2017北京市高一数学初赛试题及解答

2017年市中学生数学竞赛高中一年级初赛
试题参考解答
（2017年4月9日）
选择题答案
填空题答案
一、选择题
1．集合A ={2, 0, 1, 7}，B ={x | x 2−2∈A , x −2∉A }，则集合B 的所有元素之积为 （A ）36． （B ）54． （C ）72． （D ）108． 答：A ．
解：由x 2−2∈A ，可得x 2=4，2，3，9，即x =±2，，±3．
又因为x −2∉A ，所以x ≠2，x ≠3，故x = −2，，，−3．
因此，集合B ,
，−3}．
所以，集合B 的所有元素的乘积等于． 2．已知锐角△ABC 的顶点A 到它的垂心与外心的距离相等，则tan(
2
BAC
∠)=
（A ． （B ． （C ）1． （D
答：A ．
解：作锐角△ABC 的外接圆，这个圆的圆心O 在形内，高AD ，CE 相交于点H ，锐角△ABC 的垂心H 也在形内．
连接BO 交⊙O 于K ，BK 为O 的直径. 连接AK ，CK ．
因为AD ，CE 是△ABC 的高，∠KAB ，∠KCB 是直径BK 上的圆周角，所以∠KAB =∠KCB =90°．于是KA//CE ，KC//AD ，因此AKCH 是平行四边形．
所以KC =AH =AO =
1
2
BK ． 在直角△KCB 中，由KC =1
2
BK ，得∠BKC =60°，所以∠BAC =∠BKC =60°．
故tan(
2
BAC
∠．
3．将正奇数的集合{1, 3, 5, 7, …}从小到大按第n 组2n −1个数进行分组：{1}，{3, 5, 7}，{9, 11, 13, 15, 17}，…，数2017位于第k 组中，则k 为
（A ）31． （B ）32． （C ）33． （D ）34． 答：B.
解：数2017是数列a n = 2n −1的第1009项．设2017位于第k 组，则
1+3+5+…+(2k −1)≥1009，且1+3+5+…+(2k −3)＜1009．
即k 是不等式组22
1009
(1)1009
k k ⎧≥⎨-<⎩的正整数解，解得k =32，所以2017在第32组中． 4．如图，平面直角坐标系x -O -y 中，A , B 是函数y =
1
x
在第I 象限的图象上两点，满足∠OAB =90°且AO = AB ，则等腰直角△OAB 的面积等于
（A ）
1
2
． （B ） ． （C （D
答：D ．
解：依题意，∠OAB =90°且AO = AB ，∠AOB =∠ABO =45°．过点A 做y 轴垂线交y 轴于点C ，过点B 做y 轴平行线，交直线CA 于点D ．
易见△COA ≌△DAB ．
设点A (a ,
1a )，则点B (a +1a , 1
a
−a )． 因为点B 在函数y =
1x 的图象上，所以(a +1a )(1a −a )=1，即21
a
−a 2=1．
因此S △ABC =12OA 2=12(21a + a 2) =
1
2
= 5．已知f (x )=x 5 +a 1x 4 +a 2x 3 +a 3x 2 +a 4x +a 5，且当m =1, 2, 3, 4时，f (m )=2017m ，则
f (10)−f (−5)=
（A ）71655． （B ）75156． （C ）75615． （D ）76515． 答：C ．
解：因为 当m =1, 2, 3, 4时，f (m )=2017m ，所以1, 2, 3, 4是方程f (x )−2017x =0的四个实根，由于5次多项式f (x )−2017x 有5个根，设第5个根为p ，则
f (x )−2017x = (x −1)(x −2)(x −3)(x −4)(x −p )
即 f (x ) = (x −1)(x −2)(x −3)(x −4)(x −p )+2017x ．
所以f (10)=9×8×7×6(10−p )+2017×10，f (−5)=−6×7×8×9(5+p )−2017×5， 因此f (10)− f (−5)=15(9×8×7×6+2017)=75615．
6．已知函数2||,,
()42,.x x a f x x ax a x a ≤⎧=⎨-+>⎩若存在实数m ，使得关于x 的方程f (x )=m
