四川省成都外国语学校2021-2022学年高二上学期12月月考数学(文)试卷 Word版含答案

成都外国语学校2021-2022学年上期高2022级十二月月考
高二数学（文科）试卷
第Ⅰ卷（选择题
共60分）
一、选择题：本大题共12小题，每小题5分共60分，在每小题所给出的四个选项中，只有一项是符合题目
要求的，并将正确选项的序号填涂在答题卷。

1．下列有关命题的说法错误的是（ ）
A ．命题“若2320x x -+=则1x =”的逆否命题为：“若1x ≠，则2320x x -+≠”
B ．“1x =”是“2320x x -+=”的充分不必要条件
C ．“若0a ≠或0b ≠，则0ab ≠”的否命题为:若0a =且0b =，则0ab =
D ．若p q ∧为假命题，则p 、q 均为假命题
2.用反证法证明命题“若整系数一元二次方程
20(0)ax bx c a ++=≠有有理根，那么a ，b ，c 中至少有一个是偶数”时，下列假设中正确的是（ ）
A ．假设a ，b ，c 不都是偶数
B ．假设a ，b ，c 至多有两个是偶数
C ．假设a ，b ，c 至多有一个是偶数
D ．假设a ，b ，c 都不是偶数 3．阅读如下程序框图，假如输出4=i ，那么空白的推断框中应填入的条件是（）
A ．8<s
B ．9<s
C ．10<s
D ．11<s
4．如图是甲、乙汽车店7个月销售汽车数量（单位：台）的茎叶图，若x 是与的等差中项,y 是2和8的等比中项，设甲店销售汽车的众数是a ，乙店
销售汽车中位数为b ，则a ＋b 的值为（ ）
A. 168
B. 169
C. 170
D. 171
5.阅读下面的程序框图，运行相应的程序，若输入N 的值为24，则输出N 的
值为
（A ）0 （B ）1 （C ）2 （D ）3
6. 秦九韶是我国南宋时期的数学家，普州（现四川省安岳县）人，他在所著的《数书九章》中提出的多项式求值的秦九韶算法，至今仍是比较先进的算法.如图所示的程序框图给出了利用秦九韶算法求某多项式值的一个实例，若输入n ，x 的值分别为3，3，则输出v 的值为（ ）
（A ）11（B ）48 （C ）25 （D ）18
第6题图
7．是抛物线的焦点，以为端点的射线与抛物线相交于，与抛物线的准线相交于，若，则
A. 49
B. 23
C. 2
D. 1
8．为了解某校高三同学的视力状况，随机地抽查了该校100名高三同学的视力状况，得到频率分布直方图如下图，由于不慎将部分数据丢失，但知道前4组的频数成等比数列，后6组的频数成等差数列，设最大频率为a ，视力在4.6到5.0之间的同学数为b ，则a ，b 的值分别为 ( )
A 0.27；78
B 0.27；83
C 2.7；78
D 2.7,；3
9．已知双曲线()22
2210,0x y a b a b
-=>>的左右焦点分别为1F ，2F ，以12F F 为直径的圆与双曲线渐近线
的一个交点为()1,2，则此双曲线方程为（ ）
A ．2214x y -=
B ．2212y x -=
C ．2214y x -=
D ．2212
x y -=8.
