2020-2021学年河北省石家庄市德才中学高三数学理模拟试题含解析

2020-2021学年河北省石家庄市德才中学高三数学理模拟试题含解析
一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。

在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的
1. “x＜0”是“ln（x+1）＜0”的( )
A．充分不必要条件B．必要不充分条件
C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件
参考答案：
B
【考点】充要条件．
【专题】计算题；简易逻辑．
【分析】根据不等式的性质，利用充分条件和必要条件的定义进行判断即可得到结论．
【解答】解：∵x＜0，∴x+1＜1，当x+1＞0时，ln（x+1）＜0；
∵ln（x+1）＜0，∴0＜x+1＜1，∴﹣1＜x＜0，∴x＜0，
∴“x＜0”是ln（x+1）＜0的必要不充分条件．
故选：B．
【点评】本题主要考查充分条件和必要条件的判断，根据不等式的性质是解决本题的关键，比较基础．
2. 设0<b<a<1，则下列不等式成立的是()
A．ab<b2<1 B．<()a<()b
C．a2<ab<1 D．log b<log a<0
参考答案：
B
3. 图中的程序框图所描述的算法称为欧几里得展转相除法，若输入m=209，n=121，则输出m的值等于（）A．10 B．11 C．12 D．13
参考答案：
B
【考点】程序框图．
【分析】先求出m除以n的余数，然后利用辗转相除法，将n的值赋给m，将余数赋给n，进行迭代，一直算到余数为零时m的值即可．
【解答】解：当m=209，n=121，m除以n的余数是88
此时m=121，n=88，m除以n的余数是33
此时m=88，n=33，m除以n的余数是22
此时m=33，n=22，m除以n的余数是11，
此时m=22，n=11，m除以n的余数是0，
此时m=11，n=0，
退出程序，输出结果为11，
故选：B．
4. 甲，乙，丙；丁，戊五人排队,若某两人之间至多有一人，则称这两人有“心灵感应”，则甲与乙有“心灵感应”的概率是
A. B. C. D.
参考答案：
D
略
5. 设P为双曲线右支上一点，F1，F2分别为该双曲线的左右焦点，c，e分别表示该双曲
线的半焦距和离心率．若，直线PF2交y轴于点A，则的内切圆的半径为
（）
A. a
B. b
C. c
D.e
参考答案：
A
分析：首先应用向量的数量积等于零，可以断定向量垂直，从而得到三角形是直角三角形，之后应用直角三角形的内切圆的半径等于两直角边和减去斜边长，再结合双曲线的定义最后求得结果.
详解：根据题意，可知是直角三角形，根据直角三角形的内切球的半径公式以及双曲线的定义可知，求得，故选A.
点睛：该题考查的是有关直角三角形的内切圆的半径公式，一是要注意向量垂直的条件为向量的数量积等于零的应用，再者就是双曲线的定义要铭记.
6. 对任意的正数x，都存在两个不同的正数y，使成立，则实数a的取值范围为（）
A. B. C. D.
参考答案：
A
7. 运行如图所示的程序框图，若输出的y值为，则判断框中应填写的条件是（）A．i＞5？B．i＞3？C．i＞6？D．i＞4？
参考答案：
A
【考点】程序框图．
【分析】模拟执行程序框图，依次写出每次循环得到的x，y，i的值，当i=6时由题意，此时应该不满足条件，退出循环，输出y的值为﹣，故判断框内应填入的条件是：i＞5？．
【解答】解：第一次循环，i=0，x=0，y=sin0+cos0=1，i=1，
第二次循环，x=，y=，i=2；
第三次循环，x=，y=1，i=3；
第四次循环，x=，y=0，i=4；
第五次循环，x=π，y=﹣1，i=5；
第六次循环，x=，y=﹣，i=6；
输出y=﹣，i=6＞5，
故选：A．
8. 对任意两个非零的平面向量和，定义.
