2016年-四川省成都市锦江区中考数学一诊试题及答案

2016年-四川省成都市锦江区中考数学一诊试题及答案
D
6．关于x的一元二次方程x2﹣4x+2m=0没有实数根，则实数m的取值范围是（）
A．m＜2 B．m＞﹣2 C．m＞2 D．m＜﹣2
7．如图，在△ABC中，点D在线段BC上且
∠BAD=∠C，BD=2，CD=6，则AB的值是（）
A．12 B．8 C．4 D．3
8．将抛物线y=2（x﹣1）2﹣1，先向上平移2个单位，再向右平移1个单位后其顶点坐标是（）A．（2，1）B．（1，2）C．（1，﹣1）D．（1，1）9．如图，在⊙O中，弦AC=2，点B是圆上一点，且∠ABC=45°，则⊙O的半径是（）
A．2 B．4 C．D．
10．如图，若a＜0，b＞0，c＜0，则抛物线y=ax2+bx+c 的大致图象为（）
A．B． C．D．
二、填空题：每小题4分，共16分
11．已知，且a+b=9，那么a﹣b=．12．小明设计了一个魔术盒，当任意实数对（a，b）进入其中，会得到一个新的实数a2﹣2b+3，若将实数对（x，﹣2x）放入其中，得到一个新数为8，则x=．13．如图，在A时测得某树的影长为4米，B时又测得该树的影长为9米，若两次日照的光线互相垂直，则树的高度为米．
14．一抛物线和另一抛物线y=﹣2x2的形状和开口方向完全相同，且顶点坐标是（﹣2，1），则该抛物线的解析式为．
三、解答题：15小题6分，16小题6分，共18分15．（1）计算：（﹣1）2015+（）﹣3+（cos76°﹣）0+|﹣2sin60°|
（2）解方程：2x2+3x﹣1=0（用公式法）
16．如图，在△ABC中，AB=AC，BD=CD，CE⊥AB 于E．
（1）求证：△ABD∽△CBE；
（2）若BD=3，BE=2，求AC的值．
四、解答题：每小题8分，共16分
17．（8分）数学兴趣小组向利用所学的知识了解某广告牌的高度，已知CD=2m，经测量，得到其它数据如图所示，其中∠CAH=30°，∠DBH=60°，AB=10m，请你根据以上数据计算GH的长（要求计算结果保留根号，不取近似值）
18．（10分）已知，如图，一次函数y=x+m的图象与反比例函数y=﹣的图象交于A、B两点，A点坐标为（1，n），连接OB，过点B作BC⊥x轴，垂足为C．
（1）求△BOC的面积以及m的值；
（2）根据图象直接写出：当x取何值时，反比例函数的值大于一次函数的值．
五、解答题：每小题12分，共20分
19．（12分）成都市某校在推进新课改的过程中，开设的体育选修课有：A﹣篮球，B﹣足球，C﹣排球，D﹣羽毛球，E﹣乒乓球，学生可根据自己的爱好选修一门，学校王老师对某班全班同学的选课情况进行调查统计，制成了两幅不完整的统计图（如图）．
（1）求出该班的总人数，并补全频数分布直方图；
（2）求出“足球”在扇形的圆心角是多少度；
（3）该班班委4人中，1人选修篮球，2人选修足球，1人选修排球，李老师要从这4人中人任选2人了解他们对体育选课的看法，请你用列表或画树状图的方法，求选出的2人恰好1人选修篮球，1人选修足球的概率．
20．（12分）已知，如图，AB是⊙O的直径，点C在⊙O上，过点C的直线与AB的延长线交于点P，
∠COB=2∠PCB，AC=PC．
（1）求证：OC⊥CP；
（2）求cos∠PAC的值；
（3）点M是弧AB的中点，CM交AB于点N，若AB=6，求MN•MC的值．
B卷（50分）一、填空题：每小题4分，共20分
21．已知a，b是方程x2+2x﹣5=0的两个实数根，则a2b ﹣10+ab2的值为．
