2012届高考数学一轮精品21.1空间向量及其运算(考点疏理+典型例题+练习题和解析)

2012届高考数学一轮精品：21．1 空间向量及其运算（考点疏理+典型例题+
练习题和解析）
21、空间向量与立体几何
21．1 空间向量及其运算
【知识网络】
1． 了解空间向量与平面向量的联系与区别；了解向量及其运算由平面向空间推广的过程。

2． 了解空间向量、共线向量、共面向量等概念；理解空间向量共线、共面的充要条件；了
解空间向量的基本定理及其意义；掌握空间向量的正交分解及其坐标表示。

3． 掌握空间向量的线性运算及其性质；掌握空间向量的坐标运算。

4． 理解空间向量的夹角的概念；掌握空间向量的数量积的概念、性质和运算律；了解空间
向量的数量积的几何意义；掌握空间向量的数量积的坐标形式；能用向量的数量积判断向量的共线与垂直。

【典型例题】
[例1]（1）已知a=(2，4，5)， b=(3，x ，y )，若a ∥b ，则
（ ）
A ．x =6， y =15
B 。

x =3， y =
15
2
C 。

x =3， y =15
D 。

x =6， y =
152
（2）对于空间任意一点O 和不共线的三点A ，B ，C ，且有OP →=x OA →+y OB →+z OC →
(x ，y ，z ∈
R )，则x ＋y ＋z ＝1是四点P ，A ，B ，C ，D 共面的
（
）
A ．必要不充分条件
B 。

充分不必要条件
C ．充要条件
D 。

既不充分又不必要条件
（3）已知 向量a=(1， 2， 3)， b =(－2，－4，－6)，| c |=14， 若(a+ b )·c =7，则a 与c 的夹角为 （
）
A ．30︒
B 。

60︒
C 。

120︒
D 。

150︒
（4）设向量a=(3， 5， －4)， b =(2， 1， 8)，若λ1a ＋λ2 b 与z 轴垂直，|λ1a ＋λ2 b |=185，
则λ1＝ ，λ2＝ 。

（5）在空间直角坐标系O -xyz 中，点P(2，3，4)关于yOz 面的对称点坐标为 ；
关于z 轴的对称点坐标为 ；关于原点的对称点坐标为 ；点P 在xOz 面的射影的坐标为 。

[例2] 已知O 为原点，向量()()3,0,1,1,1,2,,OA OB OC OA BC ==-⊥∥OA ，求AC ．
[例3]已知向量{a ，b ，c }是空间的一基底，向量{ a + b ，a - b ，c }是空间的另一基底，一向量p 在基底{ a ，b ，c }下的坐标为（1，2，3），求在基底{ a + b ，a - b ，c }下的坐标。

[例4] 如图所示，在平行六面体1111D C B A ABCD -中，P 是CA 1的中点，M 是CD 1的中点，N 是C 1D 1的中点，点Q 在CA 1上，且CQ ∶QA 1=4∶1，设,,AB AD AC ===a b c ，用基底{a ，b ，c }表示以下向量：
（1）AP ；（2）AM ；（3）AN ；（4）AQ ．
B 1
C 1
A
B
M
P
Q A 1
D 1
D
C
例4图
【课内练习】
1． 已知A(-1， 0， 1 )，B(x ， y ， 4 )，C(1 ，4 ，7 ) ，且A ，B ，C 三点在同一直线上，则实数x ， y 分别为
（
）
A ．x =0， y =1
B 。

x =0， y =2
C 。

x =1， y =1
D 。

x =1， y =2
2． 已知a =(2，-1，3 ) ，b =(-1，4，-2 ) ，c =(7，5，λ)，若a ，b ，c 三向量共面，则λ等于 （
）
A ．627
B 。

9
C 。

647
D 。

657
3． 已知空间两个动点A(m ，1+m ，2+m )，B(1-m ，3-2m ，3m )，则|AB |的最小值是
（
）
A ．917
B 。

317
C 。

317 17
D 。

917 17
4． 已知A(2，3-μ，-1+ν)关于x 轴的对称点是A '(λ，7，-6 )，则λ，μ，ν的值为
（ ）
A ．λ= -2，μ= -4，ν= -5
B 。

λ=2，μ= -4，ν= -5
C 。

λ= -2，μ=10，ν=8 D 。

λ=2，μ=10，ν=7
5． 在空间四边形ABCD 中，2AB a c =-，568CD a b c =+-，对角线AC 、BD 的中点
分别为P 、Q ，则PQ = ．
6． 已知正方体1111D C B A ABCD -中，侧面D D CC 11的中心是P ，若
1A P A D
m A B n A A =++，则
=m ，=n ． 7． 已知空间两点)3,cos ),4
(cos(απ
α-A 、)1,sin ),4
(sin(απ
α-
B ，则AB 的最大值和最小值
分别为 ．
8． 已知A(1，0，1)，B(4，4，6)，C(2，2，3)，D(10，14，17)，求证：A ，B ，C ，D 共面。