若两个非零的平面向量，满足与的夹角，
且和都在集合中，则
A． B． C． D．
参考答案：
D
9. 下列函数中，在其定义域内既是奇函数又是减函数的是 ( )
A． B． C． D．
参考答案：
A
10. 已知是的充分条件而不是必要条件，是的充分条件，是的必要条件，是的必要条件，现有下列命题：
①是的充要条件；②是的充分条件而不是必要条件；
③是的必要条件而不是充分条件；④是的必要条件而不是充分条件；
⑤是的充分条件而不是必要条件．
则正确命题的序号
是
（）
A．①④⑤ B．①②④ C．②③⑤
D．②④⑤
参考答案：
B
略
二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分
11. 若函数，则的定义域是
.
参考答案：
12. 若偶函数对定义域内任意都有
，且当时，，则
.
参考答案：
略
13. 双曲线的焦点坐标为__________；离心率为__________．
参考答案：
；
∵，焦点坐标为；
∴．
14. “斐波那契数列”是数学史上一个著名数列，在斐波那契数列{a n}中，a1=1，a2=1，a n+2=a n+1+a n
（n∈N*）则a8= ；若a2017=m2+2m+1，则数列{a n}的前2015项和是（用m表示）．
参考答案：
21；m2+2m．
【考点】数列递推式．
【专题】方程思想；综合法；等差数列与等比数列．
【分析】由题意和特征方程可得a n=C1x1n+C2x2n，由已知数据解方程组可得C1=，C2=﹣，可得a n，代值计算可得a8，迭代法可得a n+2=a n+a n﹣1+a n﹣2+a n﹣3+…+a2+a1+1，可得S2015=a2017﹣1，代值计算可得．【解答】解：由题意“斐波那契数列”是一个线性递推数列．
线性递推数列的特征方程为：x2=x+1，
解得 x 1=
，x 2=
，则a n =C 1x 1n +C 2x 2n ，
∵a 1=1，a 2=1，∴，
解得C 1=，C 2=﹣，
∴a n = [（）n ﹣（）n ]，
∴a 8= [（）8﹣（）8]=21，
∵a n+2=a n +a n+1=a n +a n ﹣1+a n =a n +a n ﹣1+a n ﹣2+a n ﹣1 =a n +a n ﹣1+a n ﹣2+a n ﹣3+a n ﹣2 =…
=a n +a n ﹣1+a n ﹣2+a n ﹣3+…+a 2+a 1+1， ∴S 2015=a 2017﹣1=m 2
+2m ． 故答案为：21；m 2+2m ．
【点评】本题考查数列的递推公式，由特征方程得出系数是解决问题的关键，属中档题．
15. 满足约束条件的目标函数的最小值为_______.
参考答案：
略
16. 若
展开式的常数项是60，则常数a
的值为
．
参考答案：
4
17. 若以连续两次骰子得到的点数m ，n 分别作为点P 的横坐标和纵坐标，则点P 在圆
内的概率是
参考答案：
略
三、 解答题：本大题共5小题，共72分。

解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤
18. 在直角坐标系xOy 中，曲线C 的参数方程为（为参数），以坐标原点O 为极
点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系． （1）求曲线C 的极坐标方程；
（2）若点P 的极坐标为，过P 的直线与曲线C 交于A ，B 两点，求的最大值．
参考答案：
（1）
（2）
【分析】
（1）先将中的消去得普通方程，再利用可得极坐标方
程；
（2）先求出AB 的参数方程，代入曲线C 的普通方程，利用韦达定理及三角函数的性质可得
的最大值.
【详解】解：（1）由，得
，
即，所以
，
即
，故曲线C 的极坐标方程为
.
（2）因为P的极坐标为，所以P的直角坐标为，
故可设AB的参数方程为（为参数）.
将代入，得，
设点对应的参数分别为，
则，，
所以，
故的最大值为.
【点睛】本题考查普通方程，参数方程，极坐标方程之间的互化，考查直线参数方程中参数几何意义的应用，是中档题.
19. (本题满分14分)已知函数(其中),为f(x)的导函数.
(Ⅰ)求证:曲线y=在点(1,)处的切线不过点(2,0);
(Ⅱ)若在区间中存在,使得,求的取值范围;
(Ⅲ)若,试证明:对任意,恒成立.
参考答案：
(Ⅰ)由得,,
所以曲线y=在点(1,)处的切线斜率为,
,曲线y=切线方程为,
假设切线过点(2,0),代入上式得:,得到0=1产生矛盾,所以假设错误,
故曲线y=在点(1,)处的切线不过点(2,0)…………4分
(Ⅱ)由得
,,所以在(0,1]上单调递减,故…………7分(Ⅲ)令,当=1时,,所以..