22．如图，五边形ABCDE与五边形A′B′C′D′E′是位似图形，且位似比为=，若五边形ABCDE的面积为15cm2，那么五边形A′B′C′D′E′的面积为．
23．如图，在Rt△ABC中，∠ABC=90°，点B在x 轴上，且B（﹣1，0），A点的横坐标是2，AB=3BC，
双曲线y=4m
x （m＞0）经过A点，双曲线y=﹣m
x
经过C
点，则Rt△ABC的面积为．
24．如图，AB是⊙O上的直径，弦CD⊥AB于点G，点F是CD上的一点，且满足=，连接AF并延长交⊙O 于点E，连接AD、DE，若CF=2，AF=3，给出下列结论：①△ADF∽△AED；②GF=2；③tan∠E=；
④S △ADE=7．其中正确的是（写出所有正确结论的序号）
25．已知而成函数y=x2﹣2（k+1）x+k2﹣2k﹣3与x轴有两个交点，当k取最小整数时的二次函数的图象在x 轴下方的部分沿x轴翻折到x轴上方，图象的其余部分不变，得到一个新图象，则新图象与直线y=x+m有三个不同公共点时m的值是．
二、解答题：8分
26．（8分）人民商场销售某保温水瓶，其成本为每件80元，9月份的销售额为2万元，10月份商场对这种保温瓶的售价打9折销售，结果销售量增加了50件，销售额增加了0.7万元（销售额=销售量×售价）．
（1）求该保温水瓶9月份的销售单价；
（2）11月“感恩节”商场在9月份售价的基础上打折促销（但不亏本），销售的数量y（件）与打折的折数x 满足一次函数y=﹣50x+600，试求商场打几折时利润最大，最大利润是多少？
（3）在（2）的条件下，商场发现打n折销售时，11月份的利润与按9月份销售的利润相同，求n的值．
三、解答题：10分
27．（10分）如图，已知线段AB，P是线段AB上任意一点（不与点A、B重合），分别以AP、BP为边，在AB的同侧作等边△APD和△BPC，连接BD与PC交于点点E，连接CD．
（1）当BC⊥CD时，试求∠DBC的正切值；
（2）若CD2=DE•DB，求证：DC=BE；
（3）记四边形ABCD的面积为S，当P在线段AB上运动时，S与BD2是否成正比例？若成正比例，试求出比例系数；若不成正比例，试说明理由．
四、解答题：12分
28．（12分）已知如图1，二次函数y=ax 2+4ax+的图象交x轴于A、B两点（A在B的左侧），过A点的直线y=kx+3k（k）交该二次函数的图象于另一点C（x 1，y1），交y轴于M．
（1）直接写出A点坐标，并求该二次函数的解析式；（2）过点B作BD⊥AC交AC于D，若M（0，3）且点Q是线段DC上的一个动点，求出当△DBQ与
△AOM相似时点Q的坐标；
（3）设P（﹣1，﹣2），图2中连CP交二次函数的图象于另一点E（x2，y2），连AE交y轴于N，请你探究OM•ON的值的变化情况，若变化，求其变化范围；若不变，求其值．
1．B．2．D．3．C．4．B．5．B．6．C．7．C．8．A．9．D．10．B．
11．﹣1．12．﹣5或1．13．6．14．y=﹣2（x+2）2+1．15．（1）计算：（﹣1）2015+（）﹣3+（cos76°﹣）0+|﹣2sin60°|
（2）解方程：2x2+3x﹣1=0（用公式法）
（1）解：原式=﹣1+8+1+0=8．
（2）解：2x2+3x﹣1=0，
b2﹣4ac=32﹣4×2×（﹣1）=9+8=17，
x=，或x=．
16．如图，在△ABC中，AB=AC，BD=CD，CE⊥AB 于E．
（1）求证：△ABD∽△CBE；
