQ与sin0+cos0的关系采用换元法转化为二次函数在定区间上求最值（过程略）.
学习的“金字塔”理论告诉我们：“让我看仅能掌握问题的百分之二十，让我参与活动能掌握问题的百分之五十，让我讲给别人听能掌握问题的百分之九十•”鉴于此，笔者并没有采取直接说教的教学方式，而是抓住学生在证明过程中暴露出来的诸多问题,运用“先行组织者”策略设置多个连续的局部探究点，适时、适当地给予追问与点拨，促使学生说出困惑，探讨错误根源，预测解题方向，甄别解题方法，真正让学生“知其然，知其所以然和所以不然”.
3.几点思考
数学家迪厄多内说过：“任何水平的数学教学的最终目的，无疑是使学生对他所要处理的数学对象有一个可靠的’直觉”毋庸置疑,高质量的探究性教学能够帮助学生找到这个’直觉’•要想顺利实施探究性教学，我们必须做好以下几点：
3.1理解问题是实施探究性教学的前提
试题是数学问题最重要的载体之一，试题教学是高中数学教学的一道重要工序，做好试题教学有助于师生更好地理解数学•从解题角度出发,理解数学可分三个层次:初级理解在于就题论题，从试题层面找到解决问题的方法,并能够顺利解决问题，甚至 可以探寻一些一题多解问题；中级理解在于解题后的反思，领悟蕴含其中的数学思想方法，并能够比较解法的优劣，领悟用“有限”的数学思想方法来解决“无限”道题目的机智；高级理解不仅能用“有限”的数学思想方法来统领无限道题目，而且能够通过搜集、加工、类比、整合、迁移，自主设计一些有教育价值的试题，积极地进行探究性学习，并作适当地归纳与提炼，以此达到“解一题、会一类、通一片”的效果⑷.
3.2理解学生是实施探究性教学的关键
无论何种教学方式,授课的对象都是学生，教学效果的优与劣，直接体现在学生对数学知识掌握的程度•探究性教学实施的关键要理解学生，贴近学生的实际，才算是真正意义上的探究•理解学生首先要关注学生思维的最近发展区，让学生能够“踮着脚，摸的着”；其次还要关注学生潜在的思维发展区，结合学生思考的大致方向，引导学生探讨解决问题的策略、确立解决问题的方法、强化解题思路、拓展变化关系、挖掘问题本源、寻求通性通法；最后通过同化与顺应帮助学生建构知识体系，通过沟通知识点之间的内在联系，培养学生思维的迁移力、求异力及创新力.
3.3理解教学是实施探究性教学的保障
探究性教学需要教师尽量多给学生留想一想、悟一悟的时间，但这决不是放手不问让学生盲目地去学，而是需要教师发挥应有的主导作用教给学生方法，激活、调整学生的主观能动性，让学生自己学的主动、思的积极、探的清断德海纳特在《教师的创造性教学》中指出：“所有有活力的思想都有一个缓慢发展的过程，应给学生足够的时间，而向学生预示结果或解决方法，都会阻碍学生努力研究•”因此,探究性教学是一种“慢”教育，更是一种“慢”艺术，它需要教师孜孜不倦的灌溉和呕心沥血的呵护，
才会有郁郁葱葱的繁盛景色！
参考文献
[1]祁平.基于探究的数学教学的哲学思索[J].数学通报,
2014(8):22-28.
[2]武云霞，申明生.解题教学“三基点”一以解析几何为
例[J].中国数学教育:高中版,2014(10):6-10.
[3]魏本义，刘亚平.落实试卷讲评五环节让学生的思维自
由徜徉[J].中学数学教学参考:上旬,2016(11)：51-54.
[4]徐建平.且行且思考一记一次说题比赛的历程[J].中
学教研(数学),2015(6)=38-41.
核心素养视角下的高中数学结构教学法"
福建省莆田第十中学(351100)黄启贤
核心素养视角下的结构教学法实践研究，要求着眼于高中数学这一整体，在发展学生的高中数学核心素养的视角下使用结构教学法进行系统性地效率教学•结构教学法的特点就是充分挖掘学生对整体与局部之间的认知规律，探索新旧知识之间的联系，构建系统化的知识体系•让学生理解学科知识内部的横纵联系，拥有知识整体的认知性与操控性，转变知识学习的被动性，促进学习主动性的形成，培养其在不同情境中形成、运用和解释数学的能力.
1.结构教学法
结构是系统内各组成要素之间的相互联系、相互作用的方式，是系统组织、有序化的重要标志.结构既是系统存在的方式，又是系统的基本属性，是系统具有整体性、层次性和功能性的基础和前提.⑴“结构化”是指使一个事物由混沌、散乱和无序状态转变为某种结构形态的动态过程•⑵就数学学科的教学而言，结构教学法是立足于教与学的结构化，细分为数学知识的结构化、思想与方法的结构化、学科核心素养的结构化•结构教学法的目的让学生站在系统的高度看问题，成为规律和结论的发现者、探究者，并形成终生学习的能力.
1.1数学知识的结构化
数学是一个系统，理解和掌握数学知识需要系统思维.系统思维就是把认识对象作为系统，从系统和要素、要素和要素、系统和环境的相互联系及相互作用中综合地考察认识对象的一种思维方法•⑶知识的结构化包含知识整体认知的结构化与知识学习过程的结构化.结构教学法要求过程与内涵是具体的、明确的、可操作的，是现有教学方式的融合与提升.
知识整体认知的结构化，是从系统的角度探究一节课在整体中的位置与作用，理清一节课的特殊性与联系性，是在学生的最近发展区，从系统的角度去认知，引导学生建立知识网络结构，强化新旧知识之间的横纵联系，让每一章节、每一课时的内容成为知识网络结构的有机组成.
知识学习过程的结构化，是从研究数学对象的角度看待新知的学习过程，使得学习过程清晰明确，有章可循，化抽象为具体,提升学生自学能力.数学的学习过程就是研究数学对象的过程.研究数学对象,就是研究概念、性质、应用等三方面的内容•数学对象的概念包含概念的抽象、概念的表达、概念的辨析、概念的内涵与外延等几个方面.概念的抽象一般经过类比、归纳、猜想等.概念的表达常有直观图形语言、数学自然语言、数学符号语言等三种形式.概念的内涵与外延，一般通过有效的辨析题，加深对定义的本质的理解与掌握.数学对象的性质是数学概念所蕴含的结论或推论，是变化中的不变性与规律性•对于数学对象性质的研究常对逆命题、否命题、条件或结论的充分性与必要性做研究，既要从具体到抽象，也要从抽象回归具体.数学对象的应用是数学概念及其性质在数学相应问题中的应用，包含基础知识的初步应用，知识交汇问题的解决、学科融合问题的解决、实际生活中的应用等.
*本文系福建省莆田市教育科学“十三五”规划2019年度立项课题《核心素养视角下高中代数的结构教学法实践研究》(项目编号:PTJYKT19054)的研究成果之一.。