微积分学PPt标准课件32-第32讲一元微积分应用

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我们已经讨论过曲线的凹凸性 , 知道如
何判断曲线的弯曲方向 , 但是还不能描述和 判定曲线的弯曲程度 . 而在许多实际问题中 都必须考虑曲线的弯曲程度 , 例如 , 道路的 弯道设计 , 梁的弯曲程度 , 曲线形的切削工 具的设计等等 .
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你认为应该如何描述 曲线的弯曲程度 ?
)
3 2
(1
22
)
3 2
125
y
2
2
2021Hale Waihona Puke 4/2127曲率中心为
x0
y(1 y2 ) y
1
2(1 22 ) 2
4
y0
1 y2 y
11 22 2
7 2
曲率中心： D(4 , 7) . 2
曲率圆的方程为
(x 4)2 ( y 7)2 125 24
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中心 D(, ) 的坐标为
x0
y(1 y2 ) y
,
y0
1 y2 y
,
式中 y 与 y 是 y f (x) 在点 M 处的导数 .
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证 设曲线 y f (x) 在点 M (x0, y0 ) 处的
曲率半径为 R , 曲率中心为 D(, ) , 则
曲线在点 M (x0, y0 ) 处的曲率圆方程为
y0
1 y2 y
由 (2) 式 , 得
x0
y(1 y2 ) y
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求抛物线 y x2 在点 (1, 1) 处的 例5 曲率半径、曲率中心和曲率圆方程 .
解
x0 1, y0 1,
y x1 2x x1 2 , y x1 2 ,
在点 (1, 1) 处的曲率半径为
R
(1
y2
些几何量与物理量：平面图形的面积、旋转曲面的侧面积、 平行截面面积为已知的几何体的体积、平面曲线的弧长、变 力作功、液体的压力等。 ▪ 能利用定积分定义式计算一些极限。
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第六章 一元微积分的应用
第 七 节 平面曲线的曲率
一、曲率的概念 二、曲率的计算公式 三、参数方程下曲率的计算公式 四、曲率圆、曲率中心
k法
y0 x0
曲线在点 M 处切线的斜率为 y , 从而 , 有
y x0
(2)
y0
由 (1) , (2) 两式消去 x0 , 得
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画画图 更清楚
( y0
)2
(1 y2 )2 y2
由于曲率圆总是位于曲线凹向的一侧 , 所以
y 与 y 是反号的, 故对上式两边开方得
由此及前面讲的例题1 , 你有什么想法？
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k 1, R 5. 5
O
M
O
M
曲率圆
曲率半径
曲率中心
曲率半径
1 曲率
在点 M 2021/4/21
处可用一个相应的圆来描述曲线的弯曲程度 20
三、曲率圆、曲率中心
过光滑曲线 y f (x) 上一点 M (x, y) 作其
法线, 在法线指向曲线凹向的一侧上取一点 Q ,
即圆上点的曲率处处相同： k1 R
半径越小的圆 , 弯曲得越厉害 . 7
二、曲率的计算公式
设曲线方程为 y f (x) , f (x) 二阶可导 ,
则在曲线上点 M (x, y) 处的曲率为
k
y
(1
y2
)
3 2
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证 如图所示 , 曲线在
y y f (x)
点 M 处切线的斜率为
22
kmax
a b2
kmin
b a2
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三、参数方程下曲率的计算公式
若
x
y
x( ) y( )
,
x( ) , y( ) 二阶可导 ,
则
d y y( ) , d x x( )
d2 y d x2
y(
)x( ) ( x(
y( )x(
))3
)
将它们代入曲率计算公式中即可得：
k
|
y( )x( ) y( )x(
曲率圆与曲线在点 M 处具有相同的一、二 阶导数 . 当讨论曲线在点 M 处与一、二阶 导数有关的局部性质时, 可以通过讨论其相 应的曲率圆的局部性质来实现 .
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曲率中心的坐标
设曲线方程为 y f (x) , f (x) 存在且
f (x0 ) 0 , 则曲线在点 M (x0, y0 ) 处的曲率
使
| MQ | R 1
(1
y2
)
3 2
k
y
M (x, y)
以 Q 为中心 , R 为半径所作的圆称为曲线在点
M 处的曲率圆 , 圆心 Q 称为曲率中心 , R 称为
曲率半径 . ( k 为曲线在点 M 处的曲率 )
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曲率圆的性质
曲率圆与曲线在点 M 处相切 , 且在点 M 处 两者曲率相同 .
