第三讲 P-S-N曲线,疲劳统计学

第三讲p-S-N曲线，疲劳统计学
前节回顾
基本S-N曲线，三个区域
S-N曲线的数学表达
疲劳极限S f的近似估计
S f = kS b
等寿命疲劳
Gerber抛物线模型，Goodman直线模型，Soderberg直线模型
等寿命疲劳曲线图
影响疲劳性能的若干因素
荷载形式、尺寸效应、表面光洁度的影响、温度和环境的影响
应力集中的影响，缺口系数：理论弹性应力集中系数、疲劳缺口系数、缺口敏感系数
1．疲劳数据的分散性
S-N曲线为中值曲线，一般对同一应力水平实验点有分散性，其分散性与材料、应力水平、环境等相关。

某铝合金构件的疲劳实验
应力水平低则寿命 长，分散性也大，在同 样应力水平下，疲劳寿 命可以相差几十到几百 倍。

2．p -S -N 曲线
p -S -N 曲线是组成不同成活率p 下的S -N 曲线集，这一曲线集给出了：1）在给定应力水平下失效循环次数N 的分布数据；2）在给定的有限寿命下疲劳强度S 的分布数据；3）无限寿命或N > N L 的疲劳强度－疲劳极限的分布数据。

p -S -N 曲线由成组实验获得。

p -S -N 曲线在有限寿命段（103 < N <106）在双对数坐表系上近似为直线。

3．疲劳寿命与疲劳强度 概率分布之间的关系
疲劳破坏是疲劳损伤 逐渐累积的结果，材料中 宏观或微观的不可逆变形 是疲劳损伤的主要形式。

lg N
S
lg N
S
疲劳寿命概率分布：在给定疲劳强度下构件的疲劳寿命概率分布形
式。

一般可由疲劳实验获得。

疲劳强度概率分布：在给定疲劳寿命下构件的疲劳强度概率分布形
式。

设在一疲劳荷载作用下，构件在给定疲劳强度S *下的疲劳寿命N 的概率分布密度为f (n |S *)，而在给定疲劳寿命N *下的疲劳强度S 的概率分布密度为g (s |N *)，则可以证明
ds N s g dn S n f S N )()(*
*
*0
*⎰⎰=
即在给定的疲劳强度S *下 疲劳寿命N 小于或等于N *的 概率与在给定的疲劳寿命N * 下疲劳强度S 小于或等于S * 的概率相等。

令： ds N s g p S
)(0
⎰=， 则有： dn S n f p N
)(0
⎰=
对S 求偏导，有： dn S n f S N S g N
)()(0
⎰
∂∂
= 上式即为由给定疲劳强度S 下的寿命分布求给定寿命N 下疲劳强度分布的表达式。

4．疲劳数据处理常用分布函数 分布函数的确定
N * S S
N
对于给定循环应力水平的一组试样所得到的疲劳寿命，如将实验数据在某种概率纸上的分布基本呈线性，则构件的疲劳寿命服从该分布。

概率统计名词
随机变量：取值随偶然因素变化但遵从一定概率分布规律的变量 母体：所有可能观测结果的总和 样本：从母体中提取的一部分样品 样本特征数：
样本均值： ∑==n
k k x n x 1
1
样本方差： ∑=--=n
k k x x n s 1
22
)(11 样本标准差： ∑=--=
n
k k x x n s 1
2)(11 1）正态分布（Gaussian 分布） 密度函数和分布函数 正态分布的密度函数为：
⎥⎦
⎤
⎢⎣⎡--=2
22)(exp 21
)(σμπσx x f ， （－∞ < x < ∞） μ：母体均值
σ：母体标准差
f (x )表示随机变量X 取值 为x 的频繁程度。

密度函数是
X
关于x = μ的对称函数 π
σμ21
)(=
f
母体标准差越小，则在x = μ附近取值的可能性越大。

一般，概率密度函数具有以下性质 a) 0)(>x f
b) ⎰+∞
∞
-=1)(dx x f
正态分布函数为：
dx x dx x f x F x
x
⎥⎦⎤
⎢⎣⎡--==⎰⎰∞-∞-2
22)(exp 21
)()(σμπ
σ 分布函数F (x )表示随机变量X 取值小于等于x 的概率。

随机变量X 取值大于x 的概率为1-F (x )。

2）标准正态分布 令： σμ)(-=x u 得到u 的密度函数为 ⎪⎭⎫
⎝⎛-==221ex p 21
)
()(u du
dx x f u πφ， （－∞ < x < ∞） 即：u 服从均值μ ＝ 0，标准差σ ＝ 1的正态分布。