因此,对任意,等价于.…………9分
由,.所以.
因此,当时,,单调递增;时,,单调递减.
所以的最大值为,故. (12)
分
设,,所以时,单调递
增,,
故时,,即.
所以.
因此,对任意,恒成立…………14分
20. 已知A，B是椭圆C：+=1（a＞b＞0）的左，右顶点，B（2，0），过椭圆C的右焦点F的直线交于其于点M，N，交直线x=4于点P，且直线PA，PF，PB的斜率成等差数列．
（Ⅰ）求椭圆C的方程；
（Ⅱ）若记△AMB，△ANB的面积分别为S1，S2求的取值范围．
参考答案：
考点：直线与圆锥曲线的综合问题．
专题：计算题．
分析：（Ⅰ）令P（4，y0），F（c，0），a=2，A（﹣2，0），B（2，0）．由2k PF=k PA+k PB，知，由此能得到椭圆C的方程．
（Ⅱ）令M（x1，y1），N（x2，y2），得（3m2+4）y2=6my﹣9=0y2+6my﹣9=0，再由韦达定理和三角形的面积公式进行求解．
解答：解：（Ⅰ）令P（4，y0），F（c，0），a=2，A（﹣2，0），B（2，0）．
∵2k PF=k PA+k PB，∴，
∴c=1，b2=3，
∴，
（Ⅱ）令M（x1，y1），N（x2，y2），
得
（3m2+4）y2=6my﹣9=0y2+6my﹣9=0，
，①
，②
①2/②得，令t=，
则|t|+||=|t+|=，
∴，即．
∵，
∴．
点评：本题考查椭圆方程的求法和三角形面积比值的取值范围的求法，解题时要认真审题，注意韦达定理的合理运用．
21. 如图，椭圆E：=1（a＞b＞0）的右焦点F2与抛物线y2=4x的焦点重合，过F2作与
x轴垂直的直线与椭圆交于S、T两点，与抛物线交于C、D两点，且．
（Ⅰ）求椭圆E的方程；
（Ⅱ）若过点M（3，0）的直线l与椭圆E交于两点A、B，设P为椭圆上一点，且满足+=t （O为坐标原点），求实数t的取值范围．
参考答案：
解：（Ⅰ）由抛物线方程，得焦点，故可设椭圆的方程为，解方程组解得，，
由抛物线与椭圆的对称性，可得：，所以，所以.
因此，解得，故而，
所以椭圆E的方程为. ……………………………………………………（4分）
（Ⅱ）由题意知直线的斜率存在，设其为.
①当时，，所以；
②当时，则直线的方程为，
联立消去并整理得：，由Δ，得，
设，，，则．
因为，所以，
所以，
．
因为点在椭圆上，所以，
解得，
由于，故而，所以，
综合①②可知，. ……………………………………………………（12分）
略
22. 在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且满足=．
（Ⅰ）求角A的大小；
（Ⅱ）若a=2，求△ABC面积的最大值．
参考答案：
【考点】正弦定理；余弦定理．
【分析】（I）把条件中所给的既有角又有边的等式利用正弦定理变化成只有角的形式，整理逆用两角和的正弦公式，根据三角形内角的关系，得到结果．
（II）利用余弦定理写成关于角A的表示式，整理出两个边的积的范围，表示出三角形的面积，得到面积的最大值．
【解答】解：（Ⅰ）∵，
所以（2c﹣b）?cosA=a?cosB
由正弦定理，得（2sinC﹣sinB）?cosA=sinA?cosB．
整理得2sinC?cosA﹣sinB?cosA=sinA?cosB．
∴2sinC?cosA=sin（A+B）=sinC．
在△ABC中，sinC≠0．
∴，．
（Ⅱ）由余弦定理，．
∴b2+c2﹣20=bc≥2bc﹣20
∴bc≤20，当且仅当b=c时取“=”．
∴三角形的面积．
∴三角形面积的最大值为．
【点评】本题考查正弦定理和余弦定理，本题解题的关键是角和边的灵活互化，两个定理的灵活应用和两角和的公式的正用和逆用．。