人教A版高中数学必修一 1-3-1函数的单调性 学案 精品

1.3.1函数的单调性（学案）
一、学习目标
1．理解函数的单调性及其几何意义，能运用函数图象理解和研究函数的单调性．(重点、难点)
2．会用函数单调性的定义判断(或证明)一些函数的单调性．(难点) 3．会求一些具体函数的单调区间．(重点)
二、自主学习
1.阅读教材P 27～P 28，完成下列问题．
(1)因为f (－1)<f (2)，所以函数f (x )在[－1,2]上是增函数．( ) (2)若f (x )为R 上的减函数，则f (0)>f (1)．( )
(3)若函数f (x )在区间(1,2]和(2,3)上均为增函数，则函数f (x )在区间(1,3)上为增函数．( )
【答案】 (1)× (2)√ (3)×
2.阅读教材P 29第一段，完成下列问题；函数的单调性与单调区间
如果函数y ＝f (x )在区间D 上是增函数或减函数，那么就说函数y ＝f (x )在这一区间具有(严格的)单调性，区间D 叫做y ＝f (x )的单调区间．
2.函数f (x )＝x 2－2x ＋3的单调减区间是________． 【答案】 (－∞，1)
三、合作探究
1.求下列函数的单调区间，并指出该函数在其单调区间上是增函数还是减函数．
(1)f (x )＝－1
x ； (2)f (x )＝⎩
⎪⎨⎪⎧
2x ＋1，x 5－x ，x ；
(3)f (x )＝－x 2＋2|x |＋3.
【分析】(1)根据反比例函数的单调性求解；(2)根据自变量的范围分段求出相应的函数的单
调区间；(3)做出函数的图象求其单调区间．
【自主解答】(1)函数f (x )＝－1
x
的单调区间为(－∞，0)，(0，＋∞)，
其在(－∞，0)，(0，＋∞)上都是增函数．
(2)当x ≥1时，f (x )是增函数，当x <1时，f (x )是减函数，所以f (x )的单调区间为(－
∞，1)，
[1，＋∞)，并且函数f (x )在(－∞，1)上是减函数，在[1，＋∞)上是增函数．
(3)因为f (x )＝－x 2
＋2|x |＋3＝⎩
⎪⎨⎪⎧
－x 2＋2x ＋3，x ≥0－x 2
－2x ＋3，x <0. 根据解析式可作出函数的图象如图所示，由图象可知，
函数f (x )的单调区间为(－∞，－1]，[0,1)，(－1,0)，[1，＋∞)．
f (x )在(－∞，－1]，[0,1)上是增函数，在(－1,0)，[1，＋∞)上是减函数．
总结归纳：求函数单调区间的方法
(1)利用基本初等函数的单调性，其中分段函数的单调区间要根据函数的自变量的取值范围分段求解；
(2)利用函数的图象．
2.用单调性定义证明函数f (x )＝x 2
x 2－1
在区间(0,1)上是减函数．
【分析】 利用函数单调性的定义，取值，作差，变形，定号，下结论，即可证得． 【自主解答】 设x 1，x 2∈(0,1)且x 1＜x 2，则
f (x 1)－f (x 2)＝x 21x 21－1－x 22
x 22－1＝x 22－x 2
1x 21－x 22－
＝
x 2－x 1x 2＋x 1
x 1－x 1＋x 2－x 2＋
.
∵x 1＜x 2，∴x 2－x 1＞0.∵x 1，x 2∈(0,1)，∴x 1＋1＞0，x 2＋1＞0，x 1－1＜0，x 2－1＜0，
∴f (x 1)－f (x 2)＞0，即f (x 1)＞f (x 2)，所以，函数f (x )＝x
2x 2－1
在区间(0,1)上是减函数．
归纳总结：利用定义证明函数单调性的4个步骤
四、学以致用
1．
函数f (x )＝－x 2＋2ax ＋3(a ∈R )的单调减区间为________.
【答案】 (a ，＋∞)
2．已知函数f (x )＝1a －1
x
，用单调性定义证明f (x )在(0，＋∞)上是单调递增函数.
【证明】 设任意x 2＞x 1＞0，则x 2－x 1＞0，x 1x 2＞0.
∵f (x 2)－f (x 1)＝⎝⎛⎭⎫1a －1x 2－⎝⎛⎭⎫1a －1x 1＝1x 1－1x 2＝x 2－x 1
x 1x 2>0，∴f (x 2)＞f (x 1)， ∴f (x )在(0，＋∞)上是单调递增函数．
3．已知函数y ＝f (x )是(－∞，＋∞)上的增函数，且f (2x －3)>f (5x ＋6)，求实数x 的取值范围为________．
【答案】 (－∞，－3)
五、自主小测
1．函数f (x )＝－x 2＋2x ＋3的单调减区间是( )
A ．(－∞，1)
B ．(1，＋∞)
C ．(－∞，2)
D ．(2，＋∞)
2．下列函数在区间(0，＋∞)上不是增函数的是( )
A ．y ＝2x ＋1
B ．y ＝x 2＋1
C ．y ＝3－x
D ．y ＝x 2＋2x ＋1
3．若x 1，x 2∈(－∞，0)，且x 1<x 2，函数f (x )＝－1
x
，则f (x 1)与f (x 2)的大小关系是( )
A ．f (x 1)>f (x 2)
B ．f (x 1)<f (x 2)
C ．f (x 1)＝f (x 2)
D ．以上都有可能
4．已知函数f (x )＝ax ＋2是减函数，则实数a 的取值范围是________．
5．证明：函数f (x )＝x ＋1
x
在(－1,0)上是减函数．
参考答案
1.【解析】易知函数f (x )＝－x 2＋2x ＋3是图象开口向下的二次函数，其对称轴为x ＝1，所
以其单调减区间是(1，＋∞)．
【答案】 B
2.【解析】 函数y ＝3－x 在区间(0，＋∞)上是减函数． 【答案】 C
3.【解析】 ∵函数f (x )＝－1
x
在(－∞，0)上是增函数，又∵x 1，x 2∈(－∞，0)，且x 1<x 2，
∴f (x 1)<f (x 2)． 【答案】 B
4.【解析】 易知函数f (x )＝ax ＋2是一次函数，又因为它是减函数，所以a <0. 【答案】 (－∞，0)
5.【证明】 设－1＜x 1＜x 2＜0，则有f (x 1)－f (x 2)＝⎝⎛⎭⎫x 1＋1x 1－⎝⎛⎭⎫x 2＋1x 2＝(x 1－x 2)＋⎝⎛⎭
⎫1x 1－1x 2 ＝x 1－x 2x 1x 2－x 1x 2
，由于－1＜x 1＜x 2＜0,0＜x 1x 2＜1，x 1x 2－1＜0，
又x 1x 2＞0，x 1－x 2＜0，则f (x 1)－f (x 2)＞0，即f (x 1)＞f (x 2)， 所以函数在(－1,0)上为减函数．。