标准正态分布函数
⎪⎭⎫ ⎝⎛-Φ=⎪⎭⎫ ⎝⎛-=
Φ⎰
∞
-σμπx u u u
221exp 21
)(
标准正态分布特性 Φ(0) = 0.5; Φ(-u ) = 1-Φ(u ) p (a < u < b ) = Φ(b )–Φ(a )
变换是一一对应，因此随机 变量X ≤ x 的概率等于随机变量 U ≤ u 的概率
F (x ) = Pr (X ≤ x ) = Pr (U ≤ u ) = Φ(u )
只需求出标准正态分布函数Φ(u )即可求出正态分布函数F (x )。

标准正态分布函数Φ(u )可查表得出
正态函数分布值
3）对数正态概率坐标纸
以lg N 作为横坐标，F (x )为纵坐标的坐标纸，如在某一应力水平下的实验数据在该坐标纸上的分布接近线性，则对数疲劳寿命服从正态概率分布。

由疲劳试验数据样本N i ，x i = lg N i ，则与x i 对应的破坏概率为 1
+=n i p f
φ(u )
X
某铝合金构件的疲劳实验数据
4) 给定疲劳寿命下的破坏概率
问题：在给定应力水平下，寿命为N 时的破坏概率（或存活率）
设对数疲劳寿命服从正态分布，则只需由样本的观测数据求出样本的均值x 和标准差s 并作为母体均值和标准差的估计值，即可求出给定破坏率（存活率）下构件的寿命或给定寿命下的破坏率。

破坏概率为p f 的对数疲劳寿命x p 为 σμp p u x += → s u x x p p += u p ：与破坏概率为p f 对应的标准正态偏量 则破坏概率p f = Pr (X ≤ x ) =Φ(u p )，存活概率为1-p f
例：在某给定应力水平下测得一组（10件）试样的疲劳寿命为：160，181，134，140，135，138，147，154，166，124千周，试确定存活率为99.9%的安全寿命。

解：将试验结果从小到大列于下表中，并计算x i 、x i 2、p f 值
1）样本的均值和标准差
1674.211
==∑=n
k k x n x
05.0)(111
2=--=
∑=n
k k x x n s 2）确定标准正态偏量u p
破坏概率：p f = 1-0.999 = 0.001 = 0.1% 由表查出：u p = -3.09 3）估计破坏率为0.1%的寿命
013.205.009.31674.2=⨯-=+=s u x x p p 10310==p
x p N （千周）
2．威布尔分布
Waloddi Weibull 于1951年提出，已得到广泛应用。

1）威布尔分布的密度函数
⎥⎥⎦
⎤
⎢⎢⎣⎡⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---⎪⎪⎭
⎫ ⎝⎛---=-b a b a a N N N N N N N N N N b
N f 00
1
000exp )(， ( N ≥ N 0 ) N 0、N a 和b 为描述威布尔分布的三个参数。

N 0：寿命下限，或最小寿 命参数。

N a ：尺度参数，即横坐标 的尺度大小，反映数据的 分散性。

b ：形状参数
b = 1，指数分布；b = 2，瑞利分布；b =3.5～4，接近正态分布。

2）威布尔分布函数
dN N N N N N N N N N N b dN N f N F b a b a N
N a N
N ⎥⎥⎦
⎤
⎢⎢⎣⎡⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---===-⎰⎰00
1
000exp )()(0
0 ⎥⎥⎦
⎤
⎢⎢⎣⎡⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛----=b a N N N N 00
exp 1 （三参数威布尔分布函数） N = N 0，F (N 0) = 0，即疲劳寿命小于N 0的破坏概率为零。

N = N a ，F (N a ) = 0.632，与其它参量无关，N a 称为特征参数。

或写为： b
a
N N N N N F ⎪⎪⎭
⎫
⎝⎛--=-00exp )(11
则： )lg(lg lg )(lg )](1[lg lg 001N N b e N N b N F a --+-=-- 变量lglg[1-F (N )]-1与lg(N -N 0)为线性关系
威布尔概率坐标纸
以lg(N-N0)作为横坐标，lglg[1-F(N)]-1为纵坐标的坐标纸，如在某一应力水平下的实验数据在该坐标纸上的分布接近线性，则服从威布尔分布。

例：试判断下表中所列的两组疲劳寿命数据是否服从威布尔分布并估计其威布尔参数
解：1）将数据按N i由小到大排序并计算F(N i)
2）估计N0，0 ≤N0≤N1，一般N0需多次取值在坐标纸上试描，取最接近线性分布的N0值。

