四川省绵阳市三台县城南中学2020年高三数学理月考试题含解析

四川省绵阳市三台县城南中学2020年高三数学理月考试题含解析
一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。

在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的
1. 函数的零点个数是
A．3 B．2 C．1 D．0
参考答案：
C
2. 二项式的展开式中的常数项是
A.第10项
B.第9项
C.第8项
D.第7项参考答案：
B
3. 若等式对于一切实数都成立，
则( )
A． B． C． D．0
参考答案：
B
解法一：∵，
∴（C为常数），
取得，
再取得，即得，∴，故选B．
解法二：∵，
∴
∴，故选B．
4. （文）两个顶点在抛物线上，另一个顶点是此抛物线焦点，这样的正三角形有（）
A．4个 B．3个 C．2个 D．1个
参考答案：
C
5. 不等式的解集为（）
A． B．
C． D．
参考答案：
D 解析：，得
6. 把函数f（x）=sin（2x+?）的图象向左平移个单位，得到函数g（x）的图象，若g（x）的图象关于对称，则=( )
A．B．C．D．
参考答案：
C
【考点】函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换．
【专题】三角函数的图像与性质．
【分析】由条件根据y=Asin（ωx+φ）的图象变换规律，可得g（x）=sin（2x++?），再利用正弦函数的图象的对称性，求得?的值，可得的值．
【解答】解：把函数f（x）=sin（2x+?）的图象向左平移个单位，
得到函数g（x）=sin[2（x+）+?]=sin（2x++?）的图象．
由g（x）的图象关于对称，可得sin（?﹣）=0，?﹣=kπ，k∈z．
结合?∈（﹣，）可得?=，f（x）=sin（2x+）
则=sin（π+）=﹣sin=﹣，
故选：C．
【点评】本题主要考查y=Asin（ωx+φ）的图象变换规律，正弦函数、余弦函数的图象的对称性，属于基础题．
7. 读程序：
则运行程序后输出结果判断正确的是（）
A．B．
C．D．
参考答案：
C
【考点】伪代码．
【分析】利用裂项求和，分别求和，即可得出结论．
【解答】解：S=++…+=1﹣+…+﹣=1﹣=，P=+…+=﹣+…+==，
故选C．
【点评】本题考查伪代码，考查数列求和，正确求和是关键．
8. 已知AB是抛物线y2＝2x的一条焦点弦，|AB|＝4，则AB中点C的横坐标是()
A. 2
B.
C.
D.
参考答案：
B
【分析】
先设两点的坐标，由抛物线的定义表示出弦长，再由题意，即可求出中点的横坐标.
【详解】设，C的横坐标为，则，
因为是抛物线的一条焦点弦，所以，
所以，故.
故选B
【点睛】本题主要考查抛物线的定义和抛物线的简单性质，只需熟记抛物线的焦点弦公式即可求解，属于基础题型.
9. 已知函数，若关于的方程有两个不同的实根，则实数的取值范围是（）
A. B. C. D.
参考答案：
B
10. 长方体ABCD-A1B1C1D1中，，，设点A关于直线BD1的对称点为P，则P与C1两点之间的距离为（）
A. 2
B.
C. 1
D.
参考答案：
C
【分析】
先求
关于
的对称点，再求距离即可
【详解】将长方体中含有
的平面取出，过点
作
，垂足为
，延长
到
，使，则是
关于的对称点，如图所示，过作，垂足为，连接
，，依题意
，
，
，
，
，
，
，
，所以.
故选
.
【点睛】本题考查空间几何体的性质，平面上两点之间的距离，空间立体平面化的思想，是基础题
二、 填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分
11. 已知等差数列{a n }的前n 项和为S n ，满足a 2＝1，，则a 3的值
为
参考答案：
3
12. 抛物线 y 2=4x 的焦点为F ，过点(0,3)的直线与抛物线交于A ,B 两点，线段AB 的垂直平分线交x 轴于点D ，若
，则点D 的坐标为
参考答案：
（4,0）
13. 在R t△ABC 中，CA ＝CB ＝2，M ，N 是斜边AB 上的两个动点，且MN ＝，则
的取值范围
为 ．
参考答案：
14. 命题“任意
，
”的否定是 ．
参考答案：
存在
，
.
命题意图：全称命题、特称命题、命题的否定，简单题
15. 奇函数f （x ）的定义域为R ，满足f （x ）=log 3x ，x ＞0，则f （x ）≥0的解集是 ．
参考答案：
[﹣1，0]∪[1，+∞）
【考点】函数的图象；对数函数的图象与性质．
【分析】根据已知，画出函数的图象，数形结合可得f （x ）≥0的解集． 【解答】解：∵奇函数f （x ）的定义域为R ，满足f （x ）=log 3x ，x ＞0， ∴函数f （x ）的图象如下图所示：
结合图象，可知f （x ）≥0的解集为[﹣1，0]∪[1，+∞）， 故答案为：[﹣1，0]∪[1，+∞）．
16. 已知复数，则在复平面内，复数所对应的点在
第
象限．
参考答案：
三
17. 在区间（0，）上随机取一个数x ，使得0＜tanx＜1成立的概率等于．
参考答案：
【知识点】几何概型K3
解析：∵0＜tanx＜1，x∈（0，）
∴0＜x＜，以区间长度为测度，可得所求概率为=,故答案为：．
【思路点拨】求出满足0＜tanx＜1，x∈（0，）的x的范围，以长度为测度，即可求得概率．三、解答题：本大题共5小题，共72分。