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一、曲率的概念
设 y f (x)C1. 点 M 沿曲线运动到点 M 时, 相应地切线转
y y f (x)
M M
过角度 (称为转角),
弧的改变量为 s . 称
O
x
k 单位弧长上的转角
︵ s
为MM 的平均曲率 . 其中, 与s 具有方向性.
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k lim k lim d
)
3 2
0
( x R ) .
直线上任意一点处的曲率均为零 . 俗话说 , 直线不弯曲 .
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椭圆 x a cos , y bsin (a b 0) 上 ,
例3 哪一点曲率最大 , 哪一点曲率最小 .
解
利用参数方程求导法求出
dy dx
和
d2 y d x2
:
d x asin , d
y tan
M 故 arctan y
M
d
dx
1
1 y2
d y dx
1
y y2
O
x 又 d s 1 y2 d x
d
y 1 y2
d
x
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从而
k d
ds
y
(1
y2
)
3 2
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例2 求直线 y a x b 上任意一点处的曲率 .
解 y a , y 0 ,
k
y
(1
y2
▪ 能运用函数的单调性、凸凹性证明不等式。 ▪ 掌握建立与导数和微分有关的数学模型的方法。能熟练求解
相关变化率和最大、最小值的应用问题。 ▪ 知道平面曲线的弧微分、曲率和曲率半径的概念，并能计算
平面曲线的弧微分、曲率、曲率半径和曲率中心。 ▪ 掌握建立与定积分有关的数学模型的方法。 ▪ 熟练掌握“微分元素法”，能熟练运用定积分表达和计算一
(x )2 (y )2 R2
其中, 点 (x, y) 是曲率圆上的点 .
由于
R2
1 k2
(1 y2 )3 y2
又点 M (x0, y0 ) 在曲率圆上 , 故有
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(x0 )2 ( y0 )2
(1 y2 )3 y2
(1)
又 DM 位于曲线在点 M 处的法线上 , 其斜率为
4
4
对称 , 故原问题可以转为求曲线 y x2 在 4
点 (0, 0) 处的曲率 .
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y
x0
(
1 4
x2 )
x0
0
,
y
x0
(
1 2
x
)
x0
1 2
,
y x2 在点 (0, 0) 处的曲率为 4
k1
y
(1
y2
)
3 2
1 2
故 y2 4x 在点 (0, 0) 处的曲率为 k 1 . 2
高等院校非数学类本科数学课程
大 学 数 学（一）
—— 一元微积分学
第三十二讲 一元微积分的应用(五) —— 平面曲线的曲率
脚本编写：刘楚中
教案制作：刘楚中
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第六章 一元微积分的应用
本章学习要求：
▪ 熟练掌握求函数的极值、最大最小值、判断函数的单调性、 判断函数的凸凹性以及求函数拐点的方法。
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在有些实际问题中 , 若 | y | 1, 则可取 k | y |.
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现在问你一下 : (假设单位是统一的) 如果告诉你一条曲线在点 M 处的曲率为 1 ,
5 你能想象出它的弯曲程度吗？
如果告诉你有一个半径为 5 的圆 , 你能想象 出该圆上任何一点处的弯曲程度吗？
[(x(
))2
(
y(
)2
3
)]2
)
|
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么么么么方面
• Sds绝对是假的
例4 求抛物线 y2 4x 在点 (0, 0) 处的曲率 .
解 如果用 y 2 x , 会出现导数的分母
为零的情形 , 但 y2 4x 与 x y2 的图形 4
相同 , 而 x y2 与 y x2 的图形关于 y x
d y bcos , d
d2
d
x
2
a cos
,
d2
d
y
2
b sin
,
d y bcos b cot d x asin a
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d2 y d x2
( b cot )
a
(a cos )
b a2
1
sin 3
故
k
y
(1
y2
)
3 2
(a2 sin 2
ab
b
2
cos
2
)
3 2
令
s0 s0 s d s 称为曲线 y f (x) 在点M 处的曲率.
又是平均值 极限的方法 .
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例1 求半径为 R 的圆上任意一点处的曲率 .
解 如图所示 , 在圆上任取一点 M , 则
︵
s || MM || R
O R
M M
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故 lim lim 1 s0 s s0 R R
dk
d
3ab(a2
(a2 sin 2
b2
)sin cos
b
2
cos
2
)
3 2
0,
得驻点 0 , , , 3 ,
2
2
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因为 a b , 故在各象限中 d k 的符号依次为
d
Ⅰ
Ⅱ
Ⅲ
Ⅳ
+
+
由此可得 :
当 0 , 时 , k 取最大值 当 , 3 时 , k 取最小值