有四个不同的实根，则a 的取值范围是
（A ）17a >． （B ）16a >． （C ）15a >． （D ）1
4
a >． 答：D ．
解：要使方程f (x )=m 有四个不同的实根，必须使得y =m 的图像与y =f (x )的图像有4个不同的交点．而直线与y =|x |的图像与二次函数的图像交点都是最多为两个，所以y =m 与函数y =|x |, x ≤a 的图像和y =x 2−4ax +2a , x ＞a 的图像的交点分别都是2个．
而存在实数m ，使y =m 与y =|x |, x ≤a 的图像有两个交点，需要a ＞0，此时0＜m ≤a ；
又因为y =x 2
−4ax +2a , x ＞a 顶点的纵坐标为2
42(4)4
a a ⨯-，所以，要y =m 与y =x 2−4ax +2a ,
x ＞a 的图像有两个交点，需要m ＞2
42(4)4
a a ⨯-．
因此y =m 的图像与y =f (x )的图像有4个不同的交点需要满足：
0＜m ≤a 且m ＞2
42(4)4
a a ⨯-，
解得1
4
a >．
二、填空题
1. 用[x ]表示不超过x 的最大整数，设[99]S =++++，求的值．
答：24．
解：因为12≤1, 2, 3＜22，所以1,
2，因此
1===，共3个1；
同理，22≤4, 5, 6, 7, 8＜32，因此，2=====，共5个2；
又32≤9, 10, 11, 12, 13, 14, 15＜42，因此=[15]3==
=，共7个3；
依次类推，[23]4==
===，共9个4；
[34]5=====，共11个5；
[47]6=====，共13个6；
[62]7=====，共15个7；
[79]8=====，共17个8；
[98]9==
===，共19个9.
S =(++)+(++++)+…+([99]++)
=1×3+2×5+3×7+4×9+5×11+6×13+7×15+8×17+9×19=615．
因为242=576＜615=S ＜625=252，即2425，所以，．2．确定(2017
21
log 2017
×2017
41log 2017
×2017
81log 2017
×2017
161log 2017
×2017
321log 2017
)15
的值．
答：8． 解：原式=(2017
2017log 2
×2017
2017log 4
×2017
2017log 8
×2017
2017log 16
×2017
2017log 32
)15
=(2×4×8×16×32)15
= (21×22
×23
×2
4
×25)1
5
=(21+2+3+4+5)1
5
=(215)1
5
=23=8．
3．已知△ABC 的边AB 厘米，BC CA 厘米，求△ABC 的面积． 答：9.5平方厘米．
解：注意到13=32+22，29=52+22，34=52+32，作边长为5厘米的正方形AMNP ，分
成25个1平方厘米的正方形网格，如图．根据勾股定理，可知，AB BC
厘米，CA ABC 的面积可求．
△ABC 的面积=5×5−
12×3×5−12×2×5−1
2
×2×3=9.5（平方厘米）．
4. 设函数22
(1))
()1x x f x x ++=+的最大值为M ，最小值为N ，试确定M +N 的值．
答：2．
解：由已知得()1f x =+
因为
)())(())]x x x x ++-=-- =22ln(()1())ln10x x -+--==，
所以()))x x +-=-，
因此，)x 是奇函数．
进而可判定，函数()g x =为奇函数．
则g (x )的最大值M 1和最小值N 1满足M 1+N 1= 0．
因为M =M 1+1，N = N 1+1，所以 M + N = 2．
5．设A 是数集{1, 2, …, 2017}的n 元子集，且A 中的任意两个数既不互质，又不存在整除关系，确定n 的最大值．
答：504．