10.已知抛物线方程为24y x =，直线l 的方程为40x y -+=，在抛物线上有一动点P 到y 轴的距离为1d ，
P 到直线l 的距离为2d ，则12d d +的最小值为（ ）
A ．
5222+B ．5212+C ．52
22
- D ．5212- 11.我国某颗人造地球卫星的运行轨迹是以地心F 为一个焦点的椭圆，若它的近地点A 距离地面m 公里，远地
点B 距离地面M 公里，地球半径为R 公里，则该卫星轨迹的离心率e 是（ ）
M m M m M m M m 2R A B C D M m M m 2R M m M m
－－＋＋＋（）　（） （） （）＋＋＋－－ 12.已知平面//α平面β，直线α⊂l 点l P ∈，平面βα,间的距离为4，则在β内到点P 的距离为5且到
直线l 的距离是29
的点M 的轨迹是 （ ）
A .一个圆
B 、两条平行直线
C 、四个点
D 、两个点
第Ⅱ卷（非选择题 共90分）
二、填空题(本大题共4个小题，每小题5分，共20分)
13．高二某班有同学56人，现将全部同学随机编号，用系统抽样的方法，抽取一个容量为4的样本，已知5号、33号、47号同学在样本中，则样本中还有一个同学的编号为__________．
14．已知)2,1(A ,)2,1(-B ,动点P 满足BP AP ⊥,若双曲线)0,0(122
22>>=-b a b
y a x 的渐近线与动点P 的轨
迹没有公共点，则双曲线离心率的取值范围是.
15. 设样本数据
1210
,,,x x x 的均值和方差分别为1和4，若
i i y x a
=+（a 为非零常数，
1,2,
,10i =），则12,
10
,y y y 的方差为
16. 已知圆2
2
:9O x y +=上到直线:l (4)0++=a x by （,a b 是实数）的距离为1的点有且仅有2个，则直线l 斜率的取值范围是 ．
三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤
17.（本小题满分10分）已知:
p 231
1≤--
x ,
:q ()00122
2>≤-+-m m x x ,若p ⌝是q ⌝的必要不充分条件，求实数m 的取值范围。

18.（本小题满分12分） 某市统计局就2021年毕业高校生的月收入状况调查了10000人，并依据所得数据画出样本的频率分布直方图所示，每个分组包括左端点，不包括右端点，如第一组表示[2000,2500). （1）求毕业高校生月收入在[4000,4500)的频率； （2）依据频率分布直方图算出样本数据的中位数； （3）为了分析高校生的收入与所学专业、性别等方面的
关系，还要再从这10000人中依工资收入按分层抽样方法抽出100人作进一步分析，则月收入在[3500,4000)的这段应抽取多少人？
19.（本小题满分12分）已知点(2,0)P 及圆C ：2
2
6440x y x y +-++=.
（1）若直线l 过点P 且与圆心C 的距离为1，求直线l 的方程；
（2）设过点P 的直线1l 与圆C 交于M 、N 两点，当4MN =时，求以线段MN 为直径的圆Q 的方程；
20.（本小题满分12分）如图四边形ABCD 为菱形，G 为AC 与BD 交点，BE ABCD ⊥平面， （1）证明：平面AEC ⊥平面BED ；
（2）若120ABC ∠=，,AE EC ⊥三棱锥E ACD -的体积
为6
3，求该三棱锥的侧面积.
21.(本小题满分12分)已知直线1-=kx y 与双曲线
122=-y x 的左支交于A,B 两点，另有一条直线l 经过)0,2(-P 及线段AB 的中点Q ，
（1）求k 的取值范围；
（2）求直线PQ 的斜率的取值范围.
22．（本小题满分12分）已知动圆P 经过点()
1,0N ，并且与圆
()2
2:116
M x y ++=相切.
（1）求点P 的轨迹C 的方程； （2）设
()
,0G m 为轨迹C 内的一个动点，过点G 且斜率为k 的直线l 交轨迹C 于A B 、两点，当k 为何值时，22
||GA GB ω=+是与m 无关的定值，并求出该值定值.