解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤
18. 设等比数列a1，a2，a3，a4的公比为q，等差数列b1，b2，b3，b4的公差为d，且．
记（i1，2，3，4）．
（1）求证：数列不是等差数列；
（2）设，．若数列是等比数列，求b2关于d的函数关系式及其定义域；
（3）数列能否为等比数列？并说明理由．
参考答案：
（1）假设数列是等差数列，
则，即．
因为是等差数列，所以．从而．…… 2分
又因为是等比数列，所以．
所以，这与矛盾，从而假设不成立．
所以数列不是等差数
列．…… 4分
（2）因为，，所以．
因为，所以，即，…… 6分
由，得，所以且．
又，所以，定义域为．…… 8分
（3）方法一：
设c1，c2，c3，c4成等比数列，其公比为q1，
则
…… 10分
将①+③－2×②得，
将②+④－2×③得，
…… 12分
因为，，由⑤得，．
由⑤⑥得，从而
．…… 14分
代入①得．
再代入②，得，与矛盾．
所以c1，c2，c3，c4不成等比数
列．…… 16分
方法二：
假设数列是等比数列，则
．…… 10分
所以，即．
两边同时减1得，
．…… 12分
因为等比数列a1，a2，a3，a4的公比为q，所以
．
又，所以，即．
…… 14分
这与且矛盾，所以假设不成立．
所以数列不能为等比数
列．…… 16分
19. 如图所示，在正方体中，E、F分别为DD1、DB的中点.
（I）求证：EF//平面ABC1D1；
（II）求证：..
参考答案：
（Ⅰ）连结，在中，、分别为，的中点，则
.……6分
（Ⅱ）
. ……12分
略
20. (本题满分l3分) 给定椭圆C：，若椭圆C的一个焦点为F(，0)，其短轴上的一个端点到F的距离为．
(I)求椭圆C的方程；
(II)已知斜率为k(k≠0)的直线l与椭圆C交于不同的两点A，B，点Q满足且=0，其中N为椭圆的下顶点，求直线在y轴上截距的取值范围．
参考答案：
21. 某校为了了解A，B两班学生寒假期间观看《中国诗词大会》的时长，分别从这两个班中随机抽取5名学生进行调查，将他们观看的时长（单位：小时）作为样本，绘制成茎叶图如图所示（图中的茎表示十位数字，叶表示个位数字）．
（1）分别求出图中所给两组样本数据的平均值，并据此估计哪个班的学生平均观看的时间较长；（2）从A班的样本数据中随机抽取一个不超过19的数据记为a，从B班的样本数据中随机抽取一个不超过21的数据记为b，求a＞b的概率．
参考答案：
【考点】茎叶图．
【分析】（1）计算A、B班样本数据的平均值，比较即可得出结论；
（2）由A班的样本数据中不超过19的数据a有3个，
B班的样本数据中不超过21的数据b也有3个；
利用列举法求出从A班和B班的样本数据中各随机抽取一个的基本事件数，计算对应的概率．【解答】解：（1）A班样本数据的平均值为，
由此估计A班学生平均观看时间大约为17小时；
B班样本数据的平均值为，
由此估计B班学生平均观看时间较长；
（2）A班的样本数据中不超过19的数据a有3个，分别为：9，11，14；B班的样本数据中不超过21的数据b有3个，分别为：11，12，21；
从A班和B班的样本数据中各随机抽取一个共有：9种不同情况，分别为：（9，11），（9，12），（9，21），（11，11），（11，12），
（11，21），（14，11），（14，12），（14，21）；
其中a＞b的情况有（14，11），（14，12）两种，
故a＞b的概率为P=．
22. 已知函数且在上的最大值为，（1）求函数f(x)的解析式；
(2)判断函数f(x)在（0，π）内的零点个数，并加以证明。

参考答案：
解：（1）
在，
所以①当时，不合题意；
②当时，，在单调递减
不合题意
③当时，，在单调递增
，所以--------------------------------6分
（2），，令
①当时，单调递增，，
所以在存在一个零点。

②当时，，所以在单调递减。

，所以存在唯一的，使得
所以在单调递增，单调递减。

，所以在无零点，且
又因为，所以在在上有且仅有一个零点，
综上所述在（0，π）内有两个零点。

------------------------------------------------12分略。