（2）若BD=3，BE=2，求AC的值．
（1）证明：∵AB=AC，BD=CD，
∴AD⊥BC，
∵CE⊥AB，
∴∠ADB=∠CEB=90°，
∵∠B是公共角，
∴△ABD∽△CBE；
（2）解：∵BD=3，
∴BC=2BD=6，
∵△ABD∽△CBE，
∴，
即，
解得：AB=9，
∴AC=AB=9．
17．数学兴趣小组向利用所学的知识了解某广告牌的高度，已知CD=2m，经测量，得到其它数据如图所示，其中∠CAH=30°，∠DBH=60°，AB=10m，请你根据以上数据计算GH的长（要求计算结果保留根号，不取近似值）
解：根据已知画图，过点D作DE⊥AH于点E，
设DE=x，则CE=x+2，
在Rt△AEC和Rt△BED中，有tan30°=，
tan60°=，
∴AE=（x+2），BE=x，
∴（x+2）﹣x=10，
∴x=5﹣3，
∴GH=CD+DE=2+5﹣3=（5﹣1）（m）
答：GH的长为=（5﹣1）m．
18．已知，如图，一次函数y=x+m的图象与反比例函数y=﹣的图象交于A、B两点，A点坐标为（1，n），连接OB，过点B作BC⊥x轴，垂足为C．
（1）求△BOC的面积以及m的值；
（2）根据图象直接写出：当x取何值时，反比例函数的值大于一次函数的值．
解：（1）∵反比例函数y=﹣，
∴△BOC的面积=|k|=×=；
把A（1，n）代入y=﹣得n=﹣，
∴A点坐标为（1，﹣），
把A（1，﹣）代入y=x+m得1+m=﹣，解得m=﹣；
（2）解方程组得或，
∴B点坐标为（，﹣1），
∴当x＜0或1＜x＜时，反比例函数的值大于一次函数的值．
19．成都市某校在推进新课改的过程中，开设的体育选修课有：A﹣篮球，B﹣足球，C﹣排球，D﹣羽毛球，E ﹣乒乓球，学生可根据自己的爱好选修一门，学校王老师对某班全班同学的选课情况进行调查统计，制成了两幅不完整的统计图（如图）．
（1）求出该班的总人数，并补全频数分布直方图；（2）求出“足球”在扇形的圆心角是多少度；
（3）该班班委4人中，1人选修篮球，2人选修足球，1人选修排球，李老师要从这4人中人任选2人了解他们对体育选课的看法，请你用列表或画树状图的方法，求选出的2人恰好1人选修篮球，1人选修足球的概率．解：（1）∵C有12人，占24%，
∴该班的总人数有：12÷24%=50（人），
∴E有：50×10%=5（人），
A有50﹣7﹣12﹣9﹣5=17（人），
补全频数分布直方图为：
（2）“足球”在扇形的圆心角是：360°×=50.4°；（3）画树状图得：
∵共有12种等可能的结果，选出的2人恰好1人选修篮球，1人选修足球的有4种情况，
∴选出的2人恰好1人选修篮球，1人选修足球的概率为：=．
20．已知，如图，AB是⊙O的直径，点C在⊙O上，过点C的直线与AB的延长线交于点P，
∠COB=2∠PCB，AC=PC．
（1）求证：OC⊥CP；
（2）求cos∠PAC的值；
（3）点M是弧AB的中点，CM交AB于点N，若AB=6，求MN•MC的值．
（1）证明：∵OA=OC，
∴∠A=∠ACO．
又∵∠COB=2∠A，∠COB=2∠PCB，
∴∠A=∠ACO=∠PCB．
又∵AB是⊙O的直径，
∴∠ACO+∠OCB=90°．
∴∠PCB+∠OCB=90°．
即OC⊥CP；
（2）证明：∵AC=PC，
∴∠A=∠P，
∴∠A=∠ACO=∠PCB=∠P．
又∵∠COB=∠A+∠ACO，∠CBO=∠P+∠PCB，
∴∠COB=∠CBO，
∴BC=OC，
∴BC=AB，
∴∠A=30°，
∴cos∠PAC=；