成都外国语学校高2022级十二月月考
高二数学（文科）答案
留意事项：
1、 本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分
2、 本堂考试时间120分钟，满分150分
3、 答题前，请考生务必先将自己的姓名、考号填写在答题卷上，并用2B 铅笔填涂
4、 考试结束后，请考生将答题卷交回
第Ⅰ卷（选择题 共60分）
一、选择题：本大题共12小题，每小题5分共60分，在每小题所给出的四个选项中，只有一项是符合题目要
求的，并将正确选项的序号填涂在答题卷。

1．下列有关命题的说法错误的是（ ）D
A ．命题“若2320x x -+=则1x =”的逆否命题为：“若1x ≠，则2320x x -+≠”
B ．“1x =”是“2320x x -+=”的充分不必要条件
C ．“若0a ≠或0b ≠，则0ab ≠”的否命题为:若0a =且0b =，则0ab =
D ．若p q ∧为假命题，则p 、q 均为假命题
2.用反证法证明命题“若整系数一元二次方程
20(0)ax bx c a ++=≠有有理根，那么a ，b ，c 中至少有一个是偶数”时，下列假设中正确的是（ ）D
A ．假设a ，b ，c 不都是偶数
B ．假设a ，b ，c 至多有两个是偶数
C ．假设a ，b ，c 至多有一个是偶数
D ．假设a ，b ，c 都不是偶数 3．阅读如下程序框图，假如输出4=i ，那么空白的推断框中应填入的条件是（ ）B
B ．8<s B ．9<s
C ．10<s
D ．11<s 4．如图是甲、乙汽车店7个月销售汽车数量（单位：台）的 茎 叶图，若x 是与的等差中项,y 是2和8的等比中项，设甲店销售汽车的众数是a ，乙店销售汽车
中位数为b ，则a ＋b 的值为（ ）B
A. 168
B. 169
C. 170
D. 171
5. 阅读下面的程序框图，运行相应的程序，若输入N 的值为24，则输出N 的值为C
（A ）0 （B ）1 （C ）2 （D ）3
6. 秦九韶是我国南宋时期的数学家，普州（现四川省安岳县）人，他在所著的《数书九章》中提出的多项式求值的秦九韶算法，至今仍是比较先进的算法.如图所示的程序框图给出了利用秦九韶算法求某多项式值的一个实例，若输入n ，x 的值分别为3，3，则输出v 的值为（ ）B
（A ）11 （B ）48 （C ）25 （D ）18
第6题图
7．是抛物线的焦点，以为端点的射线与抛物线相交于，与抛物线的准线相交于，若，则
（ ）D
A. 49
B. 23
C. 2
D. 1
8．为了解某校高三同学的视力状况，随机地抽查了该校100名高三同学的视力状况，得到频率分布直方图如下图，由于不慎将部分数据丢失，但知道前4组的频数成等比数列，后6组的频数成等差数列，设最大频率为a ，视力在4.6到5.0之间的同学数为b ，则a ，b 的值分别为 ( ) A
A 0.27；78
B 0.27；83
C 2.7；78
D 2.7,；3
9．已知双曲线()22
2210,0x y a b a b -=>>的左右焦点分别为1F ，2F ，以12F F 为直径的圆与双曲线渐近线
的一个交点为
()1,2，则此双曲线方程为（
） C
A ．2214x y -=
B ．2212y x -=
C ．22
14y x -= D ．2212
x y -=8.