解：在数集{1, 2, …, 2017}中选取子集，使得子集中任意两个数不互质，最大的子集是偶数集{2, 4, …, 2016}共1008个元素，但其中，有的元素满足整除关系，由于1010的2倍是2020，所以集合A ={1010, 1012, 1014, …, 2016}中，任意两个数既不互质，又不存在整除关系，A 中恰有504个元素．
事实上504是n 的最大值．
因为若从{1009, 1011, …, 2017}中任取一个奇数，会与A 中的与它相邻的偶数互质；若从{1, 2, 3, …, 1008}中任取一数，则它的2倍在A 中，存在整除关系．
6．如图，以长为4厘米的线段AB 的中点O 为圆心、2厘米为半径画圆，交AB 的中垂线于点E 和F . 再分别以A 、B 为圆心，4厘米为半径画圆弧交射线AE 于点C ，交射线BE 于点D . 再以E 为圆心DE 为半径画圆弧DC ，求这4条实曲线弧连接成的“卵形”AFBCDA 的面积．（圆周率用π表示，不取近似值）
答：)π−4平方厘米． 解：半圆(O , 2)的面积=
1
2
π×22=2π．
因为AO=OB =2，所以AB=AC=BD =4，AE =BE ，ED =EC ． 又∠AEB =∠CED =90°，∠EAB =∠EBA =45°，
因此，扇形BAD 的面积=扇形ACB 的面积=18π×42=2π，△AEB 的面积=1
2
×4×2=4，
直角扇形EDC 的面积=1
4
π2= 6ππ，
卵形AFBCDA 的面积 = 半圆(O , 2)的面积+扇形BAD 的面积+扇形ACB 的面积
−△AEB 的面积+直角扇形EDC 的面积
= 2π+2×2π−4+6π−4π
)π−4（平方厘米）．
7. 已知2
2()1005000x f x x x =-+，求f (1)+f (2)+…+f (100)的值．
答：101．
解：设g (x ) = x 2−100x +5000，则
g (100−x ) = (100−x )2−100(100−x )+5000=1002−200x +x 2−1002+100x +5000
= x 2−100x +5000= g (x )，
即 g (k ) = g (100−k )．
所以 f (k ) + f (100−k ) =22(100)()(100)k k g k g k -+-=22
(100)()
k k g k +-=2， 又 f (50) =2250=150100505000-⨯+， f (100)2
2100=
=2.1001001005000-⨯+ 所以， f (1)+ f (2)+…+ f (100)
= (f (1)+ f (99))+ (f (2)+ f (98))+…+ (f (49)+ f (51))+ f (50)+ f (100) = 2×49+1+2=101．
8．如图，在锐角△ABC 中，AC = BC = 10，D 是边AB 上一点，△ACD 的内切圆和△BCD 的与BD 边相切的旁切圆的半径都等于2，求AB 的长．
答：
解：线段AB 被两圆与AB 的切点与点D 分成四段，由于两圆半径相等，再根据切线长定理，可知中间两段相等，于是可将这四段线段长度分别记为a , b , b , c ，由于圆O 2的切线长CE =CG ，所以BC +a = CD +b = (AC −c +b )+b ，而AC = BC ，所以a +c = 2b ．
由等角关系可得△AO 1F ∽△O 2BE ，得12O F BE AF O E =
，即22
a
c =，由此推出ac = 4． 分别计算△BCD 和△ACD 的面积：
1
2(),2
BCD S BC CD BD ∆=
⨯+-12()2ACD S AC CD AD ∆=⨯++
所以
24ACD BCD S S AD BD AB a c b b ∆∆-=+==++=. ①
又设由C 引向AB 的高为h ，可得
1()2ACD BCD S S c a h ∆∆-=-=
由①、②两式可得
4b =
将a +c = 2b ，ac = 4代入，化简得42251000b b -+=
解得b 2=5或b 2=20，即b b ，（负根舍）．
于是，AB = a +c +2b = 4b ，或AB
若AB ，△ABC 为钝角三角形，不合题设△ABC 是锐角三角形的要求．
所以AB 的长为．。