（3）解：连接MA，MB，
∵点M是的中点，
∴=，
∴∠ACM=∠BCM．
∵∠ACM=∠ABM，
∴∠BCM=∠ABM．
∵∠BMN=∠BMC，
∴△MBN∽△MCB．
∴．
∴BM2=MN•MC．
又∵AB是⊙O的直径，=，∴∠AMB=90°，AM=BM．∵AB=6，
∴BM=3．
∴MN•MC=BM2=18．
一、填空题：每小题4分，共20分
21．0．22．cm 2．23．．24．（4分）（2016•锦江区模拟）如图，AB是⊙O上的直径，弦CD⊥AB于点G，点F是CD上的一点，且满足=，连接AF并延长交⊙O 于点E，连接AD、DE，若CF=2，AF=3，给出下列结论：①△ADF∽△AED；②GF=2；③tan∠E=；
④S △ADE=7．其中正确的是①②④（写出所有正确结论的序号）
解：①∵AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB，
∴=，DG=CG，
∴∠ADF=∠AED，
∵∠FAD=∠DAE（公共角），
∴△ADF∽△AED；故①正确；
②∵=，CF=2，
∴FD=6，
∴CD=DF+CF=8，
∴CG=DG=4，
∴GF=CG﹣CF=2；故②正确；
③∵AF=3，FG=2，
∴AG==，
∴在Rt△AGD中，tan∠ADG==，
∴tan∠E=；故③错误；
④∵DF=DG+FG=6，AD==，
∴S △ADF=DF•AG=×6×=3，
∵△ADF∽△AED，
∴=（）2，
∴=（）2，
∴S △AED=7，故④正确．
故答案为：①②④．
25．已知而成函数y=x2﹣2（k+1）x+k2﹣2k﹣3与x轴有两个交点，当k取最小整数时的二次函数的图象在x 轴下方的部分沿x轴翻折到x轴上方，图象的其余部分不变，得到一个新图象，则新图象与直线y=x+m有三个不同公共点时m的值是1或．
解：∵函数y=x2﹣2（k+1）x+k2﹣2k﹣3与x轴有两个交点，
∴△=[﹣2（k+1）]2﹣4×1×（k2﹣2k﹣3）＞0，
解得k＞﹣1，
当k取最小整数时，k=0，
∴抛物线为y=x2﹣2x﹣3，
将该二次函数图象在x轴下方的部分沿x轴翻折到x轴上方，图象的其余部分不变，得到一个新图象，所以新图象的解析式为y1=（x﹣1）2﹣4（x≤﹣1或x≥3）y1=﹣（x﹣1）2+4（﹣1≤x≤3）．
①因为y2=x+m的k＞0，所以它的图象从左到右是上升的，当它与新图象有3个交点时它一定过（﹣1，0）把（﹣1，0）代入y2=x+m得﹣1+m=0 所以m=1，
②y1=﹣（x﹣1）2+4（﹣1≤x≤3）与y=x+m相切时，图象有三个交点，
﹣（x﹣1）2+4=x+m，
△=1﹣4（m﹣3）=0，
解得m=．
故答案为：1或．
26．人民商场销售某保温水瓶，其成本为每件80元，9月份的销售额为2万元，10月份商场对这种保温瓶的售
价打9折销售，结果销售量增加了50件，销售额增加了0.7万元（销售额=销售量×售价）．
（1）求该保温水瓶9月份的销售单价；
（2）11月“感恩节”商场在9月份售价的基础上打折促销（但不亏本），销售的数量y（件）与打折的折数x 满足一次函数y=﹣50x+600，试求商场打几折时利润最大，最大利润是多少？
（3）在（2）的条件下，商场发现打n折销售时，11月份的利润与按9月份销售的利润相同，求n的值．解：（1）设9月份的销售单价为x元，销售的保温瓶y 件，
解得，
即该保温水瓶9月份的销售单价是200元；
（2）设销售的利润为w，由题意可得，