10.已知抛物线方程为24y x =，直线l 的方程为40x y -+=，在抛物线上有一动点P 到y 轴的距离为1d ，
P 到直线l 的距离为2d ，则12d d +的最小值为（ ）D
A ．
5222+ B ．5212+ C ．52
22
- D ．5212- 11. 我国某颗人造地球卫星的运行轨迹是以地心F 为一个焦点的椭圆，若它的近地点A 距离地面m 公里，远地点B 距离地面M 公里，地球半径为R 公里，则该卫星轨迹的离心率e 是（ B ） ）
M m M m M m M m 2R
A B C D M m M m 2R M m M m
－－＋＋＋（）　（） （） （）＋＋＋－－
12.已知平面//α平面β，直线α⊂l 点l P ∈，平面βα,间的距离为4，则在β内到点P 的距离为5且到
直线l 的距离是29
的点M 的轨迹是 C
A .一个圆
B 、两条平行直线
C 、四个点
D 、两个点
解：M 在以P 为顶点，5为母线长的圆锥底面（底面在平面β上）上，β内和直线l 的距离是29
的点是两条
平行线，这两条平行线与圆锥底面产生4个交点
第Ⅱ卷（非选择题 共90分）
三、填空题(本大题共4个小题，每小题5分，共20分)
13．高二某班有同学56人，现将全部同学随机编号，用系统抽样的方法，抽取一个容量为4的样本，已知5号、33号、47号同学在样本中，则样本中还有一个同学的编号为_____19
14．已知)2,1(A ,)2,1(-B ,动点P 满足BP AP ⊥,若双曲线)0,0(122
22>>=-b a b
y a x 的渐近线与动点P 的轨
迹没有公共点，则双曲线离心率的取值范围是 .（1,2） 15. 设样本数据
1210
,,,x x x 的均值和方差分别为1和4，若
i i y x a
=+（a 为非零常数， 1,2,,10i =），
则
12,10
,y y y 的方差为（ ）4
解：均值
1210
10y y y y ++⋅⋅⋅+=
12101210()()()()1010101101010x a x a x a x x x a a
a
++++⋅⋅⋅++++⋅⋅⋅+++=
===+
方差222
1210()()()10y y y y y y -+-+⋅⋅⋅+-=
222
1210[()(1)][()(1)][()(1)]10x a a x a a x a a +-+++-++⋅⋅⋅++-+=
222
1210(1)(1)(1)40410
10x x x -+-+
+-=
==
16．已知圆
22
:9O x y +=上到直线:l (4)0++=a x by （,a b 是实数）的距离为1的点有且仅有2个，则直线l 斜率的取值范围是 ．
33
,,33⎛⎫⎛⎫-∞-⋃+∞ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ 三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤
17.（本小题满分10分） 某市统计局就2021年毕业高校生的月收入状况调查了10000人，并依据所得数据画出样本的频率分布直方图所示，每个分组包括左端点，不包括右端点，如第一组表示[2000,2500).
（1）求毕业高校生月收入在[4000,4500)的频率； （2）依据频率分布直方图算出样本数据的中位数；
（3）为了分析高校生的收入与所学专业、性别等方面的关系，还要再从这10000人中依工资收入按分层抽样方法抽出100人作进一步分析，则月收入在[3500,4000)的这段应抽取多少人？ 解：（1）月收入在[4000,4500)的频率为0.15
（2）频率分布直方图知，中位数在[3000,3500)，设中位数为m ，
则0.00025000.00045000.0005(3000)0.5x ⨯+⨯+⨯-=，解得3400x =，
∴依据频率分布直方图估量样本数据的中位数为3400；
（3）居民月收入在[3500,4000)的频率为0.0005(40003500)0.25⨯-=， 所以10000人中月收入在[3500,4000)的人数为0.25100002500⨯=（人）， 再从10000人用分层抽样方法抽出100人，
则月收入在[3500,4000)的这段应抽取
2500
1002510000⨯
=人.
18.（本小题满分12分）已知:
p 2311≤--
x ,:q ()00122
2>≤-+-m m x x ,若p ⌝是q ⌝
的必要不充分条件，求实数m 的取值范围。

解：由p ：
231
1≤--
x .102≤≤-⇒x
()().
92
110
1.,,
11:,210:.110122
≥⎩⎨
⎧-≤-≥+⌝⇒⌝⌝⌝-<+>⌝-<>⌝+≤≤-〉≤-m m m q p q p m x m x p x x p m x m m m x q 所以故只需满足所以的必要不充分条件是因为或或所以所以可得由
19.（本小题满分12分）已知点(2,0)P 及圆C ：2
2
6440x y x y +-++=. （1）若直线l 过点P 且与圆心C 的距离为1，求直线l 的方程；
（2）设过点P 的直线1l 与圆C 交于M 、N 两点，当4MN =时，求以线段MN 为直径的圆Q 的方程；
【解析】①设直线l 的斜率为k （k 存在）， 则方程为0(2)y k x -=-. 即02=--k y kx 又圆C 的圆心为(3,2)-，半径3r =， 由
232211
k k k +-=+， 解得3
4
k =-.