9． 已知OA =(1，2，3)，OB =(2，1，2)，OP =(1，1， 2)，点Q 在直线OP 上运动，求当
QA QB ⋅取得最小值时，点Q 的坐标。

10．设A(2，3，-6)，B(6，4，4)，C(3，7，4)，是平行四边形的三个顶点，试用向量法求此平行四边形的面积。

参考答案
21．1 空间向量及其运算
【典型例题】 [例1]（1）D 。

（2）C 。

（3）C ． （4）2，1．
（5）（-2，3，4），（2，3，-4），（-2，-3，-4），（2，0，4）。

[例2]设()(),,,1,1,2OC x y z BC x y z ==+--，
∵,OC OA BC ⊥∥OA ，∴0OC OA ⋅=，()BC OA R λλ=∈，
∴()()30,
1,1,23,0,1x z x y z λ+=⎧⎪⎨+--=⎪⎩，即30,
13,10,
2.
x z x y z λλ+=⎧⎪+=⎪⎨-=⎪⎪-=⎩ 解此方程组，得7211
,1,,101010
x y z λ=-===。

∴721,1,1010OC ⎛⎫=-
⎪⎝⎭
，3711,1,1010AC OC OA ⎛⎫=-=- ⎪⎝⎭。

[例3]设p 在基底{a +b ，a -b ， c }下的坐标为(x ， y ， z )，则
a +2
b ＋3
c ＝x (a +b )+y (a -b )+z c =(x +y )a + (x -y )b + z c
∴⎩⎨⎧x+y =1
x-y =2 z =3，解得⎩⎪⎨⎪⎧
x =3
2
y =－12
z =3
， 故p 在基底{a +b ，a -b ，c }下的坐标为（32 ，－1
2 ，3）。

[例4]连接AC 、AD 1．
（1）11()2AP AC AA =
+11
()2AB AD AA =++ ()
1
2a b c =++； （2）11()2AM AC AD =+11
(2)2AB AD AA =++
()
1
22a b c =++； （3）111()2AN AC AD =+111
[()()]2
AB AD AA AD AA =++++
11(22)2AB AD AA =++()
11
2222
a b c a b c =++=++； （4）AQ AC CQ =+14
()5
AC AA AC =+-
11455AC AA =+1114555AB AD AA =++114555
a b c =++． 【课内练习】 1． B 。

2． D 。

3． C 。

4． D 。

5． 335a b c +-。

6．
2
1,21。

7． 26+，26-。

8． ∵A(1，0，1)，B(4，4，6)， C(2，2，3)，D(10，14，17)，∴AB =(3，4，5)，AC =(1，
2，2)，AD =(9，14，16)，
令AD ＝x (3，4，5)＋y (1，2，2)，则x =2， y =3。

∴AD =2AB +3AC ，∴A ，B ，C ，D 共面。

9． 设Q(x ， y ， z )，因为点Q 在直线OP 上运动，故OQ 与OP 共线，故OQ ＝λOP ，即
有 (x ， y ， z )＝λ(1，1， 2)＝(λ，λ，2λ)，∴OQ =(λ，λ，2λ)。

又QA OA OQ =-=(1，2，3)- (λ， λ ， 2λ) =(1-λ，2-λ，3-2λ)。

QB OQ OB =-=(2，1，2)- (λ， λ ， 2λ)=(2-λ，1-λ，2-2λ)， QA QB ⋅=(1-λ，2-λ，)·(2-λ，1-λ，2-2λ)
=(1-λ)(2-λ)+(2-λ)(1-λ)+(3-2λ)(2-2λ) =6λ2－16λ＋10 =6(λ-43 )2－23。

∴当λ＝43 时，QA QB ⋅取得最小值，此时，点Q 的坐标为（43 ，43 ，8
3
）。

10．S □ABCD =AB ·AC ·sin ∠A=AB AC ⋅·sin 〈,AB AC 〉。

sin 〈,AB AC 〉=
1-cos 2〈,AB AC 〉 )||||
AB AC ，
∴S □ABCD ＝ 22
AB AC ⋅－()
2
AB AC ⋅。

又易求，AB =(4，1，10)，AC =(1，4，10)， |AB |2=117， |AC |2=117， AB ·AC =108，∴S □ABCD ＝1172－1082 =45。