w=（200×﹣80）（﹣50x+600）=﹣1000x 2+16000x﹣48000=﹣1000（x﹣8）2+16000，
∴x=8时，w取得最大值，此时w=16000，
即商场打8折时利润最大，最大利润是16000元；（3）由（1）和（2）及题意可得，
（200﹣80）×100=（200×﹣80）（﹣50n+600）
解得，n=6或n=10
即n的值是6或10．
27．如图，已知线段AB，P是线段AB上任意一点（不与点A、B重合），分别以AP、BP为边，在AB的同侧作等边△APD和△BPC，连接BD与PC交于点点E，连接CD．
（1）当BC⊥CD时，试求∠DBC的正切值；
（2）若CD2=DE•DB，求证：DC=BE；
（3）记四边形ABCD的面积为S，当P在线段AB上运动时，S与BD2是否成正比例？若成正比例，试求出比例系数；若不成正比例，试说明理由．
解：（1）∵等边△APD和△BPC，
∴PC=BC，∠CPD=60°，∠DPA=∠CBP=60°，∴PD∥BC，
∴∠DPC=∠PCB=60°，
∵BC⊥CD，
∴∠DCB=∠PDC=90°，
∴∠DCP=30°，
∴tan∠DBC=；
（2）由已知，CD2=DE•DB，
即，又∵∠CDE=∠CDE，
∴△DCE∽△DBC，
∴，
又∵CP=BC，，
∵PD∥BC，
∴，
∴，
∴CD=BE；
（3）设AP=a，PB=b，
∴，
因为AD∥PC，PD∥BC，
∴，，
∴，
∴，
∴，
作DH⊥AB，
则，
∴BD 2=DH2+BH2=（a）2+（a+b）2=a2+ab+b2，
∴，
∴S与BD2成正比例，比例系数为．
28．已知如图1，二次函数y=ax 2+4ax+的图象交x轴于A、B两点（A在B的左侧），过A点的直线y=kx+3k （k）交该二次函数的图象于另一点C（x 1，y1），交y 轴于M．
（1）直接写出A点坐标，并求该二次函数的解析式；（2）过点B作BD⊥AC交AC于D，若M（0，3）且点Q是线段DC上的一个动点，求出当△DBQ与
△AOM相似时点Q的坐标；
（3）设P（﹣1，﹣2），图2中连CP交二次函数的图象于另一点E（x2，y2），连AE交y轴于N，请你探究OM•ON的值的变化情况，若变化，求其变化范围；若不变，求其值．
解：（1）∵直线y=kx+3k（k＞）过点A，
∴y=0时，0=kx+3k，
解得：x=﹣3，
∴A（﹣3，0），
把点A的坐标代入y=ax 2+4ax+，得
9a﹣12a+=0，解得：a=，
抛物线的解析式为y=x 2+x+；
（2）如图1，，
当y=0时，x 2+x+=0，解得x=﹣3，x=﹣1，即A（﹣3，0），B（﹣1，0）．
设AM的解析式为y=kx+b，将A、M点的坐标代入，得
AM的解析式为y=x+3．
①当∠DQB=∠OMA时，QB∥OM，Q点的横坐标等于B点的横坐标﹣1，
当x=﹣1时，y=2，即Q（﹣1，2）；
②当∠DQB=∠A时，设Q点的坐标为（m，m+3）．AB=BQ，即（m+1）2+（m+3）2=4，化简得m2+5m+6=0．解得m=﹣2，m=﹣3（不符合题意，舍），
当m=﹣2时，m+3=，即Q（﹣2，），
综上所述：当△DBQ与△AOM相似时点Q的坐标（﹣1，2），（﹣2，）；
（3）直线PC解析式为y=ax+a﹣2，与抛物线y=x 2+x+联立消去y得：x2﹣4（a﹣1）x+11﹣4a=0，
∴x1+x2=4a﹣4，x1x2=11﹣4a，
∵=•
=
=（x 1+1）（x2+1）
=（11﹣4a+4a﹣4+1）
=，
∴OM•ON=OA 2=．。