对于A组数据，试取N0= 0，将数据试描于威布尔概率坐标
纸上。

对于B组数据，试取N0= 2⨯105，将数据试描于威布
尔概率坐标纸上，两组数据基本服从威布尔分布。

3）分布参数的确定
特征参数对应的破坏概率为63.2%，由图得到
A组：
N a-N0 = 11.5⨯105
N a = 11.5⨯105 B 组： N a -N 0 = 6.8⨯105 N a = 8.8⨯105
F (N ) = 0.9
lglg [1-F (N )] = 0，则
)
lg()lg(lg lg )9.01lg(lg 001N N N N e
b a -----=-
A 组N -N 0 = 23.5⨯105
，则b = 1.17 类似可求出B 组b = 1.73
3．线性回归分析
问题：如何用直线拟合一组数据，如何判断一组数据可以用直线拟合来描述
1）相关关系和回归方程 变量间的两类关系
确定关系：一一对应关系，一般可以用函数式表达
相关关系：对变量X ，Y 无确定值与其对应，而是某种形式的概率分
布及特征数
设随机变量X 、Y 存在相关关系，X 取值为x 时，Y 的数学期望是x 的函数
)()(x f x X Y E ==
母体的期望值一般通过样本数据求其估计值 )(~x f y =
上式即为Y 对X 的回归方程，如回归方程是线性的，则 Bx A y +=~
回归分析的目地：寻找可以描述随机变量之间关系的近似表达式
考查随机变量间相关关系的密切程度 检验回归方程的可用性
2）最小二乘法拟合回归方程
设由实验结果获得的n 对数据(x i ，y i )组成一个样本，在直角坐标系中有图示散点图，散点图 可直观反映随机变量X 、Y 是 否可用线性拟合。

回归方程中的系数由最小 二乘法确定。

令回归方程给出的估计值
i y ~与样本实际观测值i y 的偏差平方和最小
21
21
)()~
(i i n
i i n i i y Bx A y y Q -+=-=∑∑==
0=∂∂A Q ， 0=∂∂B
Q
令： ∑=i x n X 1， ∑=i y n
Y 1
X
Y
()n x x L i i xx 2
2∑∑-=
()n y y L i i yy 2
2∑∑-=
()n y x y x L i i i i xy ∑∑∑-= 可求出A 、B 值为
xx xy L L B =， X B Y A -=
3）相关系数，相关关系检验 相关系数定义为： yy
xx xy L L L r =
相关系数|r |≤1。

|r |=1完全相关，|r |=0完全不相关 完全相关 完全不相关
相关系数反映了变量X 、Y 间相关的密切程度，|r |越接近1，相关性越好。

一般，相关系数应满足 |r |≥ r α
X
Y
Y
X
r α：相关系数的起码值，与显著水平α（接受回归方程而出现错误的概率）有关。

4）用回归方程进行统计推断 回归分析的基本方法如下
例：用最小二乘法对上例中B 组数据进行回归分析，并估算N =
3⨯105时的破坏概率。

解：相应数据列于下表
1）设寿命N 服从对数正态分布，x = lg N 则： us x x +=
与回归方程Y = A +BX 对比有 x Y =， u X =， x A =， s B =
求出： 5580.4=xx L ，2012.0=yy L ，9554.0=xy L
回归系数： s L L B xx xy ===2096.0，x X B Y A ==-=8674.0 相关系数：9976.0=r N = 3⨯105时的破坏概率 %1.3)862.1(lg )(=-Φ=⎪⎭
⎫
⎝⎛-Φ=Φ=s x N u p p 2）设寿命服从威布尔分布
)lg(lg lg )(lg )](1[lg lg 001N N b e N N b N F a --+-=-- 与回归方程Y = A +BX 对比有 1)](1[lg lg --=N F Y ，)(lg 0N N X -= )lg(lg lg 0N N b e A a --=，b B = 设N 0 = 2⨯105，则
4164.0=xx L ，2342.1=yy L ，7161.0=xy L
回归系数： b L L B xx xy ===7196.1，7985.1-=-=X B Y A
则：5011084.8])lg (lg [lg ⨯=+-=-N A e N a 相关系数：9988.0=r N = 3⨯105时的破坏概率
%6.384.823ex p 1)(7196.1=⎥⎥⎦
⎤
⎢⎢⎣⎡⎪⎭⎫ ⎝⎛---=N F。