所以直线方程为3
(2)4
y x =-
-， 即 3460x y +-=. 当l 的斜率不存在时，l 的方程为2x =，阅历证2x =也满足条件
20.（本小题满分12分）如图四边形ABCD 为菱形，G 为AC 与BD 交点，BE ABCD ⊥平面，
（I ）证明：平面AEC ⊥平面BED ；
（II ）若120ABC ∠=，,AE EC ⊥ 三棱锥E ACD -的体积为6
3，求该三棱锥的侧面积.
解：（I ）由于四边形ABCD 为菱形，所以AC ⊥BD ，
由于BE ⊥平面ABCD ，所以AC ⊥BE ，故AC ⊥平面BED . 又AC ⊥平面AEC ，所以平面AEC ⊥平面BED
（II ）设AB =x ，在菱形ABCD 中，由120ABC ∠=，可得AG =GC =32x ,GB =GD =2x . 由于AE ⊥EC ，所以在三角形AEC 中，可得EG =3
2x .
由BE ⊥平面ABCD ，知三角形EBG 为直角三角形，可得BE =22x
.
从而可得AE =EC =ED =6.所以EAC 的面积为3，EAD 的面积与ECD 的面积均为5. 故三棱锥E-ACD 的侧面积为3+25.
21.(本小题满分12分)已知直线1-=kx y 与双曲线
122=-y x 的左支交于A,B 两点，另有一条直线l 经过)0,2(-P 及线段AB 的中点Q ，
（1）求k 的取值范围；
（2）求直线PQ 的斜率的取值范围.
解：（1）设点),(),,(2211y x B y x A 由⎩⎨⎧=--=11
22y x kx y 消去y 得
022)1(22=-+-kx x k 则⎪⎪
⎪
⎩⎪
⎪
⎪⎨⎧
>--=<--=+>-+=∆0120120)1(842212
2122k x x k k x x k k 解得12-<<-k
（2）设),(00y x Q 则
122210-=+=k k x x x ，11
1200-=-=k kx y 221
21011
2
22-+=+---=k k k k k k PQ
由（1）可知12-<<-k
222212
-<-+<-k k
则22
222112
2122
+>-+-<-+k k k k 或 故直线PQ 的斜率的取值范围.),22
2(
)1,(+∞+--∞
22．（本小题满分12分）已知动圆P 经过点()
1,0N ，并且与圆
()2
2:116
M x y ++=相切.
（1）求点P 的轨迹C 的方程； （2）设
()
,0G m 为轨迹C 内的一个动点，过点G 且斜率为k 的直线l 交轨迹C 于A B 、两点，当k 为何值时， 22
||GA GB ω=+是与m 无关的定值，并求出该值定值.
解：（1）由题设得：
4
PM PN +=，所以点P 的轨迹C 是以M N 、为焦点的椭圆，
24,22,a c b ==∴==∴椭圆方程为22
1
43x y +=.
（2）设
()()()1122,,,,,0(22)
A x y
B x y G m m -<<，直线
()
:l y k x m =-，
由()
22{
143y k x m x y =-+=得()222223484120k x k mx k m +-+-=， 2221212228412
,4343mk k m x x x x k k -+=⋅=
++
()()()12121226243mk
y y k x m k x m k x x km k ∴+=-+-=+-=
+.
()()()()
222
2
2
2
2
1212121223443
k m y y k
x m x m k
x x k m x x k m k -⋅=--=-++=
+.
()()2
2
2222
1122||GA GB x m y x m y ∴+=-++-+
()()()2
2
21212121212
2222x x x x m x x m y y y y =+--++++-
(
)
()()
(
)
222
2
2
26432431
43
m k k k k --++=++
22
||GA GB ω=+的值与m 无关， 2
430k ∴-=，
解得
2k =±
.此时22
||7GA GB ω=+=.。